O`zbekiston respublikasi o`rta va oliy ta’lim vazirligi qarshi davlat ubiversiteti matematika kafedrasi
Download 0.97 Mb. Pdf ko'rish
|
1-34
- Bu sahifa navigatsiya:
- Koshi masalasi
16
Hosilaga nisbatan yechilgan tenglama uchun Koshi masalasi Misollar
Hosilaga nisbatan yechilgan ushbu ( , )
y f x y
(I.2.1) differensial tenglamani qaraylik; bu yerda ( ),
– tekislikdagi soha. (I.2.1) tenglamaning 0 0
0 ( )
, ( , )
y x y D , (I.2.2) shartni qanoatlantiruvchi ( berilgan 0
nuqtada berilgan 0
qiymatni qabul qiluvchi ) va biror I , 0
I
( )
yechimini topish Koshi masalasi yoki boshlang’ich masala deyiladi va u 0 0 ( , ) x y f x y y y
0 0
x y f x y y y
(K) ko’rinishda yoziladi. Bu yerda 0
y yozuvi ( )
noma’lum funksiyaning 0 x x
nuqtadagi qiymatini anglatadi, ya’ni 0 0 ( ) x y y x . (I.2.2) shart boshlang’ich shart yoki Koshi sharti deb yuritiladi.
Agar shunday I x 0 oraliq topilsaki, bu oraliqda biror ( ) y y x funksiya (I.2.1) ning yechimi bo’lib, (I.2.2) shartni ham qanoatlantirsa, u holda (K) masalaning yechimi mavjud deyiladi, bu ( )
funksiya esa (K) masalaningning I oraliqda aniqlangan yechimi deb yuritiladi.
(K) masalaga nisbatan tabiiy ravishda quyidagi savollar tug’iladi:
1. (K) masala x 0 ga yetarlicha yaqin x larda aniqlangan biror yechimga egami?
2. Agar yechim mavjud bo`lsa, u yagonami? 3. (K) masalaning yechimi qaysi eng katta I, I
0 , oraliqda mavjud?
2/3 3
0, y y y
Koshi masalasi 0 y yechim bilan birgalikda 3 y x yechimga ham ega (tekshirib ko’ring). Shunday qilib, a) masalaning yechimi yagona emas. b) Ushbu 2 0
| 1,
y y
17
masalaning yechimini topaylik. Faraz qilaylik, ( ) y y x yechim mavjud bo’lsin. Bu yechim ( 1
)
x ning kichik atrofida noldan farqli, chunki (0) 1 y . Berilgan tenglamadan 2 dy dx y tenglikni topib, uni 0 dan x gacha integrallab, quyidagini olamiz: 1 1 (0) ( ) x у у x . Bundan berilgan 0 | 1 y boshlang’ich shartga ko’ra 1 ( )
1 y x x ekanligini hosil qilamiz. Topilgan bu funksiya qaralayotgan masalaning ( ,1)
oraliqda aniqlangan yechimidir (tekshirib ko’ring). Demak, qaralayotgan masalaning yechimi yagona (bir dona). Ravshanki, berilgan masalu yechimi ( ,1)
dan kattaroq (kengroq) oraliqda mavjud bo’la olmaydi. chunki 1 0
x
da yechim ka ketib qoladi.
18
Yo`nalishlar maydoni Izoklinalar Eyler siniq chiziqlari Misollar
( , ) y f x y
(I.3.1) differensial tenglamani qaraylik; bu yerda f funksiyani D sohada yetarlicha silliq deb hisoblaymiz.
(I.3.1) tenglamaning 0 0 ( ) y x y boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish 0 0 ( , )
D nuqta orqali (I.3.1) tenglamaning integral chizig’ini o’tkazish demakdir. Har bir 0 0
) x y D nuqtaga shu nuqtadan o’tuvchi va 0 0 ( , ) k f x y burchak koeffitsientiga ega bo’lgan to’g’ri chiziqni mos qo’yib, bu to’g’ri chiziqni «kichik kesma» (ya’ni yo’nalish ) bilan tasvirlaylik. Natijada D sohada (I.3.1) differensial tenglamaga mos keluvchi yo’nalishlar maydoni hosil bo’ladi. Har bir «kichik kesma» mos nuqtadagi maydon
sohadagi egri chiziq (I.3.1) tenglamaning integral chizig’i bo’lishi uchun u o’zining ixtiyoriy nuqtasida maydonning shu nuqtadagi yo’nalishiga urinishi yetarli va zarurdir ( 0 0
( ) ( ,
) y x f x y k – integral chiziqning 0 0
) x y nuqtasidagi urinmasining burchak koeffitsienti; bu yo`nalish
o`qi bilan arctgk burchak tashkil etadi).
