O`zbekiston respublikasi o`rta va oliy ta’lim vazirligi qarshi davlat ubiversiteti matematika kafedrasi

metodi. (I.7.4) ni (I.7.1) ga qo’yib, 

0

( ) exp

( )

( )

x

x

v x

p s ds

q x























 

tenglikni hosil qilamiz. Bundan 

0

0

0

( )

( )exp

( )

( )

( ) exp

( )

x

x

x

x

x

v x

q x

p s ds

v x

с

q

p s ds d





















 























            (I.7.5) 

(I.7.5) ni (I.7.4) ga qo’yib, (I.7.1)ning umumiy yechimini hosil qilamiz:   

0

0

0

0

exp

( )

exp

( )

( ) exp

( )

x

x

x

x

x

x

x

y

с

p s ds

p s ds

q

p s ds d





























































             (I.7.6) 

(I.7.6) formuladagi birinchi qo’shiluvchi bir jinsli tenglama (I.7.2) ning umumiy yechimini, 

ikkinchi qo’shiluvchi esa (I.7.1) ning xususiy (biror) yechimini beradi.  

 

Shunday  qilib,  bir  jinsli  bo’lmagan  (I.7.1)  tenglamaning  umumiy  yechimi    uning 

xususiy yechimiga mos bir jinsli tenglama (I.7.2) ning umumiy yechimini qo’shishdan hosil 

bo’ladi. 

 

Tenglamaning  yagona  (birorta)  xususiy  yechimini  ajratish  uchun  qo’shimcha  shart 

qo’yish kerak. (I.7.1) tenglamaning 

0

x

I



 nuqtada berilgan 

0

y

 qiymatni qabul qiluvchi, ya’ni 

 

 

 

0

0

)

(

y

x

y



 

 

 

                     

(I.7.7) 

shartni qanoatlantiruvchi yechimi (I.7.6) formuladan osongina topiladi. Bu yechim bitta va u 

 

0

0

0

0

0

exp

( )

exp

( )

( ) exp

( )

x

x

x

x

x

x

x

y

y

p s ds

p s ds

q

p s ds d





























































            (I.7.8) 

formula  bilan  ifodalanadi.  Demak,   

(

,

)

I

  

  polosa  (I.7.1)  tenglamaning  yagonalik 

sohasidir.  Ravshanki,  (I.7.1),(I.7.7)  boshlang’ich  masalaning    (I.7.8)  yechimi 

I

  oraliqda, 

ya’ni (I.7.1) tenglamada berilgan  funksiyalarning uzluksizlik oralig’ida aniqlangan. 

 

Bernulli tenglamasi deb  ushbu 

( )

( )

(

1,

0,{ ( ), ( )}

( ))

y

p x y q x y

p x q x

C I







 









                   (I.7.9) 

31 

 

ko`rinishdagi tenglamaga aytiladi. Bernulli tenglamasi 

1

( )

u x

y







 almashtirish yordamida 

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

x

q

u

x

p

u















 

chiziqli tenglamaga keltiriladi.  

 

Bernulli  tenglamasini  Eyler-Bernulli  usuli  deb  ataluvchi  usul  bilan  ham  yechish 

mumkin. Bu usulga ko’ra yechim 

y

uv



 ko’rinishda izlanadi, bunda 

,

u v



hozircha noma’lum 

funksiyalar. 

y

uv



 ni berilgan tenglamaga qo’yamiz: 

( )

( )

u v uv

p x uv

q x y













, 





( )

( )

u

p x u v uv

q x u v

 











. 

Endi 

( )

0

u

p x u

 



, ya’ni   





exp

( )

u

p x dx





 deb,  

v

 uchun 

( )

uv

q x u v

 

 

  tenglamaga 

kelamiz. Oxirgi tenglamani yechib, topilgan 

,

u v

 larga ko’ra Bernulli tenglamasining 

y

uv



 

yechimini yozamiz.  

Rikkati tenglamasi deb 

                                       

)

(

)

(

)

(

2

x

c

y

x

b

y

x

a

y









                                       (I.7.10) 

ko’rinishdagi  tenglamaga  aytiladi;  bunda 

0

)

(

,

0

)

(

),

(

)}

(

),

(

),

(

{







x

b

x

a

I

C

x

c

x

b

x

a

deb 

hisoblanadi (

0

)

(



x

a

bo’lganda chiziqli tnglama hosil bo’ladi, 

0

)

(



x

c

 bo’lganda esa-Bernulli 

tenglamasi). Rikkati tenglamasi differensial tenglamalar nazariyasida alohida o’rin tutadi. Bu 

tenglama amaliy masalalarni yechishda ko’p uchraydi. 

