Fazoda ekstremal funksiyani hisoblash fazo

2.Ta’rif. Agar uchun da

bo’lsa, u holda nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi va
yoki (4)
ko’rinishda yoziladi.
Bu ma’noda yaqinlashishni o’rta ma’noda yaqinlashish deyiladi. Normaning ta’rifiga muvofiq (4) munosabatni yana quyidagicha yozishimiz ham mumkin:

Agar segmentda funksiyalar ketma-ketligi funksiya tekis yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga o’rta ma’noda ham yaqinlashadi.
Haqiqatan, funksiyalar ketma-ketligi funksiya tekis yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga ham o’rta ma’noda yaqinlashadi. son hamda barcha yetarlicha katta n natural sonlar uchun

munosabat barcha uchun bajariladi. Bundan

tengsizlik o’rinli bo’lib, funksiyalar ketma-ketligining funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashishi kelib chiqadi.
Agar funksiyalar ketma-ketligi segmentdagi funksiyaga deyarli yaqinlashsa , u holda bu ketma-ketlik shu funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashmasligi mumkin. Masalan,

funksiya barcha uchun da , lekin bundan,

O’rta ma’noda yaqinlashishga oid bir necha teoremani isbot qilamiz.
1-Teorema. O’rta ma’noda yaqinlashuvchi ketma-ketlik birgina limitga ega.
Isbot. ketma-ketlik ikki turli limitlarga ega deb faraz qilaylik,ya’ni bo’lsin.
Normaning 3-xossasidan, ya’ni uchburchak tengsizligidan foydalanib, ushbu
tengsizlikni yozishimiz mumkin. Bu tengsizlikning o’ng tomoni da nolda intiladi. Demak, birinchi aksiomaga muvofiq yoki funksiyalar fazoda ilgari aytganimizdek, bir nuqtagina tasvirlaydi. Bu esa farazim
2-teorema. Agar bo’lsa u holda
Isbot. Normaning 3-xossasiga asosan va tengsizliklar o’rinli. Bulardan
tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Normaning bu xossasi uning uzluksizligi deyiladi.
Endi o’rta ma’noda yaqinlashish tushunchasi deyarli va o’lchov bo’yicha yaqinlashish tushunchalariga nisbatan qanday munosabatda ekanligini aniqlaymiz.
3-teorema. Agar funksiyalar ketma-ketligi o’rta ma’noda ga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik ga o’lchov bo’yicha ham yaqinlashadi.
Isbot. Har qanday musbat son uchun quyida munosabatlar o’rinli bo’ladi:
(5)
bu yerda
Ravshanki, (4) munisabatdan (6) munosabati kelib chiqadi.
Bu ta’rifning (3) ta’rifdan farqi shundaki,bu yerda ketma- ketlik limitining mavjudligi haqida biron narsa deya olmaymiz, ya’ni bu ta’rifda ketma-ketlik limitining mavjud bo’lishi shart emas.
Bu ta’rifdagi (6) shart haqiqiy sonlarning yaqinlashish haqidagi Koshi shartiga o’xshashdir.
Matematik analizdan ma’lunki sonlar ketma-ketligi uchunyaqinlashishning Koshi sharti bajarilsa u ketma-ketlik limitga ega bo’ladi.
Mana shunga o’xshaash jumla fazodan olingan ketma –ketliklar uchun ham yaqinlashishning Koshi shartini bajarilsa, u ketma-ketlik limitga ega bo’ladi.
4-teorema. Agar ketma-ketlik fazodagi fundamental ketma-ketlik bo’lsa, u holda fazoda shunday funksiya topiladiki, ketma-ketlik o’rta ma’noda yaqinlashadi.
Isbot. Ketma-ketlikning fundamentalligiga asosan, har bir k natural son uchun shunday natural sonlar mavjudki, ular uchun ushbu ,