Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 8. Простых чисел вида 1 существует бесконечно много.
Доказательство. Проведём рассуждение, аналогичное предыду- щему. Допустим, что простых чисел вида 1 существует лишь конечное число и пусть все простые числа этого вида. Составим число N=
Мы знаем, что число N не может делиться ни на одно простое число вида , как и всякое число вида . Далее, N, очевидно, не делится на 2. Наконец, число и не может делиться ни на одно простое число вида , так как оно взаимно просто с а в совокупности находятся все простые числа вида .
Следовательно, N не может делиться ни на одно простое число, что является абсурдом. Таким образом предположение о конечности числа простых чисел вида привело нас к противоречию, и тем самым теорема доказана.
Из первой доказанной теоремы вытекает бесконечность числа простых чисел Гаусса второго порядка, из второй бесконечность простых чисел первого порядка.


§ 5. Примеры.
В заключение теории делимости целых комплексных чисел Гаусса
рассмотрим несколько примеров и задач.
Задача 1. Пользуясь теорией чисел Гаусса, найти общее решение неопределённого уравнения Пифагора в целых рациональных взаимно простых числах (эту же задачу мы решили раньше посредством обыкновенной теории делимости).
Решение. Пусть х, у, z решение уравнения . Тогда одно из чисел х, у должно быть чётным числом, другое нечётным и z нечётным числом.
Представим равенство, которому удовлетворяют числа х, y, z, в виде ( ) ( ) . Числа взаимно просты, ибо если бы они имели общий делитель, то тот же делитель имели бы ( ) ( ) и ( ) ( ) . Таким общим делителем могли быть только число 2 или делитель 2, т. е. . Ho взаимно просты с 2, так как норма каждого из этих чисел есть нечётное число. В виду того, что произведение двух взаимно простых чисел представляет собой полный квадрат, каждый из множителей может делиться только на простые множители в чётных степенях, в чем легко убедиться из однозначности разложения. В частности

где одна из единиц, α некоторое целое число Гаусса. Для единицы имеются четыре возможности:
ε ;ε ; ε ; ε= .
Однако достаточно из них рассмотреть только две: ε = 1 и ε , ибо ( )
Итак, для числа имеются две возможности:
и ,
где a, b некоторые целые рациональные числа компоненты целого числа Гаусса α.
Раскрывая скобки и сравнивая вещественные и мнимые части, получаем для и выражения:
; или
Для того чтобы и были бы взаимно просты, нужно, очевидно,
брать числа а и b взаимно простыми и разной чётности.
Первое решение отличается от второго только переменой ролей чисел и . Считая нечётным числом, у чётным, мы имеем право вторую возможность отбросить.
Задача 2. Найти все решения неопределённого уравнения

в целых рациональных взаимно простых числах.
Решение. Прежде всего, каждое решение нашего уравнения должно давать нечётные значения для х и у, ибо если х и у разной чётности то х+у есть нечётное число и не может равняться ;если же х и у оба чётные, то х² +у² делится на 4, тогда тоже должно делиться на 4, и, следовательно, 2 должно делиться на 2, т. е. х, у, z имеют общий множитель 2.
Представим уравнение в виде
( )( )
Вследствие нечётности чисел х и у, число х+у делится на 1+ , ибо является целым числом, но не делится на 2 так как х и у не делятся на 2.


Очевидно, что 1+ будет представлять собой общий наибольший делитель чисел x+y и x у , ибо их общий наибольший делитель должен быть делителем чисел 2х и 2у , а следовательно, делителем 2.
Поэтому числа взаимно просты. Их произведение есть полный квадрат, следовательно, каждое из них есть полный квадрат с точностью до множителя, являющегося единицей.
Итак,
x+y = ε(1 + ) (a + b .
Для ε снова достаточно рассмотреть две возможности:
.
Эти возможности определяют решения:
x = a² 2ab - b² и x = a² 2ab+b
y=a²+2ab b² y=a² 2ab b²
Второе решение не является существенно отличным от первого, отличаясь от него только знаками чисел х и а.
Задача 3. Решить в целых числах неопределённое уравнение

Решение. Представим уравнение в виде
N( .
Число х+2 . примитивно или, при чётном х, делится на 2. Поэтому в разложении числа х+2 на простые множители не могут участвовать участвовать простые множители первого порядка, входящие в одно натуральное простое число.
Следовательно, разложение числа х+2 на простые множители имеет вид
x+2 = ,
где простые множители первого порядка, нормы кото- рых , все различны между собой.
Переходя к нормам, получим:

откуда следует, что все показатели должны делиться на 3. Следовательно,
x+2 =
где α некоторое целое число Гаусса. Заметим далее, что каждая еди- ница ε является кубом другой единицы. Действительно,
=(-
Следовательно,
,
где есть, в свою очередь, целое число Гаусса.
Представив через компоненты а и b, получим

откуда

3
Подсчитав нормы, получим, что у= .
Второе из трёх полученных таким образом равенств представляет собой неопределённое уравнение, которое легко решить средствами обыкновенной арифметики.
Действительно, переписав его в виде

