O`zbekiston respublikasi o`rta va oliy ta’lim vazirligi qarshi davlat ubiversiteti matematika kafedrasi

Eslatma 1. Ta’rifda 

( )

y

x





 yechim oraliqda aniqlangan ekanligi muhimdir, ya’ni 

yechim faqat oraliqda qaraladi.  

Eslatma 2. Ta’rifdagi 2

0

 shartning bajarilishi uchun  

9 

 

             

( )

, ( ), ( ),

( ),

,

( )

(

)

n

x

I

x

x

x

x

x

G













 



    

bo`lishi,  ya’ni 

( )

, ( ), ( ),

( ),

,

( ) ,

,

(

)

n

x

x

x

x

x

x

I















  nuqtalarning    (I.1.1)  tenglama 

aniqlangan  sohaga  tegishli  bo’lishi  zarurdir.  Demak,  (I.1.1)  tenglama  aniqlangan 

G

  soha 

( )

y

x





  yechimning  aniqlanish  oralig’i 

I

ni, 

( )

y

x





  va 

( )

( )

( ),

,

( )

n

n

y

x

y

x













 

hosilalarning o’zgarish to’plamlarini ma’lum ma’noda chegaralaydi.   

 

Eslatma 3. Agar 

I

 oraliqning  chegaraviy nuqtasi 

I

ga tegishli bo’lsa, bu nuqtadagi 

hosila  sifatida  mos  bir  tomonli  hosila  tushuniladi.  Masalan,  I=[a,b)  oraliqda  aniqlangan 

(qaralayotgan) 

( )

y

x





 funksiyaning 

x

a



 nuqtadagi 

( )

a





 hosilasi sifatida shu nuqtadagi 

o’ng hosila 

(

0)

a



 

 qabul qilinadi.  

Yechim  oshkormas  ko’rinishda  ham  berilishi  mumkin.  Faraz  qilaylik, 

( , )

0

x y





 

tenglama  biror 

I

  oraliqda 

( )

n

y

x

C







  funksiyani  oshkormas  ko’rinishda  aniqlasin 

(oshkormas ko’rinisgdagi funksiya  haqidagi teorema  matematik analiz kursida o’rganiladi) 

va bu 

( )

y

x





 funksiya 

I

 da (I.1.1) tenglamani qanoatlantirsin (ayniyatga aylantirsin). U 

holda   

( , )

0

x y





  munosabat (I.1.1) tenglamaning (

I

 oraliqda) oshkormas ko’rinishdagi  

yechimi deyiladi. 

Tushunarliki, yechim parametrik ko’rinishda ham berilishi mumkin.  

Differensial tenglama yechimining grafigi integral chiziq deb ataladi. Ravshanki, 

integral chiziq silliq chiziqdir. Biz keyinroq birinchi tartibli differensial tenglama uchun 

integral chiziq tushunchasining ma’nosini kengaytiramiz. 

Misol 1. Ushbu

   

2

2

0

xy

yy

x







 

 

birinchi tartibli differensial tenglamada 

2

( , , )

2

;

F x y p

xp

yp

x







 Ravshanki, bu

F

 

funksiya 

3

G



da aniqlangan va uzluksiz.  

   a). 

y

x



 funksiya  berilgan differensial tenglamaning  

(

,

)

 

 intervalda  yechimi. 

Haqiqatdan ham,  

1

0

.



(x)=x funksiya   

(

,

)

 

intervalda uzluksiz differensiallanuvchi,  

    chunki  

( ) 1

( )

y

x

C









 

; 

2

0

.  ixtiyoriy 

(

,

)

x

  

nuqtada 

2

2

2

1

2

1

0

xy

yy

x

x

x

x







   

  

. 

  b).  Lekin y=2x–1 funksiya  hech qanday 

I



 oraliqda berilgan differensial 

tenglamaning yechimi bo’la olmaydi. Chunki bu holda 

( )

2

( )

y

x

C I









 

 bo`lgani bilan 

2

2

4 2(2

1) 2

3

4

0

xy

yy

x

x

x

x

x







   

      

 

tenglik I oraliqda ayniyat emas: u 

I

 ning ko’pi bilan bitta nuqtasida qanoatlanishi mumkin  

( x=4/3 bo’lganda) xolos, 

I

 da esa cheksiz ko’p nuqtalar mavjud. 

