Ma'ruza 4 Shartli korrekt masala yechimi turg'unligini baholash va taqribiy yechimni oddiy tanlash usuli orqali topish Reja


Download 82.2 Kb.
bet3/4
Sana18.06.2023
Hajmi82.2 Kb.
#1572078
1   2   3   4
z =B и (3)
as a e V /

z-Bu
^ л
ko'rinishda olamiz. Bunda a regulyarizatsiya parametrining biror qiymatidan iborat. r//; ni taqribiy yechim bo'lishini isbotlash maqsadida u bilan aniq yechim z orasidagi farqni (2) shart asosida baholaymiz:
A\K(uE-u)\\ + \\BauE-z\\ =
(4)
= \Ва{ив - и) I +1 BaAz - z\\ <\\Ba\\s+ y(z,a) bunda regulyarizatsiya shartiga asosan \im/(z,a) = 0 bo'ladi. (1) operator
a^f 0
tenglama klassik nokorrekt masala bo'lganligi uchun sup\\Ba\\ = со bo'lishi kerak, aks holda limBa=A~l bo'lib, (1) tenglamani yechish masalasi korrekt
a->0
quyilgan bo'lib qoladi.
a parametrni shunday o'zgarish qonunini topamizki s —» 0 da
\\Ba\\s + y(z,a)
ifoda nolga intiladi. Xaqiqatdan ham, co{z,s) = \\^{\Ba\s+ y{z,a)} bo'lsin. U
a
holda
lim(z,£) = 0 (5)
a—>0
bo'lishini ko'rsatamiz.
S> 0 istalgancha kichik son bo'lsin. U holda lim^(jc,cc) = 0 dan,
a^f 0
shunday a(S) sonning mavjudligi kelib chiqadiki, a < a(8) bo'lganda y(a,x)<— tengsizlik hosil bo'ladi. Bunda ju(S)= inf IIII belgilash kiritsak,
2 a
s<——— bo'lganda co(x,s) funksiya co(x,s) < S shartni qanoatlantiradi. 2 ju(S)
Oxirgi tenglikdan (5) shartning bajarilishini ko'rish qiyin emas.
Shunday qilib, agar (1) operator tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi qurilgan bo'lsa, (1) tenglamaning o'ng tomoni o'rniga uning
taqribiy ifodasiga asosan (3) formula orqali taqribiy yechimni istalgan aniqlikda topish mumkin ekan. Agar s son tayinlangan bo'lsa, regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasining parametri a ni
inf{\Ba\\£ + r(a,z)}
a
shartdan tanlanishi (4) baholashning optimal bo'lishini ta'minlaydi.
Regulyarizatsiya oilasini qo'llashning effektivligini ta'minlash uchun a parametrni qulay qilib tanlash kerak bo'ladi. Uni qulay tanlash uchun ||5j va
y{a,z) funksiyalarning aniq baholashlarini bilish kerak. ||5j ni baholash ko'pchilik hollarda qiyin kechmaydi, lekin y{a,z) ni baholash uchun berilgan masalaning shartli korrektligini bilishimiz kerak.
Regulyarizatsiya oilasini tuzishga doir misollar keltiramiz. Misol 1. Bunda biz issiqlik tarqalishi tenglamasi uchun qo'yilgan Koshi masalasi regulyarizatsiyasi oilasini quramiz:
d2u
M((=-TT, u(0,t) = u(7T,t) = 0,
дх I1;
u(x,Q) = f(x\ /(0) = f(n) = 0.
Bizga t e [0,7] bo'lganda (1) masalaning yechimi bo'lgan u(x,t) funksiyani topish talab qilinsin.
f(x) funksiyaning (sin foe] sistemaga nisbatan Fure koeffitsientini fk bilan belgilaymiz:
1 71
fk= — [sinkxf(x)dx . (2)
7t ^
л 0
Agar /(jc) funksiya uchun berilgan Koshi masalasi yechimi mavjud bo'lsa, u holda bu yechim


u(x,t) = ^fkek2t sinfoc (3)


