O`zbekiston respublikasi o`rta va oliy ta’lim vazirligi qarshi davlat ubiversiteti matematika kafedrasi

bet	4/5
Sana	22.06.2020
Hajmi	0.97 Mb.
	#121059

1 2 3 4 5

Bog'liq
1-34

Chiziqli tenglama.

Teorema.

Aytaylik, (I.5.3) differensial tenglamada





( , )

g

C c d



( )

0 (

( , ))

g y

y

c d





bo’lsin. U holda





( , )

,

x y

x

c

y

d

    

 

polosaning

ixtiyoriy

( ,

)

x y

nuqtasidan (I.5.3) tenglamaning yagona

( )

у у х



integral chizig’i o’tadi

va bu yechim (I.5.7) formula bilan oshkormas ko’rinishda beriladi. Bunda yechim

(

)

 

oralig’ida aniqlangan bo’lishi uchun (I.5.8) integrallarning uzoqlashuvchi bo’lishi yetarli va

zarurdir.

Endi (I.5.3) tenglamadagi

funksiyaning

( , )

c d

intervalda nolga aylangan holida

to’xtalaylik. Faraz qilaylik,

( )

g y

funksiya

( , )

c d

ning yagona

( , )

y

y

c d

 

nuqtasida

nolga aylansin. Bu holda (I.5.3) tenglamaning

( )

y x

y



o’zgarmas yechimi mavjud. Bundan

boshqa

( )

у у х



yechim uchun (I.5.3) tenglamadan

( )

( ( ))

dy x

x

g y x



yoki

( ( ))

( )

y

y x

x

x

y

y x

y



 





( ,

)

x y

nuqtadan chiqqan (integral chiziqning) yechimning chekli x da

ga aylanishi ushbu

0

,

( )

c

d

y

y

dz

dz

g z

g z







(I.5.9)

xosmas integrallarning yaqinlashuvchiligi bilan aniqlanadi.

Agar (I.5.9) xosmas integrallarning birortasi yaqinlashuvchi bo’lsa,

y

y



to’g’ri

chiziqning ixtiyoriy nuqtasidan kamida ikkita integral chiziq o’tadi (yechimning yagonalik

xossasi buziladi).

y

y



to’g’ri chiziq atrofida integral chiziqlarning turli hollardagi tabiatini

ko’rsatuvchi grafiklarni quring.

3. Ushbu

( ) ( )

y

f x g y

 

tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deb ataladi. Bu yerda

( , )

(

)

f

C a b



( , )

(

)

g

C c d





berilgan funksiyalar.

Agar g funksiya nolga aylanmasa, u holda ixtiyoriy

0

0

( ,

,

x y

a

x

b c

y

d

 



nuqtadan bu tenglamaning yagona integral chizig’i o’tadi. Bu

( )

у у х



yechim

( )

( )

y

x

x

y

dz

f x dx

g z





tenglama bilan oshkormas ko’rinishda beriladi.

Agar biror

nuqtada

( )

0

g y



, lekin

( )

0,

,

g y

y

y



va (I.5.9) xosmas

integrallarning ikkalasi ham uzoqlashuvchi bo’lsa, bu holda ham yechimning yagonaligi

saqlanadi; (I.5.9) xosmas integrallarning kamida bittasi yaqinlashuvchi bo’lgan holida esa

y

y



to’g’ri chiziqning har bir nuqtasidan kamida 2 ta (va, demak, cheksiz ko’p) integral

chiziq o’tadi (bu to’g’ri chiziqda yotmagan ixtiyoriy nuqtadan bitta va faqat bitta integral

chiziq o’tadi). Bu tasdiqlar 2- bandda bajarilgan tekshirishlardan bevosita kelib chiqadi.

Differensiallarda yozilgan ushbu

( ) ( )

0

M x N y dx

P x Q y dy





(I.5.10)

(







 







( ), ( )

( , ) ,

( ), ( )

( , )

M x P x

C a b

N y Q y

C c d



tenglama ham o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama deb ataladi. Agar

0

( ) (

)

0

P x N y



bo’lsa,

( ,

)

x y

nuqtaning yetarlicha kichik atrofida tenglamaning har ikkala tomonini

( ) ( )

0

P x N y



ga bo’lib, o’zgaruvchilarni ajratamiz:

( )

( )

M x

Q y

dx

dy

P x

N y





Bu tenglikning har ikala tomononi integrallab, yechimni oshkormas ko’rinishda topamiz:

( )

( )

M x

Q y

dx

dy

c

P x

N y







(



const). (I.5.11)

Agar

(

)

0

N y



(

0

( )

0

P x



) bo’lsa,

0

y

y



(

0

x

x



) o’zgarmas yechimlar ham

mavjud. Topilgan (I.5.11) yechimlar orasida bu yechimlar bo’lmasligi, ya’ni ular yo’qolishi

mumkin. Mashqlar bajarganda ana shuni esda tutish lozim.