Misol 2. Ushbu  

2

(1

)

0

x y

xy

x







 

 

                                                     (I.1.2) 

10 

 

birinchi  tartibli  differensial  tenglama  uchun 

2

( , , )

(1

)

F x y p

x p

xy

x

 





  funksiya  

3

G



 da aniqlangan va silliq. Ushbu 

2

1

1

y

с

x

 



   

                       

(I.1.3) 

funksiya  (I.1.2) tenglamaning 

(

,

)

 

 oraliqda yechimi; bu yerda  

c



 ixtiyoriy o’zgarmas 

son.  Haqiqatan  ham, 

c

  tayinlanganda  bu  funksiya   

(

,

)

x

  

  oraliqda  uzluksiz 

differensiallanuvchi, 





2

( )

(

,

)

1

cx

y x

C

x







 



, 

va u berilgan tenglamani 

(

,

)

 

 oraliqda qanoatlantiradi: 

2

2

2

2

(1

)

(1

)

1

1

0

1

(

)

cx

x y

xy

x

x

x

с

x

x

x







  







 



. 

Endi  qaralayotgan  (I.1.2)  tenglamaning  ixtiyoriy 

( )

y

y x



,

(

,

)

x

  

,  yechimi 

(I.1.3) ko’rinishda bo’lishini ko’rsataylik. (I.1.2) tenglamaning ixtiyoriy 

( )

y

y x



  yechimi 

berilgan bo’lsin:  

2

(1

) ( )

( )

0 ,

(

,

).

x y x

xy x

x

x







 

  

 

Bu yechimga ko’ra ushbu  

2

( ) 1

( )

1

y x

Y x

x







 

funksiyani tuzaylik. Uning hosilasi 

(

,

)

 

intervalda aynan nolga teng: 

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

( ) 1

( ( ) 1)

(1

) ( )

( )

0

1

( )

0

1

(1

)

(1

)

x

y x

x

y x

x y x

xy x

x

x

Y x

x

x

x



































 

 

Analizdan  ma’lumki,  oraliqda  hosilasi  nolga  teng  funksiya    o’zgarmasdir.  Demak, 

tuzilgan funksiya  o’zgarmasdan iborat:  

0

0

,

const

Y

с с





,  

ya’ni 

0

2

( ) 1

,

(

,

)

1

y x

с

x

x





  



. 

Bundan 

2

0

( ) 1

1

y x

с

x

 



 ekanligini topamiz. 

 

Shunday  qilib,  (I.1.3)  formula  (I.1.2)  tenglamaning  barcha  yechimlarini  va  faqat 

ularnigina ifodalaydi, ya’ni (I.1.2) ning har qanday yechimi  (I.1.3) dan с ning biror xususiy 

qiymatida hosil bo’ladi va shuning bilan birgalikda  (I.1.3) formula 

c

  ning  ixtiyoriy  tayin 

qiymatida (I.1.2) ning yechimini aniqlaydi.  

Demak,  (I.1.2)  differensial  tenglamaning  integral  chiziqlari  ushbu 

2

1

1

y

с

x

 



 

chiziqlar oilasidan iborat (

c



 ixtiyoriy o’zgarmas) (1- rasm). 

11 

 

 

1- rasm.

2

(1

)

0

x y

xy

x







 

 tenglamaning integral chiziqlari 

 

 

2.  Yuqori  tartibli  hosilaga  nisbatan  yechilgan  tenglama.    Faraz  qilaylik,  (I.1.1) 

tenglama 

( )

n

y

 hosilaga nisbatan yechilgan bo’lsin: 

(

1)

( , , ,

,

)

n

y

f x y y

y









.                                          (I.1.4) 

Bu yerda berilgan 

1

1

( , ,

,

,

)

n

f x y p

p



 funksiya  biror 

1 n

D





 sohada uzluksiz (haqiqiy) 

funksiya  deb  hisoblanadi,  ya’ni 

( )

f

C D



.  (I.1.4)    tenglama  yuqori  tartibli  hosilaga 

nisbatan  yechilgan  differensial  tenglama  (

1

n



  holida  normal  ko’rinishdagi  birinchi 

tartibli differensial tenglama) deyiladi.  