Maydon yo’nalishlarini ko’rsatuvchi kesmachalarni D sohada «yetarlicha zich» tasvirlab va bu kesmachalarga urinuvchi egri chiziqni chizib, berilgan differensial tenglamaning integral chizig’ini taqriban qurish mumkin. Integral chiziqlarni aniqroq chizish maqsadida yechimlarning ekstremum va burilish nuqtalarini topish mumkin. Yechimlarning statsionar (kritik) va, demak, ekstremum nuqtalari ham ( , )
0 f x y tenglamani qanoatlantiradi. Burilish nuqtalarida 0 y
bo’lishi kerak.
( ) y y x yechim uchun ( ) ( , ( ))
y x f x y x ayniyat bajariladi. Bu tenglikni differensiallab, y ni topamiz: f f y y x y , ya’ni f f y f x y . Demak, burilish nuqtalari 0
f f x y
tenglamani qanoatlantirdi. 19
Misol. Ushbu 3 3 y x y
differensial tenglama uchun yo`nalishlar maydoni va 4 dona integral chiziq 3- rasmda ko`rsatilgan. 3- rasm. 3 3 y x y
tenglamaning yo`nalishlar maydoni va yechimlari grafiklari Yo’nalishlar maydonini qurishda (tasvirlashda) ba’zan izoklinalardan foydalanish maqsadga muvofiq.
Barcha nuqtalarida maydon yo’nalishi bir xil burchak koeffitsientiga ega bo’lgan to’plam izoklina deyiladi (Grekchadan: isos – bir xil, teng; klino – og’dirish). Izoklinalar ( , )
f x y k ( k –
const) tenglama bilan beriladi. ( , )
f x y k
izoklinaning har bir nuqtasida maydon yo’nalishi
3-rasm x lar o’qining musbat yo’nalishi bilan bir xil arctgk burchak tashkil etadi Misol. Ushbu 2 2
x y
differensial tenglama uchun izoklinalar 2 2 , x y k k const,
tenglikdan topiladi. Izoklinalar markazi koordinatalar boshida joylashgan konsentrik aylanalardan ( 0
) va (0;0)
nuqtadan ( 0
) iborat. Masalan, 2 2 1 x y izoklina nuqtalarida yo’nalishlar maydoni x lar o’qi bilan bir xil 4-rasm arctg
arctg1 45
li burchak tashkil etadi. Bir nechta izoklina va ulardagi maydon yo’nalishlarini chizamiz hamda bu yo’nalishlarga urintirib egri chiziqlar (yechimlar grafigi)ni o’tkazamiz (4- rasm). Bu egri chiziqlarning ko’rinishi orqali qaralayotgan differensial tenglamaning yechimlari haqida tasavvur hosil qilamiz. Yo`nalishlar maydoni yordamida integral chiziqqa yaqin siniq chiziqni qurish mumkin. Buning uchun boylang`ich nuqtadan shu nuqtadagi maydon yo`nalishi bo`ylab yetarlicha kichik 0
masofaga ko`chib yangi nuqtani hosil qilamiz, yangi nuqtadan shu nuqtadagi maydon yo`nalishi bo`ylab 0
(qadam) masofaga ko`chib yana yangi nuqtaga kelamiz, bu nuqtanan shu nuqtadagi maydon yo`nalishi bo`ylab yana 0
masofaga ko`chib yangi nuqtaga kelamiz va h.k. Hosil bo`lgan siniq chiziq Eyler siniq chizig`i deb ataladi. 0
qadam qancha kichik bo`lsa, Eyler siniq chizig`i mos integral chiziqqa shuncha yaqin bo`ladi. Bular ”sonli usullar” o`quv kursida o`rganiladi.