Misol. Ushbu

(

x

x

ye dx

e

dy





tenglamani yeching.

Tenglamada o`zgaruvchilar ajraladi. Tenglamani (ya’ni uning har ikkala tomonini)

(

1)

x

y e



(

0)

y



ga bo`lib, integrallashlarni bajaramiz:

1

x

x

e

dy

dx

e

y







(

)

1

x

x

e

dy

dx

c c

const

e

y











ln(

1) ln| |

x

e

y

c

 



1

c

x

e

y

e







Bu yerdagi

1

c

e



(



) bilan belgilab,

1

x

c

y

e





(

0

c



) yechimn hosi qiamiz. Bu

formuladan

0

c



da yo`qolgan

0

y



yechim hosil bo`ladi. Demak, berilgan tenglamaning

umumiy yechimi

1

x

c

y

e





,

c



ixtiyoriy o`zgarmas, formula bilan aniqlanadi.



I.6. O’ZGARUVCHILARIGA NISBATAN BIR JINSLI DIFFERENSIAL

TENGLAMA

Bir jinsli funksiya

O’zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli differensial tenglama va uni yechish

Misol

Bir jinsli funksiya, o’zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli differensial tenglama

Agar

( , )

y

f x y

 

differensial tenglamadagi

( , )

f x y

funksiya

,

x y

o’zgaruvchilarni

mos ravishda

,

tx ty

(

0

t



yoki

0

t



) bilan almashtirilganda o’zgarmasa, ya’ni

( , )

( , ) , ( , )

( ),

0 (yoki ( , )

( ),

0)

f tx ty

f x y

x y

D f

t

x y

D f

t











(I.6.1)

bo’lsa, u holda bu

( , )

f x y

funksiya (0- tartibli) bir jinsli, mos

( , )

y

f x y

 

differensial tenglama esa o’zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli tenglama deyiladi.

Agar

( , )

f x y

bir jinsli funksiya bo’lsa, u holda

1

1

( , )

(

)

(

)

( )

g

y

y

f x y

f

x

y

f

x

x

x

x







bunda

( )

(1, )

def

g t

f

t



Aksincha, bir o’zgaruvchining

( )

g t

funksiyasi orqali ifodalangan

( , )

(

0

y

f x y

g

x

x

 





 

 

bo’lgan sohada) (yoki

( , )

х

f x y

g

у

 

  

 

(

0

y



bo’lgan sohada) )

funksiya bir jinslidir.

Bir jinsli tenglamada

y

xu



(I.6.2)

deb, yangi

( )

u

u x



noma’lum funksiyaga o’tamiz. U holda

y

u

xu



 

va berilgan tenglama

( ,

)

u

xu

f x xu







yoki,

( ,

)

(1, )

( )

f x xu

f

u

g u



bo’lgani uchun,

( )

xu

g u

u

 



ko’rinishni oladi. Bu o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Oxirgi

tenglamaning

( )

u

u x



yechimi topilgach, (I.6.2) formulaga ko’ra berilgan tenglamaning

( )

y

xu x



yechimini hosil qilamiz.

Misol.

Ushbu

ln

y

xy

y

x

 

|

x

y

e



boshlang’ich masalani yeching.



Dastlab berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topamiz. So’ngra ular orasidan

ko’rsatilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradiganini ajratamiz. Berilgan tenglama –

o’zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli. Yangi

( )

u

u x



noma’lum funksiyani

y

xu



formula

bilan kiritamiz. Zarur hisoblashlarni va shakl almashtirishlarni bajaramiz:

y

u

xu



 

ln

y

y

y

u

xu

u

u

x

x









(ln

1)

xu

u

u

 



Oxirgi tegnglamada o’zgaruvchilarni ajratamiz va integrallashlarni bajaramiz:

(ln

1)

du

dx

u

u

x





1 cx

u

e





Tenglamani

(ln

1)

u



ga bo’lishda

u

e



(bizda

0

u



) yechim yo’qolishi mumkin. Lekin

bu yechim

1 cx

u

e





formuladan

0

c



da hosil bo’ladi. Demak, berilgan tenglamaning

barcha yechimlari

1 cx

y

xu

xe





formula bilan beriladi.

