Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Ани=мас интегралнинг щоссалари, интеграллаш жадвали.

+уйида ани=мас интегралнинг хоссаларини келтирамиз.

1. 
   f(x) функция ани=мас интеграли f(x)dx нинг дифференциали f(x)dx га тенг былади: d[f(x)dx]=f(x)dx.
   
2. 
   Функция дифференциалининг ани=мас интеграл шу функция билан ызгармас сон йи`индисига тенг:  dF(x)=F(x)+C.
   
3. 
   Ушбу формулалар ыринли: kf(x)dx=k  f(x)dx, (k - const, k=0).
   

[f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+g(x)dx.
Ани=мас интеграллар ю=орида келтирилган хоссаларидан щамда ушбу жадвал интеграллардан фойдаланиб щисобланилади. Биз энг мущим жадвал интегралларни келтирамиз: 1) 0dx=c; 2) dx=x+c; 3) xⁿdx=(xⁿ⁺¹/n+1)+c (n-1); 4) (1/x)dx=ln x +c;
5) a^xdx=(a^x/lna)+c; 6) sinxdx=-cosx+c; 7) (1/cos²x)dx=tgx+c;

1. 
   8 ) (1/1-x²)dx=arcsinx+c; 9) (1/1+x²)dx=arctgx+c.
   

3. 
   Интеграллаш усуллари.
   

Ани=мас интегралларни ечишда 1) бевосита интеграллаш; 2) ызгарувчиларни алмаштириш; 3) былаклаб интеграллаш ва бош=а кыплаб усуллар мавжуд. Бевосита интеграллаш усули интеграллашнинг энг содда щоли былиб, берилган интегралнинг хоссаларидан ва интеграллаш жадвалидан фойдаланиб интегралланади.
А. Ызгарувчиларни алмаштириб интеграллаш усули. Ушбу f(x)dx интегрални щисоблаш талаб этилсин. Баъзан х ызгарувчини бош=а ызгарувчига алмаштириш натижасида берилган интеграл соддаро=, щисоблаш учун =улайро= интегралга келади. Айталий, f(x)dx=F(x)+C (1) былсин. Бу интегралда х=(t) алмаштириш бажарайлик, (f(x), (t) ва (t) лар узлуксиз функциялар).
Унда f((t)) (t)dt=F((t))+C (2) былади.
Ща=и=атан щам, F^(x)=f(x) былишни эътиборга олган щолда F((t))+C]^=(F((t)))^=F^((t))(t)=f^((t))(t) былишини топамиз. Бу эса (2) муносабатнинг ты`рилигини билдиради.
Мисол.  cos²x sinx dx интеграл щисоблансин. Бу интегралда cosx=t деб алмаштиришни бажарамиз. Унда cos²xsinxdx=cos²x(-d(cosx))=-t²dt былиб, cos²xsinxdx=-t²dt=-(t³/3)+C=cos³x/3+C былади.
Б. Былаклаб интеграллаш усули. u=u(x), v=v(x) функциялар узлуксиз u¹(x) ва v¹(x) щосилаларга эга былсин. Маълумки, d(uv)=udv+vdu. Бу тенгликни щар икки томонини щадлаб интеграллаймиз: d(uv)= udv+vdu. Равшанки, d(uv)=uv. Унда uv=udv+vdu былади. Натижада ушбу формулага келамиз: udv=uv-vdu. (3).
Бу формула былаклаб интеграллаш формуласи дейилади.
Мисол. ln xdx, x>0 интеграл щисоблансин. Бу интегралда u=lnx, dv=dx деб оламиз. Унда du=(1/x)dx, v=x былади. Демак, (3) формулага кыра
ln xdx=x ln x-x(1/x)dx=x ln x-dx=x ln x-x+C=x(ln x-1)+C
Саволлар:

1. 
   Бошлангич функцияга таъриф беринг.
   
2. 
   Ани=мас интегрални хоссаларини келтиринг.
   
3. 
   Интеграллаш усулларини келтиринг.