ko'rinishda bo'ladi.
Butun parametr n ga bog'lik bo'lgan chiziqli Ba operatorlarni quyidagicha kiritamiz
ВпДх) = ^/кек\тЬ (4)
k=i
Agar f(x) va u(x,t) funksiyalarni L2 fazo elemetnlari deb qarasak, u holda Ba operatorlar oilasi berilgan Koshi masalasi uchun regulyarizatsiyalovchi oila bo'ladi. Haqiqatan ham, Fure koeffitsientlari - fk larni aniqlash va uni chekli yig'indisini topish uzluksiz operatorlardan iborat bo'lganligi uchun Bn uzluksiz operator bo'ladi. Bn fix) funksiyaning L2 fazoda u(x,l) yechimga intilishi (3) dan kelib chiqadi.
Qaralayotgan Bn regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasini berilgan masala taqribiy yechimini topishga qo'llashning effektivligini qaraymiz. Bunda biz berilgan Koshi masalasi shartli korrekt quyilgan deb faraz qilamiz, hamda masalaning korrektlikto'plami M quyidagi
~ ж ~~&2
§u2(x,t)dx < С (5)
_o
shartdan aniqlangan holga to'xtalamiz.
bn regulyarizatsiyalovchi operatorlarning normalari Ц/iJ = e"'' ekanligini
aniqlash qiyin emas. Shuning uchun, bizga ma'ruza 5 dagi (3) tengsizlikning ikkinchi hadi bo'lgan у ni baholash kifoya. (3), (4) tengliklardan va (7) dan foydalanib quyidagilarni hosil qilamiz
oo
\\BJ{x)-u{xJ)\\= X^Vt (6)
k=n+1
oo
Z^V^C2. (7)
k=\
Agar fk koeffitsientlar
Л=0, agar**л+ 1, fn+l=e~{n+lfTC
shartlarni qanoatlantirsa, u holda (6) yig'indi (7) shart bajarilganda maksimal qiymatga erishadi. Shuning uchun, yuqoridagilardan
\\Bnf(X)-u(X,t)\\ = e-^2^C
tengsizlikni hosil qilish oson. Bu topilgan tengsizliklarga asosan bn regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasini qo'llashning effektivligi quyidagi tengsizlik orqali yoziladi
I BJE(x) - u(x,t)\\ < e"2's +
Misol 2. Ma'ruza oxirida matematik analizning differensiallash masalasi uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlarni qo'llashni qaraymiz. Bu holda eng sodda regulyarizatsiya operatori hosilani chekli ayirmalar nisbatiga almashtirish natijasida hosil qilinishi mumkin.
/(x) funksiya [a,b] oraliqda berilsin. Bh chiziqli operatorlar oilasini
BJ(x) = j[f(x + h)-f(x)] h
ko'rinishda aniqlaymiz. Bh ning differensiallash masalasining regulyarizatsiyalovchi operatori bo'lishi hosila ta'rifidan kelib chiqadi. 2
\\Bh I = — ekanligi C[a b] fazo normasi ta'rifidan hosil qilinadi.
Shuning uchun, bu regulyarizatsiyalovchi operatorlar qo'lanishining effektivligini aniqlash uchun
Bh fix)-fix)
ayirmaning normasini baholaymiz. Agar biz M sinf uchun |/"(x)| < // shartni
qanoatlantiruvchi funksiyalar to'plamini kiritsak, bunday M to'plam kompakt bo'ladi. O'rta qiymat formulasidan
BJ(x) - f ix) = f(x + exh) - f ix) = Г ix + в2И)вхк ф<в19в2< 1)
tenglik hosil bo'ladi. Oxirgi tenglikdan
\\BJ(x)-fXx)\\<Mh
tengliksizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik regulyarizatsiya operatorini qo'llashning effektivligini aniqlaydi.
Ma'ruzani o'zlashtirishga doir savollar.

  1. Taqribiy berilganlarga ko'ra taqribiy yechim nima?

  2. Regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi deb nimani tushunamiz?

  3. Regulyarizatsiya oilasining effektivligi nima?

Ma'ruza 6
Birinchi tur operator tenglamalarni regulyarizatsiyalash
Reja

    1. Ikkinchi tur operator tenglamali regulyarizatsiya oilasi.

    2. O'zaro qo'shma operatorli tenglamalarni regulyarizatsiyalash.

    3. Chiziqli operatorli tenglamalarni regulyarizatsiyalash.

    4. Opertor tenglamalar uchun ketma- ket yaqinlashish usuli.

Tayanch iboralar
O'zaro qo'shma operator. Musbat operator. Chiziqli operator. To'la uzluksiz operator. Teskari operator. Ketma-ket yaqinlashish. Regulyarizatsiya.
Biz yuqorida
Ax = f (1)
operator tenglamalarni klassik nokorrekt ekanligini takidlab o'tdik. (1) da x va / mos ravishda X va F Gilbert fazosi elementlari bo Tib, A -to'la uzluksiz operator bo'lsin.
Biz awal A opertorning o'zaro qo'shma va musbat bo'lgan holiga to'xtalamiz. Bu holda F = X bo'ladi. Ba operatorlar oilasini
Ba=(ccE + A)-\ a> 0
ko'rinishda tanlaymiz va uning (1) tenglamaga nisbatan regulyarizatsiyalovchi operator ekanligini isbotlaymiz.
A operatorning to'liq xos funksiyalari sistemasini {<%} vaungamos
xos qiymatlari sistemasini [Ak] deymiz. U holda ixtiyoriy x e X elementni

Download 82.2 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling