Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Иррационал функцияларни интеграллаш.

Ушбу R(x, x^, x^,...,)dx кыринишдаги интегралларни =араймиз. Бунда R(x, x^, x^,...) функция x, x^, x^,... ларнинг рационал функцияси. Бу ерда =m₁/n₁, =m₂/n₂, ...рационал сонлар былиб, k уларнинг умумий махражи былса, у щолда х=t^к алмаштириш ёрдамида ю=оридаги интеграл рационал функцияни интеграллашга келади. Ушбу R(x,[(ax+b)/(cx+d)]^, [(ax+b)(cx+d)]^,...)dx интеграллар эса ax+b=t^k, (ax+b)/cx+d=t^k алмаштиришлар ёрдамида рационал функцияни интеграллашга келади.

3. 
   Тригонометрик функцияларни интеграллаш.
   

1. 
   R(sinx, cosx)dx кыринишдаги интегрални =арайлик, бу ерда R(sinx, cosx) ифода sinx ва cosx ларнинг рационал функцияси: 1) агар cosх нинг ишораси ызгариши билан R(sinx, cosx)нинг ишораси ызгарса, унда t=sinx алмаштириш ёрдамида R(sinx, cosx) функция t нинг рационал функциясига келади. 2) агар sinx нинг ишораси ызгариши билан R(sinx, cosx) функциянинг ишораси ызгарса, унда t=cosх алмаштириш ор=али R(sinx, cosx) функция t нинг рационал функциясига келади. 3) агар sinx, cosx ларнинг ишоралари бир ва=тда ызгарганда R(sinx, cosx) функциянинг ишораси ызгармаса, t=tgx алмаштириш ёрдамида R(sinx, cosx) функция t нинг рационал функциясига келади. 4) t=tg(x/2) алмаштириш ёрдамида R(sinx, cosx) функция t нинг рационал функциясига келади.
   
2. 
   sin²ⁿxdx, cos²ⁿxdx, sin²ⁿxcos²ⁿxdx кыринишидаги интегралларни топишда cos²x=1/2(1+cos2x), sin²x=1/2(1-cos2x), sinxcosx=(1/2)sin2x формулалар ёрдамида интеграл остидаги функциянинг даражаси пасайтириб борилади ва охири sinkx ва coskx функцияларнинг интегралларига келтирилади.
   
3. 
   tgⁿxdx, ctgⁿxdx кыринишдаги интеграллар t=tgx ва t=ctgx алмаштиришлар ёрдамида топилади.
   
4. 
   sinaxcosbxdx, sinaxsinbxdx кыринишдаги интеграллар sinaxcosbx= 1/2 [sin(a+b)x + sin(a-b)x], sinaxsinbx=1/2[cos(a-b)x-cos(a+b)x], cosaxcosbx=1/2[cos(a+b)x+cos(a-b)x] формулалар ёрдамида топилади.
   
5. 
   sin⁴xcosx dx интегрални топиш учун t=sinx алмаштиришни бажарамиз. Бу щолда dt=cosx dx былганидан sin⁴xcosx dx=t⁴dt=(1/5)t⁵+C=(1/5)sin⁵x+C былади.
   

Саволлар:
1.Содда касрларни интеграллаш формулаларини келтиринг.
2.Иррационал ва тригонометрик функцияларни интеграллашда =андай алмаштиришлар =илинади?