Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 7. Если произведение двух или нескольких множителен делится на простое число Гаусса , то, по крайней мере, один из множителей делится на .
Доказательство. Пусть ... делится на . Допустим, что ни одно из чисел ... не делится на . Тогда все числа ... взаимно просты с , так как простое число не имеет дели- телей, кроме себя и единиц. Но тогда, в силу одной из предыдущих теорем, ... взаимно просто с , что противоречит условию.
Следовательно, сделанное предположение о том, что ни одно на


чисел ... не делится на , неверно, и тем самым теорема
доказана.
Теорема 8. Каждое целое число Гаусса раскладывается на простые множители единственным способом, если не считать различными разложения на ассоциированные множители.
Доказательство. Пусть число α раскладывается на простые множители двумя способами:

Здесь и обозначают простые числа Гаусса.
Одно из чисел должно делиться на .
За счёт изменения нумерации мы можем допустить, что делится на . Но простое число и не имеет делителей, кроме себя, ассоциированных чисел и единиц.
Следовательно, не являющееся единицей, должно быть ассо- циировано с .

Сокращая на , мы приходим к равенству:





откуда следует, что одно из чисел ассоциировано с
Изменив в случае надобности нумерацию, получим:

Повторяя то же рассуждение, получим последовательно:
;
Сокращая на получим:

откуда следует, что k=l (иначе равенство невозможно) и что каждое число σ ассоциировано с одним из чисел .
Теорема доказана.
Итак, мы убедились в том, что делимости чисел почти не отличается от теории делимости целых рациональных чисел. Все теоремы теории делимости целых чисел Гаусса являются копиями аналогичных теорем обыкновенной теории делимости. Однако у нас остался ещё не исследованным один важный вопрос.
Мы знаем, что каждое целое число Гаусса раскладывается един- ственным способом на простые множители, однако мы ещё не знаем, что представляют собой эти простые множители. Исследованию природы простых чисел Гаусса будет посвящён следующий параграф.