Fazoda ekstremal funksiyani hisoblash fazo

Sobolevning davriy funksiyalar fazosida optimal interpolyatsion formulaning ekstremal funksiyasi normasini topish

bu oraliqda aniqlangan, tartibli absolyut uzluksiz hosilaga ega va m-tartibli hosilasi kvadrati integrallanuvchi haqiqiy o`zgaruvchili funksiyalar fazosi.

Bu fazo Gilbert fazosi bo`lib, unda funksiyaning normasi quyidagicha aniqlangan
Sobolevning  davriy funksiyalar fazosi ta`rifini keltiramiz.
 funksiya haqiqiy sonlar to`plamida lokal jamlanuvchi m-tartibli hosilalarga ega bo`lsin, chegaralangan soha uchun

chegaralangan.
Yana  funksiya davriy  butun sonlar to`plamida

 fazo elementlari sifatida bir- biridan o`zgarmas songa farq qiladigan funksiyalar xizmat qiladi.
 Sobolev davriy funksiyalar fazosida norma quyidagicha:

kiritiladi.
 fazoda
 (2.3.1)
ko`rinishda interpolyatsion formulalarni qaraymiz. Bu yerda nuqtalar va parometrlarni mos ravishda interpolyatsion formulaning tugun nuqtalar va koeffitsiyentlari deymiz. Interpolatsiya nazariyasining asosiy masalalaridan biri  interpolyatsion formulaning xatoligi maksimumini  fazoda topishdir. Bu xatolikni biror z nuqtadagi qiymati funksiyaning fuksionali bo`ladi.
Demak,
(2.3.2)

isbotlanadi.

interpolyatsion formulaning xatolik funksionalidir -umumlashgan davriy funksiya.
 -Dirakning delta funksiyasi.
 fazo barcha birga ortogonal bo`lgan ya`ni shartni qanoatlantiruvchi davriy funksionallardan tashkil topadi.
interpolyatsion formulani o` zgaruvcni parametrlari tugun nuqtalar va koeffitsiyentlardir.
Xatolik funksionajining berilgan tugun nuqtada  fazodagi eng kichik normasiga optimal interpolyatsion formula deyiladi.
Agar tugun nuqtalar to`rning nuqtalari bo`lsa, yani

ko`rinishda bo`lsa, bunday interpolyatsion formulalar to`rli deyiladi. Bu yerda h-kichik parameter, to`rningqadami deyiladi.
Bu ishda  Sobolev fazosida interpolyatsion formula xatolik funksionalining ekstremal funksiyasi topilgan va normasi hisoblangan. Shunga o`xshash masala birinchi marta Sobolev tomonidan qo`yilgan va ko`rilgan, u yerda m- tartibligacha hosilalari kvadrati bilan jamlanuvchi funksiyalar fazosi uchun interpolyatsion formula topilgan.
Interpolyatsion formulaning ekstremal funksiyasi xatolik fuksionalining fazodagi normasining oshkor ko`rinishini topish uchun, Sobolev tomonidan kiritilgan ekstremal funksiya tushunchasidan foydalanamiz.
Agar quyidagi tenglik

bajarilsa,  fazoning  funksiyasi xatolik funksionalining ekstremal funksiyasi deyiladi.
 fazo Gilbert fazosi va unda skalyar ko`paytma quyidagi formula

bilan berilgan.
Riss teoremasiga ko`ra istalgan chegaralangan fuksional Gilbert fazosida ixtiyoriy  funksiya uchun

skalyar ko`paytma ko`rinishda yozish mumkin. Bu yerda

funksional bilan bir qiymatli aniqlangan va unga ekstremal funksiya bo`ladi. Endi mos da Riss teoremasiga asosan

kabi yozamiz.
Endi biz ekstremal funksiyani





shartni qanoatlantiruvchi umumlashgan yechimni topish uchun quyidagi differensial tenglamani yechamiz
(2.3.3)
Bu differensial tenglamani yechish uchun quyidagi lemmani keltiramiz.
-lemma. xatolik funksionalining ekstremal funksiyasi
(2.3.4)
formula bilan aniqlanadi. Bu yerda ,

Bernulli ko’phadi, -o’zgarmas son.
Isbot. Furye almashtirishnlaridan quyidagi formulalar kerak.
a)
b) 
c)
d)
e)
f)
g)
i)
j)
k)
Uzluksiz argumentli ikki funksiyasining svertkasi

formula bilan aniqlanadi.
 (2.3.5)
tenglamaning davriy yechimini topishga o’tamiz. Buning uchun ning ikki tomonidan Furye almashtirishni qo’lasak



tenglikning ikkala tomonini  ga bo’lamiz. 

endi tenglikning ikkala tomoniga Furye teskari almashtirishini qo’llaymiz

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

4)

Lemma isbot bo’ldi.