Umumiy holda  Rikkati tenglamasining yechimi kvadraturalarda ifodalanmaydi, 

ya’ni 

( ), ( ), ( )

a x b x c x

 va elementar funksiyalar orqali chekli sondagi integrallar yordamida 

topilmaydi. Ba’zi maxsus hollardagina u kvadratularda yechiladi. Shu hollarning ba’zilarini 

keltiraylik: 

1)

)

)(

(

2

c

by

ay

x

f

y









,     2) 

c

x

y

b

x

y

a

y









2

2

,     3) 

2

2

x

c

y

x

b

ay

y









 

(uchala holda ham 

c

b

a ,

,

 koeffitsientlar o’zgarmas sonlardan iborat). 1) tipdagi 

tenglamalarda o’zgaruvchilar ajraladi, 2) tipdagilari – o’zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli 

tenglamalar, 3) tipdagilari esa 

/

y

z x



 almashtirish yordamida  o’zgaruvchilari ajraladigan 

tenglamalarga keltiriladi. 

Agar  Rikkati  tenglamasining  biror 

)

(x

y





xususiy  yechimi  ma’lum  bo’lsa,  uning 

umumiy  yechimini  topish  mumkin.  Buning  uchun  tenglamada   

( )

y

x

u







  almashtirishni 

bajarish kerak, bunda 

u



yangi noma’lum funksiya. U holda ushbu  

2

(2 ( ) ( )

( ))

( )

u

a x

x

b x u

a x u



 





 

Bernulli  tenglamasini  hosil  qilamiz.  Oxirgi  tenglamani  yechish  uchun 

1

u

z



  deb  yangi 

( )

z

z x



  noma’lum  funksiyani  kiritish  mumkin;  bunda  chiziqli  tenglama  hosil  bo’ladi. 

Demak,  yangi noma’lum funksiya 

)

(x

z

z



ni  

z

x

y

1

)

(







 

formula bilan kiritib, 

z

 ga nisbatan chiziqli tenglamaga kelamiz. 

Quyidagi ikki holda xususiy yechim osongina topiladi: 

32 

 

 

d

x

b

d

x

a

x

c

)

(

)

(

)

(

2







 bo’lganda 

d

x

y





)

(



 xususiy yechim; 

 

1

)

(

)

(

)

(

2









x

x

b

x

x

a

x

c

 bo’lganda esa  

x

x

y





)

(



xususiy yechim. 

 

Noma’lum  funksiyani  almashtirish  yoramida  Rikkati  tenglamasining  ko’rinishini 

soddalashtirish mumkin. 

y

 noma’lum funksiya o’rniga yangi 

( )

v

x y





noma’lum funksiyani 

kiritib, ushbu  

2

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

a x

x

v

v

b x

v c x

x

x

x











 







 

tenglamani  hosil  qilamiz.  Endi 

( )

x



  sifatida 

( )

a x

ni  tanlab  (

( )

( )

x

a x





),  tenglamada 

noma’lum funksiya kvadrati oldidagi koeffitsientni birga tenglashtiramiz: 

2

( )

( )

v

v

b x v

c x

 





, 

bu yerda   

( )

( )

( )

,

( )

( ) ( )

( )

a x

b x

b x

c x

c x a x

a x









. 

Agar 

v

 noma’lum funksiya o’rniga yangi 

( )

w

x

y







 noma’lum funksiyani kiritsak, 

( )

x



 ni tanlash evaziga tenglamada noma’lum funksiya qatnashgan hadni yo`qotish mumkin.  

Rikkati  tenglamasining  yana  bir  xususiy  holida  to’xtalaylik.  Agar   

,

)

(

const

a

x

a





,

0

)

(



x

b

 





m

c

cx

x

c

m

,

(

)

(

o’zgarmaslar) bo’lsa, ushbu  

m

cx

ay

y







2

                                                  (I.7.11) 

maxsus Rikkati tenglamasi deb ataluvchi tenglamaga kelamiz. Bu tenglama yechimlarining 

kvadraturalarda ifodalanishi yoki ifodalanmasligi to’la o’rganilgan. 

0



m

 bo’lganda  (I.7.11) 

-o’zgaruvcilari  ajraladigan  tenglama, 

2





m

  bo’lganda  esa  u 

/

y

z x



  almashtirish  bilan 

o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi. Shunday qilib, bu hollarda  (I.7.11) maxsus 

Rikkati  tenglamasi  kvadraturalarda  yechiladi  (aslida  elementar  funksiyalarda).  Bundan 

tashqari 

2

4

m

m



  butun  son  bo’lgan  hollarda  ham  (ya’ni 

4

,

1 2

k

m

k

k







,  holida)    (I.7.11)  

tenglama  elementar  funksiyalarda  yechiladi. 

m

  ning  qolgan  boshqa  qiymatlarida  esa  bu 

tenglamaning  yechimi    elementar  funksiyalarning  chekli  sondagi  integrallari  orqali 

ifodalanmasligini Liuvill 1841 yil isbotlagan. 