20
Differensiallarda yozilgan tenglama Yechim tushunchasini umumlashtirish
( , )
y f x y
, ( ),
f C D (I.4.1) tenglamada x va y o’zgaruvchilari teng huquqli emas: x erkli o’zaruvchi, ( ) y y x esa uning funksiyasi, ya’ni erksiz o’zgaruvchi. Buning natijasida, masalan, integral chiziq Oy
o’qiga parallel urinmaga ega bo’la olmaydi. Shuning uchun (I.4.1) bilan birgalikda ushbu 1 ( , )
dx dy f x y (I.4.2) «to’ntarilgan» tenglamani ham qaraylik. Bu tenglamada ( )
x x y noma’lum va D sohaning ( , )
funksiya nolga aylanmagan qism sohasida (I.4.2) tenglama (I.4.1) ga teng kuchli bo’ladi; bunda (I.4.2) tenglamadagi ( )
x x y noma’lum funksiya va (I.4.1) tenglamadagi ( ) y y x noma’lum funksiya o`zaro teskari funksiyalardir. Differensial tenglamani differensiallarda ham yozish mumkin: ( , ) ( , )
0 M x y dx N x y dy , (I.4.3) bu yerda { , }
( ) M N C D deb hisoblanadi. (I.4.3) differensial tenglama o’zgaruvchilari teng huquqli qatnashgan yoki simmetrik ko’rinishdagi tenglama deb ham yuritiladi.
Ushbu ( ) x x t , ( ) y y t funksiyalarni qaraylik. Agar 1 0 . ( ), ( ) x t y t hosilalar I oraliqda uzluksiz va bir vaqtda nolga aylanmaydi ( )
( ) 0 ( ) x t y t va 2 0 . ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) 0
shartlar bajarilsa, u holda x = x(t), y = y(t) funksiyalar (I.7.1) tenglamaning parametrik ko’rinishda berilgan yechimi deyiladi. Eslatma. 1 0 shart integral chiziqning maxsus nuqtaga ega bo’lmagan silliq chiziq ekanligini anglatadi. 0 ) ( ) ( t y t x bo’lgani uchun integral chiziq o’zining ixtiyoriy nuqtasi atrofida (lokal) ( )
y x yoki ( )
x y oshkor ko’rinishda beriladi.
Integral chiziqni oshkormas ko’rinishda, ya’ni 0 ) , (
x u
tenglama bilan ham berish mumkin; bu yerda ) ( 1 D C u va 0 ) , ( ) , ( y y x u x y x u
21
deb hisoblanadi. Agar
D y x ) , ( 0 0 nuqtada 0 )
( ) , ( 0 0 0 0 y x N y x M
bo’lsa, ) , ( 0 0
x nuqta (I.4.3) tenglamaning maxsus nuqtasi deyiladi. Maxsus bo’lmagan nuqta regulyar nuqta deyiladi. Regulyar nuqtada
va
N funksiyalarning birortasi, aytaylik, (yoki )
M noldan farqli bo’lgani uchun bu nuqtaning biror atrofida ham 0 (
yoki 0) M . Demak, ixtiyoriy regulyar nuqtaning yetarlicha kichik atrofida (I.4.3) tenglama ( , ) ( , )
, yoki
( , ) ( , )
dy M x y dx N x y dx N x y dy M x y
ko’rinishga keladi. Shuning uchun tenglama har qanday regulyar nuqtada yo’nalishni aniqlaydi (yo’nalish ordinatalar o’qiga parallel bo’lishi mumkin). Bu nuqtada yechim (integral chiziq) shu nuqtadagi yo’nalishga urinadi.
Misol. Ushbu 0 ydy xdx
differensial tenglama (0;0) maxsus nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda yo’nalishlar maydonini aniqlaydi. Bu tenglamani quyidagicha yechish mumkin 2 2 2 2 2 2 0, (
) ( ) 0, ( ) 0 xdx ydy d x d y d x y . Demak, 2 2
y c .
Berilgan 0 0 ( , ) (0;0)
x y nuqtadan o’tuvchi integral chiziq aylanadan iborat: 2 0 2 0 2 2 y x y x . Bu aylana ixtiyoriy nuqtasining biror atrofida ( ) y x yoki ( )
x y formula bilan oshkor ko`rinishda berilishi mumkin. Lekin uni butunligicha oshkor ko`rinishda berib bo’lmaydi.
