Bu yo’lda bizning eng katta tayanch va suyanchimiz, hal qiluvchi kuchimiz yosh avlodimizdir

4-§.Murakkab funksiyaning differensiali. Differensial shaklning invaryandligi.
Aytaylik,
,
,
…………………………

funksiyaning har biri to’plamda berilgan bo’lib,

to’plamida esa funksiya aniqlangan bo’lsin. Bular yordamida

murakkab funksiya hosil qilingan bo’lsin.
Ma’lumki, funksiyalar
nuqtada differensiallanuvchi bo’lib , funksiya mos nuqtada ( differensiallanuvchi bo’lsa, murakkab funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’ladi.
Modomiki, funksiya o’zgaruvchilarga bog’liq ekan , u holda

bo’ladi.
Murakkab funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblash formulalaridan foydalanib topamiz:


………………………………………………

Bu xususiy hosilalarini (3) ifodadagi larning o’rniga qo’yamiz. Natijada

bo’ladi.
Ravshanki,


…………………………………………….

Demak, murakkab funksiyaning differensiali
(4)
bo’ladi.
Biz yuqorida hamda murakkab funksiyaning differensiallari uchun (2) va (4) ifodalarni topdik. Bu ifodalarni solishtirib , ularning shakli (ko’rinishi) bir hil , ya’ni (2) va (4) formulalardan funksiyaning differensiali xususiy hosilalarining mos differensiallariga ko’paytmalaridan tuzilgan yig’indiga teng ekanligini payqaymiz . Bu xossa differensial shakilning invaryantligi deyiladi.
Eslatma. funksiya differensialining (2) ifodasidagi lar mos ravishda lar bo’lsa, funksiya differensialidagi lar o’zgaruvchilarning funksiyalari bo’ladi . Demak , (2) va (4) formulalarning ko’rinishlarigina bir xil bo’ladi.
Sodda qoidalar. Aytaylik,

funksiyalar to’plamda berilgan bo’lib, =( nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin . U holda:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

bo’ldi.
Bu munosabatlardan birining, masalan, 3) ning isbotini keltiramiz.
Aytaylik,
Bo’lsin. Bu holda F funksiya u va v larga hamda u va v lar o’z navbatida o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lib, murakkab funksiyaga ega bo’lamiz. Differensial shaklining invaryantlik xossasiga ko’ra

bo’ladi.
Ravshanki,

Demak, =
ya’na
bo’ladi.