O`zbekiston respublikasi o`rta va oliy ta’lim vazirligi qarshi davlat ubiversiteti matematika kafedrasi

 

 

16 

 

I.2. KOSHI  MASALASI 

Hosilaga nisbatan yechilgan tenglama uchun Koshi masalasi 

           Misollar 

 

Koshi masalasi, boshlang`ich masala,  

 

 

Hosilaga nisbatan yechilgan ushbu  

( , )

y

f x y

 

                                                       (I.2.1) 

differensial  tenglamani  qaraylik;  bu  yerda 

( ),

f

C D

D





–  tekislikdagi  soha.  (I.2.1) 

tenglamaning  

0

0

0

0

( )

, ( ,

)

y x

y

x y

D





,                                         (I.2.2) 

shartni qanoatlantiruvchi ( berilgan 

0

x

 nuqtada berilgan 

0

y

 qiymatni qabul qiluvchi ) va biror 

I

, 

0

x

I



,    oraliqda  aniqlangan 

( )

y

x





  yechimini  topish  Koshi  masalasi  yoki 

boshlang’ich masala deyiladi va u   

0

0

( , )

x

y

f x y

y

y

 









         yoki     

0

0

( , ),

x

y

f x y

y

y

 



                             (K) 

ko’rinishda  yoziladi.  Bu  yerda 

0

x

y

  yozuvi   

( )

y

y x



    noma’lum  funksiyaning 

0

x

x



 

nuqtadagi qiymatini anglatadi, ya’ni 

0

0

( )

x

y

y x



.  

 

(I.2.2) shart boshlang’ich shart yoki Koshi sharti deb yuritiladi.  

 

Agar shunday I



x

0

 oraliq topilsaki, bu oraliqda biror 

( )

y

y x



funksiya  (I.2.1) ning 

yechimi bo’lib, (I.2.2) shartni ham qanoatlantirsa, u holda (K) masalaning yechimi mavjud 

deyiladi, bu  

( )

y

y x



 funksiya  esa (K) masalaningning 

I

 oraliqda aniqlangan yechimi deb 

yuritiladi.  

 

(K)  masalaga  nisbatan  tabiiy  ravishda  quyidagi 

savollar tug’iladi:  

 

1.  (K)  masala  x

0

  ga  yetarlicha  yaqin  x  larda 

aniqlangan biror yechimga egami?  

 

2. Agar yechim mavjud bo`lsa, u yagonami? 

 

3.  (K)  masalaning  yechimi  qaysi  eng  katta  I,  I



x

0

, 

oraliqda mavjud? 

 

Misol 1. a) Ushbu  

2/3

3

, (0)

0,

y

y

y

 



 

Koshi masalasi 

0

y



 yechim bilan birgalikda 

3

y

x



yechimga  ham ega (tekshirib ko’ring). 

Shunday qilib, a) masalaning yechimi yagona emas.  

b) Ushbu                                                    

2

0

,

|

1,

y

y

y

 



 

17 

 

masalaning yechimini topaylik. Faraz qilaylik, 

( )

y

y x



 yechim mavjud bo’lsin. Bu yechim 

(

1

C



) 

0

x



  ning  kichik  atrofida  noldan  farqli,  chunki 

(0) 1

y



.  Berilgan  tenglamadan 

2

dy

dx

y



 tenglikni topib, uni 0 dan  x  gacha integrallab, quyidagini olamiz:

1

1

(0)

( )

x

у

у x





. Bundan berilgan 

0

|

1

y



 boshlang’ich shartga ko’ra  

1

( )

1

y x

x





 ekanligini hosil qilamiz. 

Topilgan  bu  funksiya  qaralayotgan  masalaning 

(

,1)



  oraliqda  aniqlangan  yechimidir 

(tekshirib ko’ring). Demak, qaralayotgan masalaning yechimi yagona (bir dona). Ravshanki, 

berilgan  masalu  yechimi 

(

,1)



dan  kattaroq  (kengroq)  oraliqda  mavjud  bo’la  olmaydi. 

chunki 

1 0

x

 

 da yechim 



ka ketib qoladi.

