Физических упражнений

6.13. Конструктивная математическая модель движений
спортсмена с программным управлением
на динамическом уровне 
Задачу синтеза движений человека с программным управлени-
ем на динамическом уровне можно сформулировать следующим 
образом. Для биомеханической системы, движение которой опи-
сывается системой дифференциальных уравнений (6.13), опреде-
лить траекторию на интервале 
0,
[
]
l
t
t t

, если для любого момен-
та времени 
0,
[
]
l
t
t t

известно программное управление, заданное 
в форме закона изменения управляющих моментов мышечных сил 
в суставах спортсмена по времени. Процедура решения поставлен-
ной задачи сводится к следующим операциям. 
Пусть движение биомеханической системы описывается базо-
вой математической моделью (6.13): 

---

219
2
1
1
1
cos(
)
sin(
)
cos
.
N
N
ij
j
j
i
ij
j
j
i
i
i
i
i
j
j
A
A
Y
M
M




   

   
 





Здесь N – количество звеньев моделируемой биосистемы. 
Введем обозначения для управляющих функций и запишем их в 
виде u
i 
= M
i
. Приведем уравнения движения (6.13) к нормальному 
виду 
2
1
1
1
cos(
)
sin(
)
cos
,
1,..., ,
N
N
ij
j
j
i
ij
j
j
i
i
i
i
i
j
j
A
A
Y
u
u
i
N




   

   
  





(6.19) 
и запишем в следующей форме: 
2
1
1
,
N
N
ij
j
ij
j
i
j
j
a
b
B


 
 




(6.20) 
где 
1
cos (
),
sin (
),
cos
.
ij
ij
j
i
ij
ij
j
i
i
i
i
i
i
a
A
b
A
B
Y
u
u


  

  
 
  
Запишем матрицу левой части системы уравнений (6.20), со-
ставленную из коэффициентов a
i j
при неизвестных 
j

в виде
A
a
i j

, (6.21) 
а правую часть системы уравнений (6.20) в виде вектор-столбца 
i
f
f

, (6.22) 
в котором элемент f
i
определяется из выражения 
2
1
N
i
ij
j
i
j
f
b
B


 


. (6.23) 

---

220
В сокращенной форме имеем следующую запись системы ис-
ходных уравнений (6.19): 
A
f
 

. (6.24) 
Решая систему (6.24) методом обращения матриц, получим ее 
решение в виде 
1
A f

 

, (6.25) 
где 
1
A

– обратная матрица по отношению к исходной матрице A. 
Таким образом, уравнения (6.25) являются уравнениями движения 
биомеханической системы и определяют ее эволюцию во времени. 
Решение системы уравнений (6.25) является тривиальной за-
дачей и не представляет затруднений. Имеется обширная лите-
ратура, освещающая технологию программного обеспечения 
численного решения системы уравнений (6.25). Например, 
можно воспользоваться сведениями, приведенными в книге 
В.П. Дьяконова (1987). 
При синтезе двигательных действий человека на компьютере в ка-
честве программного управления в уравнениях (6.25) задаются дан-
ные об изменении управляющих моментов мышечных сил и момента 
силы трения на всей траектории биомеханической системы. 
В качестве начальных условий движения моделируемой биоме-
ханической системы (начальный момент времени) достаточно за-
дать обобщенные координаты и обобщенные скорости всех звень-
ев модели, исходя из условий решаемой задачи конструирования 
техники соревновательного упражнения. 
Недостатком синтеза движений биомеханической системы на 
динамическом уровне является невозможность предсказания из-
менения конфигурации биосистемы (поза спортсмена) на том или 
ином участке траектории моделируемого движения. Математиче-
ская модель синтеза движений спортсмена в форме (6.16) свободна 
от этих недостатков. 

---

221