22
Boshlang`ich funksiyani tiklash ( )
ko`rinishdagi tenglama, yechimning yagonaligi, yechimning ( , )
oraliqda aniqlanishi O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama va uni yechish Misol
Yechimning yagonaligi, yagonalik sohasi, o’zgaruvchilari ajraladigan,
1. Eng sodda differensial tenglamadan boshlaylik: ( ),
( ) y f x f C I
. (I.5.1) Bu tenglamaning yechimlari, analizdan ma’lumki, ( )
f x funksiyaning boshlang’ich funksiyalaridan iborat bo’ladi: ( )
y f x dx c , c const . (I.5.2) Bu yechim qaralayotgan (I.5.1) tenglamadagi f funksiyaning uzluksizlik oralig’i I da
aniqlangan. Tenglamaning 0 0 ( ) y x y
0 0 ( , )
I y shartni qanoatlantiruvchi yechimi yagona va u integral hisobning asosiy teoremasiga ko’ra 0 0
x x y y f s ds
ko’rinishda ifodalanadi. Demak, (I.5.1) tenglama uchun yagonalik sohasi I polosadan iborat (5- rasm).
5- rasm. ( )
y f x
tenglama yechimlari
0
23
2. Ushbu ( ), ( , ) ,
( )
g y g C c d
(I.5.3) tenglamani qaraylik. Faraz qilaylik, g funksiya ( , )
I c d intervalda nolga aylanmasin. ( ) g C I (uzluksiz) bo’lganlgi uchun u o’z ishorasini saqlaydi. Aniqlik uchun y I
bo’lganda ( )
0 g y deylik. Agar
( ) y y x funksiya (I.5.3) tenglamaning 0 0 ( ) y x y
0 ( ) y I shartni qanoatlantiruvchi biror yechimi bo’lsa, u holda 0 0 ( ) ( ( )),
( ) dy x g y x y x y dx bo’ladi. Demak,
( ( ))
dy dx g y x
.
Bu tenglikning har ikkala tomonini integrallaymiz: 0 0 ( ) ( ( )) x x dy s x x g y s
yoki 0 ( )
0 ( )
y x y dz x x g z
. (I.5.4) Ushbu 0 0 0 ( )
, ({ , } ( , ))
( ) y y y dz y y y c d g z (I.5.5) belgilashni kiritib, (I.5.4) tenglikni 0 0 0 0 ( ( )) , ( ( )) y y x x x y y x (I.5.6) ko’rinishga keltiramiz. Demak, qaralayotgan ( )
y y x yechim ushbu 0 0 0 0 ( )
, ( ( )) y y x x y y x (I.5.7) tenglamani qanoatlantiradi. (I.5.7) tenglama ( )
y y x funksiyani oshkormas ko’rinishda aniqlaydi. Oshkormas ko’rinishda berilgan bu ( )
y y x funksiya (I.5.3) differensial tenglamani qanoatlantiradi. Haqiqatdan ham, 0 ( ) 1 0 ( ) y y y g y
bo’lgani uchun teskari funksiya haqidagi teoremaga ko’ra 0 ( ) y u y
funksiya teskari funksiya 0 1
y y u ga ega: 0 0 0 0 1 1 ( ( )), ( ( ))
y y y y u u y y
Teskari 0 1 ( ) y y u funksiya 0 0 ( ) ( )
y y c u d intervalda aniqlangan bo’ladi.
(I.5.7) tenglikdan topilgan 24
0 1 0 ( ) y y x x . funksiya (I.5.3) tenglamani qanoatlantiradi (tekshirib ko’ring). Demak, yechim 0 0 0 ( ) ( )
y y c x x d bo’lganda mavjud. Shunday qilib, ( )
yechimning aniqlanish sohasi (I.5.5) ga ko`ra 0 0 0 0 ( )
( ) c d y y dz dz x x x g z g z intervaldan iborat bo’lib, u 0 0
( ) ( )
c d y y dz dz g z g z (I.5.8) integrallar uzoqlashuvchi bo’lgan holdagina ( ,
oraliqda aniqlangan bo’ladi.
Biz quyidagi teoremani isbotladik. Download 0.97 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling