Физических упражнений

6.10. Характеристика математической модели и выбор
алгоритмов ее функционирования 
1. Целенаправленные уравнения движения биомеханической 
системы и ее решение (6.16) построены для неразветвленной мо-

---

213
дели опорно-двигательного аппарата тела человека на основе при-
нятой базовой модели (6.13). Их структура обеспечивает автомати-
зированное формирование уравнений для биомеханической систе-
мы с произвольным числом степеней свободы с помощью компь-
ютера. 
2. Входными воздействиями, влияющими на траекторию моде-
ли, являются: 
 динамические характеристики звеньев тела A
ij
, учитывающие 
антропометрические особенности спортсменов и определяемые на 
основе данных о масс-инерционных характеристиках (МИХ) зве-
ньев системы. Для конкретного спортсмена и принятой модели 
опорно-двигательного аппарата
тела спортсмена
величина коэф-
фициентов A
ij
= const на всей траектории системы, и их достаточно 
вычислить один раз; 
 программное управление u
z
задается пользователем в вычис-
лительном эксперименте в соответствии с задачами исследования. 
Если программное управление и его производные по времени за-
даны аналитическим способом на всей траектории системы, то по-
строенная математическая модель (6.16) является непрерывной, 
если табличным способом – дискретной. 
3. Время движения системы t ограничено временным интерва-
лом t
0
, на котором задано программное управление. Дискре-
тизация модели по времени соответствует шагу интегрирования 
уравнения движения. Шаг интегрирования устанавливается поль-
зователем. 
4. В начальный момент времени t = t
0
задаются начальные условия 
движения для 
1

и 
1

. По уравнению движения (6.16) определяется 
1

для начального момента времени и согласно связям (6.14), (615) 
вычисляются обобщенные координаты, обобщенные скорости и 
обобщенные ускорения для остальных звеньев модели в начальный 
момент времени. Предварительно необходимо на основе управлений 
u
z
, взятых на всей траектории, вычислить значения 
,
z
z
u u
 
для 
начального момента времени и на всей траектории биосистемы. 

---

214
5. Дифференциальное уравнение (6.16) является уравнением 
второго порядка, связывающим независимую переменную t, функ-
цию 

1
и ее производные по времени. 
6. Значение М
1
определяется физической сущностью решаемой 
биомеханической задачи и задается пользователем на всей траек-
тории системы. В частности, оно может быть положено равным и 
нулю, что означает отсутствие трения в первом шарнире модели. 
Например, в вычислительном эксперименте на компьютере, моде-
лирующем выполнение оборотовых упражнений на перекладине, 
кисти рук гимнаста, вращающиеся относительно грифа перекла-
дины, принимаются за первый шарнир. Другим примером является 
движение гимнаста из стойки на руках на брусьях. В этом случае 
за М
1
можно принять моменты мышечных сил в лучезапястных 
суставах спортсмена, так как в процессе выполнения упражнения 
кисти рук исполнителя неподвижны относительно жердей брусьев. 
7. Поза исполнителя в моделируемом упражнении определяется 
на всей траектории биосистемы программным управлением (6.14). 
Обобщенные же координаты находятся для 

1
из уравнения движе-
ния (6.16), а для остальных звеньев – из (6.14). Поэтому на всем вре-
менном интервале движения поза спортсмена может быть или зара-
нее вычислена, или же задана. При соответствующем алгоритме, реа-
лизующем вычислительную процедуру определения первых и вто-
рых производных от программного управления по времени, на пра-
вом конце траектории программного управления могут быть наложе-
ны краевые условия на производные управления (
,
z
z
u u
 
). 
8. Управляющие моменты мышечных сил (М
i
) в шарнирах мо-
дели, реализующих программное управление и программу движе-
ния, определяются из системы уравнений (6.13), после нахождения 
обобщенных координат, скоростей и ускорений, в процессе функ-
ционирования модели. 
9. Результатом функционирования модели является синтезиро-
ванная траектория биомеханической системы. 
Рассмотренные выше свойства математической модели синтеза 
движений биомеханических систем с программным управлением 

---

215
на кинематическом уровне, формируемым в виде закона измене-
ния суставных углов по времени, характеризуют её основные, от-
личительные особенности, не затрагивая вопроса о выборе алго-
ритмов её функционирования. Поэтому вкратце остановимся и на 
этом вопросе – о выборе алгоритмов, реализующих функциониро-
вание рассматриваемой модели. 
Поскольку математическая модель (6.16), описывающая движе-
ние биомеханической системы по заданной программе, является 
дифференциальным уравнением второго порядка, то его решение 
относительно высшей производной 
1

основано на интегрирова-
нии этого дифференциального уравнения. В общей форме уравне-
ние (6.16) можно записать в виде 



2
2
dx
y
d
y

)
,
,
(
y
y
x

. 
Из курса вычислительной математики известно, что методы 
решения дифференциальных уравнений можно разделить на две 
большие группы: 
 аналитические методы, позволяющие найти приближенное 
решение дифференциального уравнения в виде аналитического 
выражения; 
 численные методы приближенного решения дифференциаль-
ного уравнения, позволяющие получить таблицу значений иско-
мой функции для заданной последовательности аргументов. 
Найти решение для построенной математической модели в ана-
литическом виде не представляется возможным, поэтому остается 
единственный путь – использование методов численного интегри-
рования. Из большой группы численных методов интегрирования 
одним из методов повышенной точности является метод Рунге–
Кутта четвертого порядка точности. Этот метод в основном и ис-
пользуется в программном обеспечении вычислительных экспери-
ментов на компьютере. Так как в специальной литературе доста-
точно подробно изложено использование метода Рунге–Кутта в 
программной реализации на компьютере, далее останавливаться на 

---

216
этом вопросе не будем и перейдем к рассмотрению технологии 
построения других математических моделей из классификацион-
ной схемы семейства (mod
i,j
).