1

|

x

y

e



boshlang’ich shart

qanoatlanishi uchun

1 c

e

e





, ya’ni

1

c



bo’lishi kerak. Shunday qilib, berilgan Koshi

masalasining yechimi umumiy yechim formulasidan

1

c



da hosil bo’ladi:

1 x

y

xe







Ushbu

( )

y

y

y

h x g

x

x

  

ko’rinishdagi tenglamani ham

y

xu



almashtirish yordamida yechish mumkin.

I.7. CHIZIQLI TENGLAMA. BERNULLI VA RIKKATI TENGLAMALARI

Chiziqli tenglama

Chiziqli tenglamani yechish usullari

Bernulli tenglamasi

Rikkati tenglamasi

Chiziqli differensial tenglama, Lagranj usulu, Eyler –Bernulli usuli, integrallovchi

ko`paytuvchi, Bernulli tenglamasi, Rikkati tenglamasi

Chiziqli tenglama. Ushbu

)

(

)

(

x

q

y

x

p

y







 

( )

p q

C I



(I.7.1)

tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu yerdagi

( )

q x

ozod had

deb ataladi. Ozod had nolga teng bo’lganda hosil bo’luvchi ushbu

)

(







y

x

p

y

(I.7.2)

tenglama (I.7.1) ga mos bir jinsli tenglama deb ataladi. (I.7.2) o’zgaruvchilari ajraladigan

tenglamaning umumiy yechimini topish oson. Biz bu yerda umumiy yechimni boshqa usulda

topamiz.

Lemma. Ushbu

( )

0 ,

( )

( ) ,

y

p x y

p x

C I

 





(I.7.2)

differensial tenglamaning umumiy yechimi

exp

( )

( ,

,

x

x

y

с

p s ds

x x

I









 











tayinlangan nuqta

, c



ixtiyoriy o’zgarmas ) (I.7.3)

ko’rinishda bo’ladi.

Osongina tekshirib ko’rish mumkinki, (I.7.3) formula bilan berilgan funksiya (I.7.2)

differensial tenglamaning

I

oraliqda aniqlangan yechimi. Endi ixtiyoriy yechimning (I.7.3)

ko’rinishda ekanligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy

( )

y x

yechimni qaraylik:

)

(

)

(

)

(







x

y

x

p

x

y

Bu tenglikni

exp

( )

0

x

x

p s ds

















ga ko’paytirib,

( ) exp

( )

0

x

x

y x

p s ds





































munosabatni hosil qilamiz. Demak, analizdan ma’lum teoremaga ko’ra

( ) exp

( )

(

const )

( )

exp

( )

x

x

x

x

с

y x

p s ds

c

y x

с

p s ds









































Tushunarliki, (I.7.3) formuladagi

с

o’zgarmas son noma’lum funksiyaning

0

x

nuqtadagi qiymatiga teng, ya’ni

( )

c

y x



. Endi ravshanki,

(

)

  

polosaning har bir

( ,

)

x y

nuqtasidan (2) tenglamaning yagona integral chizig’i o’tadi. U

exp

( )

x

x

y

y

p s ds



















formula bilan beriladi. Demak,

(

)

  

polosa (2) tenglamaning yagonalik sohasi.

Shunday qilib, (I.7.3) formula bir jinsli tenglama (2) ning

(

)

  

sohadagi

umumiy yechimini beradi, ya’ni (I.7.2) tenglamaning

(

,

)

  

sohadagi barcha yechimlari

va ulargina (I.7.3) formula bilan aniqlanadi..

Bir jinsli bo’lmagan (I.7.1) tenglamaning yechimini

( ) exp

( )

x

x

y

v x

p s ds





















(I.7.4)

ko’rinishda izlaylik (mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi (2) dagi ixtiyoriy

o’zgarmasni «variatsiyalab», ya’ni o’zgartirib, (I.7.1) ning yechimini quramiz); bu – Lagranj

Download 0.97 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5