Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 8. Каждое целое число Гаусса может быть разложено на простые множители.
Доказательство. Пусть α - данное целое число Гаусса. Мы знаем, что оно может иметь лишь конечное число делителей.
Обозначим через отличный от единиц делитель с наименьшей нормой.
Очевидно, что не может быть составным числом, ибо если бы представлялось в виде произведения двух множителей, отличных от единиц, то норма каждого из них была бы меньше нормы , что противоречит выбору числа . Таким образом, α= - простое число, некоторое целое число Гаусса.
Если одна из единиц, то само является простым числом. Если -не единица, то к , можно применить то же рассуждения,что и к α и получить, что = где - простое число, -целое.К числу можно снова применить то же самое рассуждение, выделив новый простой множитель, и т. д. В конечном числе действий процесс выделения множителей должен окончиться, ибо иначе число α имело бы бесконечно много различных делителей ,например как мы видели, невозможно. Но процесс может окончиться только тем, что в частном, после выделения простого множителя, получится одна из единиц. Поэтому
α=


где ε единица, что и требовалось доказать.
Необходимо заметить, что из приведённого рассуждения совершенно не следует однозначность разложения на простые множители, что подтвердится в дальнейшем, когда мы построим пример такой теории делимости (иным способом обобщая понятие целого числа), в которой все предшествующие рассуждения имеют силу, однако однозначность разложения на простые множители отсутствует.
§ 3. Общий наибольший делитель.


Для целых чисел Гаусса однозначность разложения на простые
множители все же имеет место.
Для доказательства этого нам придётся обратиться к рассуждениям, почти точно повторяющим доказательство одно- значности разложения для натуральных чисел. В частности, необходимо установить существование и выяснить свойства общего наибольшего делителя двух целых чисел Гаусса.
Прежде всего, докажем основную теорему, справедливость которой позволит нам провести алгоритм ,,деления с остатком” для целых чисел Гаусса.