мы видим, что б должно быть делителем числа 2, т. е. одним из чисел ±1, ±2.
Если b= + 1, то 3а² 1=2, откуда а =±1. Если ,то , и для а не существует целого рационального значения.
При b= 2, 3а² и для а нет целого рационального значения.
Наконец, при , , откуда а=±1.
Таким образом уравнение b( )=2 имеет четыре решения в целых рациональных числах:

По этим четырём решениям легко определяются четыре решения исходного уравнения по формулам (*).
Эти решения:
x=±2; y=2;
x=±11; y=5.
Других решений нет.
Задача 4. Определить число представления целого рационального числа в виде суммы двух квадратов.
Решение. Задача равносильна задаче о представлении данного рационального числа в виде нормы целого числа Гаусса.
Пусть N данное целое число и α число Гаусса, норма которого равна N.
Разложим N на простые натуральные множители
N=
Здесь обозначают простые числа вида 4n + 1, простые числа вида 4n+3.
Разложение на простые множители числа α должно иметь вид

Здесь через обозначены простые числа первого порядка, на которые раскладываются числа
Сравнение нормы α с числом и приводит к следующим соотноше- ниям, необходимым и достаточным для того, чтобы число N было равно норме α:
=2 ;

откуда следует, что, для того чтобы число N можно было представить в виде суммы двух квадратов, хотя бы одним способом, необходимо и достаточно, чтобы все показатели были чётными, т. е. чтобы простые числа вида 4n +3 входили в N только в чётных степенях. Число представлений легко подсчитывается из общего числа возможностей для выбора показателей и
т. д. Для показателей и имеется, очевидно, + 1 возможность, так как число , можно разбить на два неотрицательных слагаемых +1 способом:
.
Для пары показателей имеется, в свою очередь, +1 возмож- ность и т. д.
Комбинируя всеми возможными способами допустимые значения для показателей ,… мы получим всего ( +1) +1) … +1 ) различных значений для произведения простых чисел первого порядка, входящих в α. Показатели
выбираются однозначно. Наконец, единице ε можно придавать четыре значения: 1, , - 1 и .
Отсюда следует, что для числа а имеется всего 4( +1) +1) … +1 ) возможностей, и следовательно, число N в виде нормы числа Гаусса α=х+у , т. е. в виде может быть представлено
4( +1) +1) … +1 ) способами.
При этом подсчёте различными считаются все решения уравнения
N=
Однако некоторые решения можно рассматривать, как определяющие одно и то же представление числа N в виде суммы двух квадратов.
Так, если х, у есть решение уравнения = N, то можно ука- зать ещё семь решений, определяющих то же самое представление числа N в виде суммы двух квадратов.
Такими решениями являются
(x, y); ( x,y); ( x, y); (y, x); (y, x); ( y, x) и ( у, x).
Очевидно, что из восьми решений, соответствующих одному и тому же представлению, может остаться только четыре различных в том и только в том случае, если х=0 или у=0 или х=±у. Подобного рода представления возможны только, если и есть полный квадрат и удвоенный полный квадрат, и притом такое представление может быть только одно:
N=x² или N= x² + x²
Поэтому, если считать число различных представлений, мы должны поделить число решений уравнения = N на 8, если N не есть полный квадрат или удвоенный полный квадрат. В этих же исключительных случаях число решений уравнения = N равно увосьмеренному числу всех представлений числа N в виде суммы двух квадратов, кроме одного представления, плюс 4.
Все это приводит к следующим формулам для числа представлений числа и в виде суммы двух квадратов:

если не все показатели чётные и

если все показатели чётные, т. е. если N есть полный квадрат или удвоенный полный квадрат.
Так, например, число 90=2 3² 5 может быть представлено в виде суммы двух квадратов одним способом, ибо ρ(90) = (1+1)=1.
Действительно, 90=9²+3².
Число 50=2 5² может быть представлено в виде суммы двух квадратов двумя способами, ибо ρ(50)= [(2+1) + 1] = 2.
На самом деле 50 = 7² + 1 =5² +5².
Наибольший интерес имеют так называемые примитивные предста- вления числа в виде суммы двух квадратов, т. е. такие представления, в которых оба квадрата взаимно просты. Примитивным представлениям числа в виде суммы двух квадратов соответствуют представления числа в виде нормы примитивного числа Гаусса α,
т. е. числа с взаимно простыми компонентами.
Из разложения числа α на множители

видно, что α будет примитивным в том и только в том случае, если и в каждой паре показателей один из показателей равен нулю. Отсюда следует, что примитивные представления в виде суммы двух квадратов допускают только числа, не делящиеся на 4 и не делящиеся ни на одно простое число вида 4n+3. Если это условие выполнено, то число примитивных решений уравнения N (α) =N, очевидно, равно 4 2^k , где число нечётных простых делителей (которые все должны иметь вид 4n + 1) числа N. Следовательно, число примитивных представлений числа N в виде суммы двух квадратов равно 4 2^k=