Ii. Целые числа гаусса. § Определение целых чисел Гаусса и их простейшие свойства

Теорема 1. Норма целого числа Гаусса α делится на число а.
Доказательство. ā - целое число.
Теорема 2. Норма вещественного числа равна его квадрату. Доказательство. N(a) = a • a=a².
Теорема 3. Норма произведения двух чисел равна произведении
их норм.
Доказательство. Нам известно это свойство для модуля комплексного числа. Следовательно, оно верно и для нормы, так как норма представляет собой квадрат модуля.
Из этой теоремы, между прочим, следует, что если два числа представляются в виде суммы двух квадратов целых рациональных чисел, то их произведение также представляется виде суммы двух квадратов, B и правило умножения для комплексных чисел указывает на способ представления произведения в виде суммы квадратов, если такие преставления для множителей известны.
Рассмотрим пример.
Пример. Представить в виде суммы квадратов число 221 = 13 •17.
зная, что
13=2²+3², 17=1²+ 4².
Решение. 13= N(2+3 ); 17= N(1+4 ).
Следовательно, 221 = 13•17=N(2+3 ) N(1+4 ) = N[(2+3 ) (1+4 )]=
N(-10-11 )=10²+11².
Возможно другое решение:
221= N(2-3 ) N(1+4 )=N (14+5 )=14²+5².


К вопросу о представлении чисел в виде суммы двух квадратов и о числе таких представлений мы ещё вернёмся.
Теорема 4. Только четыре целых числа Гаусса имеют норму, равную единице. Эти числа: 1, , -1 н - .
Доказательство. Пусть N(a+b )= a²+ b² =1 при рациональных а н b.
Очевидно, что а 1, откуда следует, что a=0 или a= 1.
Если а = 0, то b= 1 и a + b = .
Если а= 1, то b= 0 и а+ b = l.
Теорема доказана.
Теорема 5. Число 1 делится только на четыре числа - на 1, , - 1 и - .
Доказательство. Если α является делителем 1, то N(α) является делителем N(1)=1²+0²= 1 и, следовательно, N(α)=l.
Справедливость теоремы вытекает отсюда непосредственно, в силу предыдущей теоремы.
В теории делимости числа, на которые делится 1, называются делителями единицы или просто единицами.
Таким образом мы видим, что среди целых чисел Гаусса существуют четыре единицы 1, . (среди целых рациональных чисел единиц существует только две, именно + 1).