Bu yo’lda bizning eng katta tayanch va suyanchimiz, hal qiluvchi kuchimiz yosh avlodimizdir

Xususiy hollari. bo’lganda bir o’zgaruvchili . ( ) funksiya hosilasi tushunchasiga kelamiz . Bular haqidagi ma’lumotlar oldini mavzularda bayon etilgan .

bo’lsin. Bu holda ikki o’zgaruvchili (( ) funksiyaning xususiy hosilalari
,

hamda quydagi

Differensiallanuvchanlik shartga ega bo’lamiz.
2-misol. Ushbu
Funksiyaning xususiy hosilalari topilsin.
Berilgan funksiyaning xususiy hosilalari quydagicha bo’ladi:
;
.
3-misol. Ushbu
agar bo’lsa ,
agar bo’lsa
funksiyaning xususiy hosilalari topilsin.
Aytaylik , bo’lsin. U holda
( ,
(
bo’ladi.
Aytaylik , bo’lsin. Bu holda ta’rifdan foydalanib topamiz;
,
.
4-misol. Ushbu xususiy hosilalari topilsin.
Aytaylik , bo’lsin. Bu holda
,

bo’ladi .
Aytaylik , bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
,

Bo’lib , bu limitlar mavjud bo’lmaganligi sababli berilgan funksiya nuqtada xususiy hosilalarga ega bo’lmaydi.
5-misol. Ushbu
agar bo’lsa ,
agar bo’lsa
Funksiyaning nuqtadagi xususiy hosilalari topilsin.
Ta’rifga ko’ra
,

bo’ladi. Biroq berilgan funksiya nuqtada uzluksiz bo’lmaydi , chunki
da
6-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtada xususiy hosilalarining mavjudligi, ammo shu nuqtada differensiallanuvchi emasligi ko’rsatilsin.
Ravshanki,
,
.
Demak , berilgan funksiyaning nuqtada xususiy hosilalari mavjud va ular 0 ga teng.
Bu funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lmaydi. Shuni isbotlaymiz . Teskarisini faraz qilaylik, qaralayotgan funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’sin:


Ayni payita,

bo’ladi. Demak ,
Bu tenglikdan , bo’lganda

bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa da bo’lishiga zid . Demak, berilgan funksiya (0,0) nuqtada differensiallanuvchi emas.
7-misol. Agar funksiya da differensiallanuvchi bo’lib,
bo’lsa, , lar topilsin.
Ravshanki,

Murakkab funksiyaning xususiy hosilalarini toppish qoidasiga ko’ra
= * + * = + = ,
= * + * = + = .