Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 6. Число 2 делится только на одно простое число пер- вого порядка. Именно 2 )².
Доказательство. Равенство 2 )² проверяется непосредст-
венно:
)²
Число является простым числом первого порядка, ибо
N( )=1²+1²
простому числу.
То обстоятельство, что 2 не делится на простые числа, отличные от , следует из однозначности разложения на простые множители. Таким образом мы окончательно выяснили вопрос о том, что представляют простые числа Гаусса. Резюмируем результаты.
1. Каждое простое число Гаусса является делителем натурального простого числа.
2. Натуральные простые числа вида являются простыми числами Гаусса.
3. Простые числа вила раскладываются на произведения двух сопряжённых, но неассоциированных простых чисел Гаусса первого порядка.
4. Число 2 ассоциировано с квадратом простого числа первого порядка .
Докажем теперь, что как простых чисел Гаусса первого порядка, так и простых чисел второго порядка существует бесконечно много. Сформулируем и докажем две теоремы, из которых это будет непосредственно следовать.
Теорема 7. Натуральных простых чисел вида существует бесконечно много.
Доказательство. Допустим обратное, что таких простых чисел существует лишь конечное число и пусть , все простые числа вида . Составим число
N= .
Оно, очевидно, взаимно просто с и потому не может
делиться ни на одно простое число вида . Далее, оно не делится на 2. Следовательно, число N может раскладываться только на простые множители вида .
Пусть , это простые числа (среди них могут быть равные). Тогда
N=
Очевидно, что
Но, с другой стороны, по самому способу составления числа N

Мы пришли к противоречию, которое говорит о том, что сделанное нами допущение о конечности числа простых чисел вида неверно. Тем самым теорема доказана.