 

Yuqorida keltirilgan misolda (I.1.2) tenglamani osongina hosilaga nisbatan yechilgan 

ko`rnishga keltirish mumkin: 

2

1

xy

x

y

x



 



. 

Umumiy  holda  (I.1.1)  tenglamani  (I.1.4)  ko’rinishga  keltirish  murakkab  masala.  Bunday 

masalalar  analizda  o’rganiladi.  Biz  (I.1.1)  tenglamadan 

y



  ni  topishda  to’xtalmasdan 

birdaniga (I.1.4) tenglama berilgan deb faraz qilamiz.  

Agar 

( )

y

x





 funksiya  I oraliqda aniqlangan bo’lib, u 

 

1

0

. 

( )

( )

n

x

C I





, 

 

2

0

. 

( )

(

1)

( )

, ( ), ( ),

,

( )

(

)

n

n

x

I

x

f x

x

x

x













 



 

shartlarni  qanoatlantirsa, 

( )

y

x





 funksiya   (I.1.4) tenglamaning 

I

 oraliqda (aniqlangan) 

yechimi deyiladi.  

 

Eslatma. Bu yerda yechimdan  1

0

 shart o’rniga 

( )

x



ning 

I

 da  

n

 marta 

differensiallanuvchi bo’lishini talab etsak , 

( )

( )

n

x

C I





 ham bo’ladi, chunki bu holda 

12 

 

1

( )

( )

n

x

C

I







 bo`lib,  

1

1

( , ,

,

,

)

n

f x y p

p



funksiyaning uzluksizligi va 2

0

 shartga ko’ra 

( )

(

1)

( )

, ( ), ( ),

,

( )

(

)

n

n

x

f x

x

x

x















 murakkab funksiya ham I da uzluksizdir.  

Yuqoridagi misollardan ko’rinadiki, differensial tenglama cheksiz ko’p yechimga ega 

bo’lishi mumkin.  

Ba’zan  barcha  yechimlarni  bitta  formula  bilan  berish  mumkin  bo’ladi.  Agar 

1

2

( , , ,

,

)

n

y

x c c

c





funksiya 

1

2

,

,

,

n

c c

c

 o’zgarmaslarning ixtiyoriy joiz qiymatida (I.1.1) 

(yoki (I.1.4)) differensial tenglamaning yechimini bersa hamda differensial tenglamaning har 

qanday  yechimi  shu 

1

2

( , , ,

,

)

n

y

x c c

c





  formuladan 

1

2

,

,

,

n

c c

c

larning  biror  joiz 

qiymatida  hosil  bo'lsa,  u  holda 

1

2

( , , ,

,

)

n

y

x c c

c





    berilgan  tenglamaning  umumiy 

yechimi  deyiladi.  Umumiy  yechim  oshkormas  ko’rinishda 

1

2

( , , ,

,

,

)

0

n

x y c c

c





 

tenglama  bilan,  yoki  parametrik 

1

2

1

2

( , ,

,

,

) ,

( , ,

,

,

)

n

n

x

x p c c

c

y

y p c c

c





  (

p



yechimdagi  parametr, 

1

2

,

,

,

n

c c

c

  esa  yechimlarni  belgilaydi)  ko’rinishda  ham  berilishi 

mumkin. 

Yuqoridagi misol 2 da biz 

2

(1

)

0

x y

xy

x







 

 tenglamaning umumiy yechimi 

2

1

1

y

с

x

 



 (bunda 

c



ixtiyoriy o’zgarmas) formula bilan berilishini ko’rsatgan edik. 

Tenglamaning bitta (xususiy) yechimini ajratish uchun yechimdan qo’shimcha 

shart(lar) talab qilish kerak. Ushbu 

(

1)

1

0

0

0

0

0

0

( )

, ( )

,

,

( )

n

n

y x

y y x

y

y

x

y















                         (I.1.5) 

(

1

0

0

0

0

,

,

,

,

n

x y y

y







berilgan sonlar va 

1

0

0

0

0

,

,

,

,

(

)

n

x y y

y

D







) 

shartlar boshlang`ich shartlar (yoki Koshi shartlari) deb ataladi. (I.1.1) (yoki (I.1.4)) 

differensial tenglamaning (I.1.5) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini biror  

I

, 

0

x

I



, 

oraliqda topish boshlang`ich masala (yoki Koshi masalasi) deyiladi va bu masala 

( )

(

1)

1

0

0

0

0

0

0

( , , ,

,

,

)

0;

( )

, ( )

,

,

( )

n

n

n

F x y y y

y

y x

y y x

y

y

x

y





 





















 

yoki 

(

1)

(

1)

1

0

0

0

0

0

0

( , , ,

,

);

( )

, ( )

,

,

( )

n

n

n

y

f x y y

y

y x

y y x

y

y

x

y











 

















 

ko`rinishda yoziladi. 

 

3. Differensial tenglamalarga olib keluvchi masalalar.  

1.  Radioaktiv  yemirilish. 

( )

m t

bilan  radioaktiv  moddaning  t  paytdagi  massasini 

belgilaylik.  Bizga 

( )

m t

funksiyani  topish  kerak  bo`lsin.  Fizikadan  ma’lumki,  radioaktiv 

moddaning  yemirilish  tezligi 

( )

dm t

dt



  (

( )

dm t

dt

  hosila    o’sish  tezligini  ifodalaydi)  mavjud 

modda miqdoriga to’g’ri proporsional, ya’ni 

13 

 

( )

( )

dm t

km t

dt





    yoki qisqaroq    

m

km

  

;                         (I.1.6) 

bu  yerda  o’zgarmas 

,

0,

k k



–  proporsionallik  koeffitsienti.  Demak,  m=m(t)  noma’lum 

funksiya    (I.1.6)  tenglamani  qanoatlantiradi.  Bu  tenglamada  noma’lum  funksiyaning  m



 

hosilasi  qatnashgan.  Biz  (I.1.6)  tenglamadan 

( )

m t

funksiyani  topishimiz  kerak.  (I.1.6)  

tenglamani yechish qiyin emas. Uning har ikkala tomonini 

kt

e

 ga ko’paytiraylik: 

0

kt

kt

m e

mke

 



. 

Oxirgi tenglikni  

(

)

0

kt

me

 

 

ko’rinishda yozamiz. Ma’lumki, oraliqda hosilasi nolga teng bo’lgan funksiya  o’zgarmas. 

Shuning  uchun  oxirgi  tenglikdan 

(

const)

kt

me

c c





,  ya’ni 

kt

m

ce





  ekanligini  hosil 

qilamiz. Ravshanki, 

kt

m

ce





 funksiya  (I.1.6) tenglmani qanoatlantiradi, ya’ni (I.1.6) da 

m

ning  o’rniga 

kt

ce



ni  qo’ysak,  u  ayniyatga  aylanadi.  Demak,  (I.1.6)  tenglamaning  hamma 

yechimlari 

kt

m

ce





 ko’rinishda va faqat shu ko`rinishda bo’ladi. Agar boshlang’ich, ya’ni 

0

t



  paytdagi  massa 

0

0

m



bo’lsa, 

0

c

m



  bo’ladi.  Shunday  qilib,  radioaktiv  moddaning 

massasi ushbu 

0

kt

m

m e





                                                   (I.1.7) 

qonuniyatga ko’ra o’zgaradi. Massa miqdori vaqt o`tishi blan eksponensial tezlik bilan 0 ga 

intiladi 

Yarim yemirilish davri 

T

deb dastlabki radioaktiv moddaning yarmi yemirilishi uchun 

ketgan vaqt oralig’iga aytiladi. Demak, 

0

0

2

kT

m

m e





 ,  ya’ni  

ln 2

T

k



 yoki 

ln 2

k

T



. 

Oxirgi formuladan 

T

 ga ko’ra  (uni o’lchash nisbatan oson) 

k

ni topish uchun foydalanish 

mumkin. 

 

Yuqoridagi  (I.1.7)  formulaning  yana  bir  tatbig’ini  e’tirof  etaylik.  Ma’lumki,  tirik 

organizmlarda 

12

C

 turg’un uglerod bilan birgalikda oz miqdorda 

14

C

radioaktiv izotop ham 

bo’ladi.  Atmosferaning  yuqori  qatlamlarida 



-nurlar  hosil  qiluvchi 

14

C

  izotoplar  tirik 

organizmlarda yutiladi.  Tirik organizmlarda biologik o`zgarish  jarayonlari natijasida   

14

C

 

miqdori  o`zgarmas  va  biror 

0

m

ga teng bo’ladi. Organizm o’lishi bilanoq unda  radioaktiv 

izotopning  yutilishi  to`xtaydi  va 

14

C

  ning  miqdori  kamaya  boshlaydi. 