 

 

 

 

18 

 

I.3. GEOMETRIK TALQIN 

 

Yo`nalishlar maydoni 

Izoklinalar 

Eyler siniq chiziqlari 

Misollar 

 

Yo`nalishlar maydoni, izoklina, Eyler siniq chizig`i 

 

 

Ushbu  

( , )

y

f x y

 

                                               (I.3.1) 

differensial  tenglamani  qaraylik;  bu  yerda   

f

  funksiyani 

D

  sohada  yetarlicha  silliq  deb 

hisoblaymiz. 

 

(I.3.1)  tenglamaning 

0

0

(

)

y x

y



  boshlang’ich  shartni  qanoatlantiruvchi  yechimini 

topish 

0

0

( ,

)

x y

D



 nuqta orqali (I.3.1) tenglamaning integral chizig’ini o’tkazish demakdir.  

 

Har  bir 

0

0

( ,

)

x y

D



  nuqtaga  shu  nuqtadan  o’tuvchi  va 

0

0

( ,

)

k

f x y



  burchak 

koeffitsientiga ega bo’lgan to’g’ri chiziqni mos qo’yib, bu to’g’ri chiziqni «kichik kesma» 

(ya’ni yo’nalish ) bilan tasvirlaylik. Natijada D sohada (I.3.1) differensial tenglamaga mos 

keluvchi yo’nalishlar maydoni hosil bo’ladi. Har bir «kichik kesma» mos nuqtadagi maydon 

yo’nalishi deyiladi.  

 

D

 sohadagi egri chiziq (I.3.1) tenglamaning integral chizig’i bo’lishi uchun u o’zining 

ixtiyoriy  nuqtasida  maydonning  shu  nuqtadagi  yo’nalishiga  urinishi  yetarli  va  zarurdir  (

0

0

0

( )

( ,

)

y x

f x y

k







–  integral  chiziqning 

0

0

( ,

)

x y

  nuqtasidagi  urinmasining  burchak 

koeffitsienti; bu yo`nalish 

Ox

o`qi bilan 

arctgk





burchak tashkil etadi). 

 

Maydon  yo’nalishlarini  ko’rsatuvchi  kesmachalarni  D  sohada  «yetarlicha  zich» 

tasvirlab  va  bu  kesmachalarga  urinuvchi  egri  chiziqni  chizib,  berilgan  differensial 

tenglamaning integral chizig’ini taqriban qurish mumkin. 

Integral chiziqlarni aniqroq chizish maqsadida yechimlarning ekstremum va burilish 

nuqtalarini  topish  mumkin.  Yechimlarning  statsionar  (kritik)  va,  demak,      ekstremum 

nuqtalari  ham

( , )

0

f x y



 tenglamani qanoatlantiradi. Burilish nuqtalarida 

0

y

 

 bo’lishi 

kerak. 

( )

y

y x



  yechim  uchun   

( )

( , ( ))

y x

f x y x





  ayniyat  bajariladi.  Bu  tenglikni 

differensiallab, 

y



 ni topamiz: 

f

f

y

y

x

y



















 ,  ya’ni  

f

f

y

f

x

y





 









. 

Demak, burilish nuqtalari   

0

f

f

f

x

y







 





 

tenglamani  qanoatlantirdi. 

19 

 

 

Misol.      Ushbu 

3

3

y

x

y

  

  differensial  tenglama  uchun  yo`nalishlar  maydoni  va  4 

dona integral chiziq 3- rasmda ko`rsatilgan. 

 3-  rasm. 

3

3

y

x

y

  

  tenglamaning  yo`nalishlar 

maydoni va  yechimlari grafiklari 

 

Yo’nalishlar 

maydonini 

qurishda 

(tasvirlashda)  ba’zan  izoklinalardan  foydalanish 

maqsadga muvofiq.  

 

Barcha nuqtalarida maydon yo’nalishi bir xil 

burchak  koeffitsientiga  ega  bo’lgan  to’plam 

izoklina deyiladi (Grekchadan: isos – bir xil, teng; 

klino  –  og’dirish).  Izoklinalar 

( , )

f x y

k



  (

k

  – 

const)  tenglama  bilan  beriladi. 

( , )

f x y

k



 

izoklinaning har bir nuqtasida  maydon yo’nalishi  

            

 

 

 

 

 

 

3-rasm 

x

lar  o’qining  musbat  yo’nalishi  bilan  bir  xil 

arctgk





 burchak tashkil etadi 

Misol.      Ushbu

2

2

y

x

y

 



  differensial 

tenglama  uchun  izoklinalar   

2

2

,

x

y

k k







const, 

tenglikdan topiladi.  Izoklinalar markazi koordinatalar 

boshida  joylashgan  konsentrik  aylanalardan  (

0

k



) 

va 

(0;0)

  nuqtadan  (

0

k



)  iborat.    Masalan, 

2

2

1

x

y





 izoklina nuqtalarida yo’nalishlar maydoni 

x

lar o’qi bilan bir xil    

                                                                          4-rasm 

arctg

arctg1

45

k









li  burchak  tashkil  etadi.  Bir  nechta  izoklina  va  ulardagi 

maydon yo’nalishlarini chizamiz hamda bu yo’nalishlarga urintirib egri chiziqlar (yechimlar 

grafigi)ni  o’tkazamiz  (4-  rasm).  Bu  egri  chiziqlarning  ko’rinishi  orqali  qaralayotgan 

differensial tenglamaning yechimlari haqida tasavvur hosil qilamiz.  

Yo`nalishlar  maydoni  yordamida  integral  chiziqqa  yaqin  siniq  chiziqni  qurish 

mumkin.  Buning  uchun  boylang`ich  nuqtadan  shu  nuqtadagi  maydon  yo`nalishi  bo`ylab 

yetarlicha kichik 

0

h



 masofaga ko`chib  yangi  nuqtani hosil qilamiz,  yangi nuqtadan shu 

nuqtadagi maydon yo`nalishi bo`ylab  

0

h



 (qadam) masofaga ko`chib yana yangi nuqtaga 

kelamiz,  bu  nuqtanan  shu  nuqtadagi  maydon  yo`nalishi  bo`ylab  yana   

0

h



  masofaga 

ko`chib  yangi  nuqtaga  kelamiz  va  h.k.  Hosil  bo`lgan  siniq  chiziq  Eyler  siniq  chizig`i  deb 

ataladi. 

0

h



 qadam qancha kichik bo`lsa,  Eyler siniq chizig`i mos integral chiziqqa shuncha 

yaqin bo`ladi. Bular ”sonli usullar” o`quv kursida o`rganiladi.   

 

 

 

 

20 

 

I.4. DIFFERENSIALLARDA YOZILGAN TENGLAMALAR 

 

Differensiallarda yozilgan tenglama 

Yechim tushunchasini umumlashtirish 

  

Differensiallarda yozilgan tenglama, maxsus nuqta, regulyar nuqta  

 

 

Yuqorida qaralgan  

                    

( , )

y

f x y

 

, 

( ),

f

C D



                                            (I.4.1) 

tenglamada  x  va 

y

 o’zgaruvchilari teng huquqli emas: x



erkli o’zaruvchi, 

( )

y

y x



 esa



uning funksiyasi, ya’ni erksiz o’zgaruvchi. Buning natijasida, masalan, integral chiziq 

Oy

 

o’qiga parallel urinmaga ega bo’la olmaydi. Shuning uchun (I.4.1) bilan birgalikda  ushbu 

1

( , )

dx

dy

f x y



                                                   (I.4.2) 

«to’ntarilgan» tenglamani ham qaraylik. Bu tenglamada 

( )

x

x y



 noma’lum va 

D

 sohaning  

( , )

f x y

 funksiya  nolga aylanmagan qism sohasida (I.4.2) tenglama (I.4.1) ga  teng kuchli 

bo’ladi;  bunda  (I.4.2)  tenglamadagi 

( )

x

x y



noma’lum  funksiya  va  (I.4.1)  tenglamadagi 

( )

y

y x



 noma’lum funksiya o`zaro teskari funksiyalardir.  

 

Differensial tenglamani differensiallarda ham yozish mumkin: 

( , )

( , )

0

M x y dx

N x y dy





,                                       (I.4.3)                                                                                                 

bu yerda 

{

, }

( )

M N

C D



 deb hisoblanadi. (I.4.3) differensial tenglama o’zgaruvchilari teng 

huquqli qatnashgan yoki simmetrik ko’rinishdagi tenglama deb ham yuritiladi. 

 

Ushbu 

( )

x

x t



, 

( )

y

y t



funksiyalarni qaraylik. Agar  

1

0

. 

( ), ( )

x t y t





 

hosilalar   

I



  oraliqda  uzluksiz  va  bir  vaqtda  nolga 

aylanmaydi 

( )

( )

0

(

)

x t

y t









 va 

2

0

. 

( ( ), ( )) ( )

( ( ), ( )) ( )

0

t

I

M x t y t x t dt

N x t y t y t dt





 





 

shartlar  bajarilsa,  u  holda  x  =  x(t),  y  =  y(t)  funksiyalar  (I.7.1)  tenglamaning  parametrik 

ko’rinishda berilgan yechimi  deyiladi.  

Eslatma.  1

0 

shart  integral  chiziqning  maxsus  nuqtaga  ega  bo’lmagan  silliq  chiziq 

ekanligini anglatadi. 

0

)

(

)

(









t

y

t

x

bo’lgani uchun integral chiziq o’zining ixtiyoriy nuqtasi 

atrofida (lokal) 

( )

y

x





 yoki 

( )

x

y





 

oshkor ko’rinishda  beriladi.  

 

Integral chiziqni oshkormas ko’rinishda, ya’ni 

0

)

,

(



y

x

u

 

tenglama bilan ham berish mumkin; bu yerda 

)

(

1

D

C

u



 va 

0

)

,

(

)

,

(











y

y

x

u

x

y

x

u

 

21 

 

deb hisoblanadi. 

 

Agar 

D

y

x



)

,

(

0

0

 nuqtada 

0

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0





y

x

N

y

x

M

 

bo’lsa, 

)

,

(

0

0

y

x

nuqta (I.4.3) tenglamaning maxsus nuqtasi deyiladi. Maxsus bo’lmagan nuqta 

regulyar  nuqta  deyiladi.  Regulyar  nuqtada 

M

  va 

N

  funksiyalarning    birortasi,  aytaylik, 

(yoki

)

N

M

 noldan farqli bo’lgani uchun bu nuqtaning biror atrofida ham 

0 (

N



yoki 

0)

M



. Demak, ixtiyoriy regulyar nuqtaning yetarlicha kichik atrofida (I.4.3) tenglama 

( , )

( , )

,

yoki

( , )

( , )

dy

M x y

dx

N x y

dx

N x y

dy

M x y





 

 









 

ko’rinishga  keladi.  Shuning  uchun  tenglama  har  qanday  regulyar  nuqtada  yo’nalishni 

aniqlaydi  (yo’nalish  ordinatalar  o’qiga  parallel  bo’lishi  mumkin).  Bu  nuqtada  yechim 

(integral chiziq) shu nuqtadagi yo’nalishga urinadi.  

 

Misol. Ushbu 

0





ydy

xdx

 

differensial  tenglama 

(0;0)

  maxsus  nuqtadan  boshqa  barcha  nuqtalarda  yo’nalishlar 

maydonini aniqlaydi. Bu tenglamani quyidagicha yechish mumkin 

2

2

2

2

2

2

0, (

)

(

)

0, (

)

0

xdx

ydy

d x

d y

d x

y













. 

Demak, 

2

2

x

y

c





. 

 

Berilgan 

0

0

( ,

)

(0;0)

x y



 nuqtadan o’tuvchi integral chiziq aylanadan iborat: 

2

0

2

0

2

2

y

x

y

x







. 

Bu  aylana  ixtiyoriy  nuqtasining  biror  atrofida 

( )

y

x





yoki 

( )

x

y





  formula  bilan  oshkor 

ko`rinishda berilishi mumkin. Lekin uni butunligicha oshkor ko`rinishda berib bo’lmaydi.  

 

 

 

 

22 

 

I.5. O’ZGARUVCHILARI AJRALADIGAN TENGLAMALAR 

 

Boshlang`ich funksiyani tiklash 

( )

y

g y

 

 ko`rinishdagi tenglama, yechimning yagonaligi, yechimning 

(

,

)

 

oraliqda 

aniqlanishi 

O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama va uni yechish 

Misol 

 

Yechimning yagonaligi, yagonalik sohasi, o’zgaruvchilari ajraladigan, 

 

 

1. Eng sodda differensial tenglamadan boshlaylik:  

( ),

( )

y

f x

f

C I

 



.                                            (I.5.1) 

Bu  tenglamaning  yechimlari,  analizdan  ma’lumki, 

( )

f x

funksiyaning  boshlang’ich 

funksiyalaridan iborat bo’ladi:  

( )

y

f x dx

c







,  c



 const .                                        (I.5.2) 

Bu  yechim  qaralayotgan  (I.5.1)  tenglamadagi 

f

  funksiyaning  uzluksizlik    oralig’i 

I

  da 

aniqlangan.  Tenglamaning 

0

0

( )

y x

y



 

0

0

(

,

)

x

I

y





  shartni  qanoatlantiruvchi  yechimi 

yagona  va u  integral hisobning asosiy teoremasiga ko’ra  

0

0

( )

x

x

y

y

f s ds







 

ko’rinishda  ifodalanadi. Demak, (I.5.1) tenglama uchun yagonalik sohasi 

I



 polosadan 

iborat (5- rasm). 