 

Noma’lum  funksiyani  almashtirish  yoramida  Rikkati  tenglamasining  ko’rinishini 

soddalashtirish mumkin. 

y

 noma’lum funksiya o’rniga yangi 

( )

v

x y





noma’lum funksiyani 

kiritib, ushbu  

2

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

a x

x

v

v

b x

v

c x

x

x

x











 







 

tenglamani  hosil  qilamiz.  Endi 

( )

x



  sifatida 

( )

a x

ni  tanlab  (

( )

( )

x

a x





),  tenglamada 

noma’lum funksiya kvadrati oldidagi koeffitsientni birga tenglashtiramiz: 

2

( )

( )

v

v

b x v

c x

 





, 

bu yerda   

( )

( )

( )

,

( )

( ) ( )

( )

a x

b x

b x

c x

c x a x

a x









. 

Agar 

v

 noma’lum funksiya o’rniga yangi 

( )

w

x

y







 noma’lum funksiyani kiritsak, 

( )

x



 ni tanlash evaziga tenglamada noma’lum funksiya qatnashgan hadni yo`qotish mumkin.  

33 

 

Rikkati  tenglamasining  yana  bir  xususiy  holida  to’xtalaylik.  Agar   

( )

const,

a x

a

 

,

0

)

(



x

b

 





m

c

cx

x

c

m

,

(

)

(

o’zgarmaslar) bo’lsa, ushbu  

2

m

dy

ay

cx

dx





                                                (I.7.11) 

maxsus Rikkati tenglamasi deb ataluvchi tenglamaga kelamiz. Bu tenglama yechimlarining 

kvadraturalarda ifodalanishi yoki ifodalanmasligi to’la o’rganilgan. 

0



m

 bo’lganda  (I.7.11) 

-o’zgaruvcilari  ajraladigan  tenglama, 

2





m

  bo’lganda  esa  u 

1

/

y

u

 

  almashtirish  bilan 

ushbu 

2

2

du

u

a

c

dx

x

 

  bir  jinsli    tenglamaga  keltiriladi.  Demak,  bu  hollarda    (I.7.11)  maxsus 

Rikkati  tenglamasi  kvadraturalarda  yechiladi. 

m

  ning  (I.7.11)  tenglama  kvadraturalarda 

yechiladigan 

boshqa 

qiymatlarini 

topish 

maqsadida 

tenglamaning 

ko`rinishini 

o`zgartirmaydigan  quyidagi  almashtirishni  qaraylik: 

y

funksiyaning  o`rniga 

1

y

ni, 

x

 

argumentning o`rniga esa 

1

x

 ni  

2

1

1

1

y

x y

ax





 , 

3

1

m

x

x





                                        (I.7.12)   

formulalar bilan kiritaylik. Natijada ushbu 

1

2

1

1 1

1 1

1

m

dy

a y

c x

dx





                                                (I.7.13)   

tenglamani hosil qilamiz, bunda  

1

1

1

4

,

,

3

3

3

c

a

m

a

c

m

m

m

m





 

 







. 

m

 va 

1

m

lar orasidagi 

munosabatni  

                       

1

1

1

1

2

2

m

m

 





                                               (I.7.14)   

ko`rinishda  yozish  mumkin.  Yuqoridagiga  o`xshash  almashtirishni  (I.7.13)  tenglmada 

bajarib,  

2

2

2

2

2

2

2

2

m

dy

a y

c x

dx





 

tenglamaga kelamiz, bunda (I.7.14) ga ko`ra  

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2

m

m

m

 

 







. 

Bunday almashtirishlarni 

k

marta bajarib, 

m

 o`rniga 

k

m

,  

       

1

1

2

2

k

k

m

m

 





, 

1, 2,3,

k



,                                   (I.7.15)   

korsatkichni hosil  qilamiz. Agar (I.7.11) tenglamadan boshlab  yuqoridagi almashtirishlarni 

teskari tartibda bajarsak, 

1

2

,

,

,

k

m

m

m







ko`rsatkichli tenglamalarni hosil qilamiz, bunda 

 

1

1

,

1, 2,3,

2

2

k

k

k

m

m



  







 .                               (I.7.16)   

 

Agar 

2

m



  bo`lsa, 

1

1

2

m

m







  yuqoridagi  almashtirishlar 

2

m



  ko`rsatkichni 

o`zgartirmaydi.  Agar  biror 

k

  da 

0

k

m



  yoki 

0

k

m





  bo`lsa,  hosil  bo`lgan  tenglama  va, 

34 

 

demak, dastlabki (I.7.11) tenglama ham kvadraturalarda yechiladi. Demak, (I.7.15) va (I.7.16) 

ga  ko`ra,  agar 

m

ko`rsatkich 

1

1

,

2

2

k

m

  



  ya'ni 

4

,

1, 2,

,

1 2

k

m

k

k



  



  shartni 

butun son 

  

2

4

m

m

















bajarsa, (I.7.11) maxsus Rikkari tenglamasi kvadraturalarda yechiladi. 

m

  ning  qolgan  boshqa  qiymatlarida  bu  tenglamaning  yechimi    elementar  funksiyalarning 

chekli sondagi integrallari orqali ifodalanmasligini Liuvill 1841 yil isbotlagan.