14

C

  ning  yarim 

yemirilish  davri 

5570

T



(yil).  Bundan, 

4

ln 2

0,6931

1

1, 24 10

5570

8000

k

T













(1/yil). 

Demak,  agar 

( )

m t

  bilan 

14

C

  izotopning  organizm  o’lgan  paytdan  boshlab  hisoblangan 

t

- 

yildagi massasini belgilasak, u holda  

1

( )

( )

8000

m t

m t

  

, ya’ni  

8000

0

/

( )

t

m t

m e





 

14 

 

bo’ladi. Bundan, agar 

( )

m t

 aniqlangan (uni 

14

C

 chiqaradigan     



-zarrachalar soni orqali 

topish mumkin) bo’lsa, u holda organizmning o’lganidan keyin o’tgan 

t

 vaqtni yillarda ushbu  

0

8000ln

( )

m

t

m t



 

formula  orqali  topish  mumkinligi  kelib  chiqadi.  Hosil  bo’lgan  bu  formula  o’lgan 

organizmlarning yoshini aniqlashga imkon beradi. 

2.To`g`ri  chiziqli  harakat.  Inersial  sanoq  sistemasida 

Ox

oqi  bo`ylab 

m

  massali 

moddiy nuqta 

( , , )

f t x x



 kuch ta’sirida harakat qilsin, bunda 

( )

x

x t





 nuqtaning 

t

paytdagi 

koordinatasi, 

( )

x

x t









 tezligi. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko`ra  

( , , )

mx

f t x x







 

Harakat  (

( )

x

x t



  funksiya)ni  topish  shu  ikkinchi  tartibli  differensial  tenglamani  yechish 

demakdir.  Harakatni  bir  qiymatli  aniqlash  uchun 

0

t

t



  boshlang`ich  paytdagi 

0

0

( )

x t

x



 

boshlang`ich holat va 

0

0

( )

x t

v





 boshlang`ich tezlik beriladi. Shunday qilib, harakatni topish 

uchun ushbu 

0

0

0

0

( , , ); ( )

,

( )

mx

f t x x

x t

x

x t

v













                            (I.1.7) 

boshlang`ich masalani yechish kerak. 

 

Agar moddiy nuqta elastiklik kuchi  

( , , )

,

0,

f t x x

kx k

const

  





 ta’sirida harakat 

qilsa, garmonik ossilyator tenglamasi deb ataluvchi 

2

0,

,

/

x

x

k m





 





 

differensial tenglama hosil bo`ladi. 

3.Chiziqlar oilasi qanoatlantiruvchi differensial tenglama. Ushbu 





1

2

, , , ,...,

0

n

x y c c

c





                                                    (3)  

tenglama  bilan  berilgan 

n

  parametrli  silliq  egri  chiziqlar  oilasini  qaraylik;  bunda 

1

2

, ,...,

n

c c

c



biror sohada o`zgaruvchi parametrlar. Bu chiziqlar oilasini (umumiy holda 

n

- 

tartibli)  differensial  tenglama  yechimi  sifatida  qarash  mumkin.  Bu  differensial  tenglamani 

tuzish uchun quyidagicha ish tutamiz. 

Dastlab 

(3) 

munosabatdan 

topilgan 

( )

y

y x



 

funksiyani 

n 

marta 

uzluksiz 

differensiallanuvchi deb faraz qilgan holda (3) ni n marta x bo`yicha differensiallaymiz: 

0

y

x

y

  



 





 

2

2

2

2

2

2

2

0

y

y

y

x

x y

y

y

 

 

 



















 





                                  (4) 

………. . . . . . . . . . . . . . . 

( )

0

n

n

n

y

x

y

 













 

Endi  (3)  va  (4)    munosabatlardan  (ular 

1

n



  ta) 

1

2

,

,...,

n

c c

c

  parametrlarni  yo`qotamiz. 

Natijada izlangan differensial tenglama hosil bo`ladi. 

15 

 

Differensial tenglamalarni yechishga keltiriluvchi  ba’zi boshqa masalalar bilan kurs 

davomida (keyinroq) tanishamiz.