 

 

5- rasm. 

( )

y

f x

 

 tenglama    yechimlari 

 

 

 

 

 

 

 

0 

 

 

23 

 

2. Ushbu  

( ),

( , ) ,

(

)

y

g y

g

C c d

 



                                              (I.5.3) 

tenglamani  qaraylik.  Faraz  qilaylik,  g  funksiya   

( , )

I

c d



  intervalda  nolga  aylanmasin. 

( )

g

C I



  (uzluksiz)  bo’lganlgi  uchun  u  o’z  ishorasini  saqlaydi.  Aniqlik  uchun 

y

I



 

bo’lganda 

( )

0

g y



 deylik.  

 

Agar 

( )

y

y x



  funksiya    (I.5.3)  tenglamaning 

0

0

( )

y x

y



 

0

(

)

y

I



shartni 

qanoatlantiruvchi biror yechimi bo’lsa, u holda 

0

0

( )

( ( )),

( )

dy x

g y x

y x

y

dx





 

bo’ladi. Demak,  

 

( ( ))

dy

dx

g y x



 

. 

 

Bu tenglikning har ikkala tomonini integrallaymiz: 

0

0

( )

( ( ))

x

x

dy s

x

x

g y s

 



    yoki        

0

( )

0

( )

y x

y

dz

x

x

g z

 



. 

                       (I.5.4) 

Ushbu  

0

0

0

( )

, ({ , }

( , ))

( )

y

y

y

dz

y

y y

c d

g z









                                       (I.5.5) 

belgilashni kiritib, (I.5.4) tenglikni 

0

0

0

0

( ( ))

,

(

( ))

y

y x

x

x

y

y x



 



                            (I.5.6) 

ko’rinishga keltiramiz. Demak, qaralayotgan 

( )

y

y x



 yechim ushbu  

0

0

0

0

( )

,

(

( ))

y

y

x

x

y

y x



 



                                   (I.5.7)  

tenglamani  qanoatlantiradi.  (I.5.7)    tenglama 

( )

y

y x



  funksiyani  oshkormas  ko’rinishda 

aniqlaydi.  Oshkormas  ko’rinishda  berilgan  bu 

( )

y

y x



  funksiya      (I.5.3)  differensial 

tenglamani qanoatlantiradi. Haqiqatdan ham,  

0

( )

1

0

( )

y

y

y

g y









 

bo’lgani uchun teskari funksiya haqidagi teoremaga ko’ra 

0

( )

y

u

y

 

 funksiya  teskari 

funksiya 

0

1

( )

y

y

u



 

 ga ega: 

0

0

0

0

1

1

(

( )),

(

( ))

y

y

y

y

u

u

y

y





  

  

 

 

Teskari 

0

1

( )

y

y

u



 

 funksiya   

0

0

( )

( )

y

y

c

u

d



  

 

intervalda aniqlangan bo’ladi. 

 

(I.5.7) tenglikdan topilgan  

24 

 

0

1

0

(

)

y

y

x

x



 



. 

funksiya (I.5.3) tenglamani qanoatlantiradi (tekshirib ko’ring). Demak, yechim 

0

0

0

( )

( )

y

y

c

x

x

d



   

 

bo’lganda mavjud. Shunday qilib, 

( )

у у х



yechimning aniqlanish sohasi (I.5.5) ga ko`ra 

0

0

0

0

( )

( )

c

d

y

y

dz

dz

x

x

x

g z

g z



 







 

intervaldan iborat bo’lib, u 

0

0

;

( )

( )

c

d

y

y

dz

dz

g z

g z





                                              (I.5.8) 

integrallar uzoqlashuvchi bo’lgan holdagina 

(

,

)

 

 oraliqda aniqlangan bo’ladi. 

 

Biz quyidagi teoremani isbotladik.