Fazoda ekstremal funksiyani hisoblash fazo

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI

MATEMATIKA-INFORMATIKA FAKULTETI

AMALIY MATEMATIKA YO’NALISHI

20.09- guruh talabasi

G’ulomova Dilnozaning
”Matematik fizikaning zamonaviy usullari” fanidan
”Sobolev fazolari. Joylashish haqidagi eng sodda teoremalar” mavzusiga oid yozgan

MUSTAQIL ISHI

Farg’ona 2023-yil

Sobolev fazolari. Joylashish haqidagi eng sodda teoremalar.


Reja:

1. fazoda ekstremal funksiyani hisoblash

2. Sobolevning davriy funksiyalar fazosida optimal interpolyatsion formulaning ekstremal funksiyasi normasini topish
3. Interpolyatsion formula xatolik funksionalining normasi
4. Chiziqli fazolar va ularga misollar

Fazoda ekstremal funksiyani hisoblash

fazo

1-ta’rif. Agar o’lchovli funksiya

shartni qanoatlantirsa, kvadrati bilan jamlanuvchi funksiya deb ataladi.
Barcha kvadrat bilan jamlanuvchi funksiyalar sinfi. bilan yoki qisqacha bilan belgilanadi.
1-misollar
1. funksiya. ga kiradi.
2. funksiya esa ga kiradi.
sinfga kiradigan funksiyalarning asosiy xossalari bilan tanishamiz.
Kvadrati bilan jamlanuvchi funksiya ya’ni 2 ta funksiyaning ko’paytmasi jamlanuvchi funksiyadir.
(1)
tengsizlikning har ikkala tomonidan integral olsak, xossa isbotlanadi.
Chegaralangan to’plamda kvadrati bilan jamlanuvchi funksiya jamlanuvchidir, ya’ni Bu xossaning to’g’riligi (1) ga qo’yilsa, kelib chiqadi.
. dan olingan ikkita funksiyaning yig’indisi yana ga tegishlidir.
Haqiqatdan ham,
(2)
ekanligidan 1-xossaga asoslanib bu xossa ham isbotlandi.
.Agar bo’lib, k ixtiyoriy chekli son bo’lsa ,
haqiqatdan ham,
(3)
.Agar funksiyalar . sinfga kirsa, u holda

va bundan

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Norma. O’rta ma’noda yaqinlashish va sust yaqinlashish
to’plamni segmentga teng deb olamiz. sinfdan olingan har bir funksiya uchun

Son funksiyaning normasi deyiladi va bu norma bilan belgilanadi. Har bir funksiya uchun kiritilgan son quyidagi xossalarga ega.
1 bo’lib, bo’lgandagina .
2.
3. (uchburchak tengsizligi)
1- va 2- munosabatlar normaning ta’rifidan bevosita ko’rinadi,3- tengsizlik Koshi tengsizligidan kelib chiqadi.
Normadan foydalanib, fazoda Evklid fazosi uchun o’rinli bo’lgan ko’pgina teoremalarni isbot etish mumkin. Tegishli xossalar quyida keltiriladi. fazoning ko’pgina xossalari n-o’lchamli Evklid fazosining xossalariga juda yaqin.
sinfni birinchi marta nemis matematigi D.Gilbert chuqur o’rgana boshlagan va bu fazoga chekli o’lchamli Evklid fazosi nuqtai nazaridan qaragan:shu sababli sinfni Gilbert fazosi ham deb ataydilar. Bu fazoda ikki funksiyalar orasidagi masofa tushunchasi kiritiladi. Masofa sifatida ular ayirmasining normasi qabul qilinadi, ya’ni

bu masofani odatda to’g’ri chiziq, tekislik va Evklid fazolaridagi masofa tushunchalarining umumlashgani deb ham qarash mumkin.
Albatta, ikki ekvivalent funksiyalar bu fazoda birgina nuqta sifatida qabul qilinadi.
Masofa yordamida Gilbert fazosi nuqtalari ketma-ketligi uchun yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin.