Физических упражнений

7.2. Формализация задачи построения
оптимальной техники соревновательных упражнений
и трактовка ее содержательной части 
Математическую теорию решения задач поиска наибольших и 
наименьших величин (экстремумов) называют теорией экстремаль-
ных задач или теорией оптимизации. При решении же аналогичных 
задач, состоящих в наилучшем управлении процессом, описывае-
мым посредством систем дифференциальных уравнений, возникают 
задачи оптимального управления. Сущность решения этих задач 
заключается в нахождении такого управления, которое минимизи-
ровало бы заданный критерий качества исследуемого процесса. 
Интерпретируем сформулированную задачу оптимального 
управления в постановке к задаче совершенствования техники со-
ревновательных упражнений и оптимального управления движе-
нием биомеханической системы и сформулируем ее. 
Из теории и практики обучения движениям известно, что реше-
ние поставленной двигательной задачи можно осуществить раз-
личными способами с реализацией соответствующей траектории 

---

236
звеньев тела в виде обобщенных координат в определенные мо-
менты времени. Для неразветвленной биомеханической системы 
размерность N-мерного вектора обобщенных координат равна ко-
личеству звеньев моделируемой биосистемы. 
Время выполнения упражнения ограничено интервалом [t
0
, Т
], 
где t
0
– момент времени начала выполнения упражнения. При этом 
момент времени окончания двигательного действия (Т) определя-
ется решением поставленной задачи или рядом других соображе-
ний, связанных с избранным критерием качества спортивной тех-
ники. За начало выполнения соревновательного упражнения вы-
брано t = t
0
, a t – текущее время выполнения упражнения. Значе-
ния 

j
(t) определяют величину обобщенной координаты j-го звена 
биомеханической системы в момент времени t
i
. Обычно t
i
в вычис-
лительном алгоритме задается соответствующей математической 
конструкцией, например, в виде t
i
= t
0
+ h
*
i
, где h – шаг дискрети-
зации модели по времени, i – номер шага по времени. 
Здесь следует отметить, что процесс оптимизации может быть 
ограничен не только временными параметрами движения, но и, в 
частности, моментом достижения какой-либо из обобщенных ко-
ординат биомеханической системы заданного пространственного 
параметра. Например, завершить вычислительный эксперимент 
тогда, когда ОЦМ биомеханической системы окажется в верти-
кальном положении над опорой. Или это же, завершить вычисли-
тельный эксперимент тогда, когда вертикальное положение над 
опорой примут руки, туловище или ноги спортсмена и т.п.
Движение биомеханической системы описывается системой 
дифференциальных уравнений в форме уравнений Лагранжа вто-
рого рода (6.13). При этом в зависимости от типа решаемых задач 
и построенной с этой целью математической модели движения 
биомеханической системы, уравнения движения имеют вид (6.16), 
(6.23). Следует отметить, что уравнения (6.23), (6.16) уже приведе-
ны к контравариантному виду, что обеспечивает процесс их чис-
ленного решения при заданном управлении по схеме численного 
интегрирования с заданием краевых условий и определения теку-
щих параметров управления методом сплайновой интерполяции.

---

237
Для определенности вернемся к уравнениям (6.23). Так как 
управление движением биомеханической системы осуществляется 
выработкой управляющих моментов мышечных сил в суставах 
спортсмена, то будем считать их управляющими функциями. 
В соответствии с изложенными соображениями, задача оптималь-
ного управления трактуется как задача поиска такого управления, 
которое доставило бы минимум (максимум) функционалу, харак-
теризующему качество протекания процесса. Для трехзвенной мо-
дели, например, управлением являются развиваемые спортсменом 
моменты мышечных сил в плечевых и тазобедренных суставах, а 
также момент силы трения о гриф перекладины. Размерность 
управления (вектор u(t)) в данном случае равна 3, где u
1
– момент 
силы трения, u
2
– момент мышечных сил в плечевых суставах, u
3
– 
момент мышечных сил в тазобедренных суставах. При решении 
ряда практических задач u
1
задается из физических соображений 
сущности исследуемого процесса, в частности u
1
на всей траекто-
рии системы можно положить равным нулю. 
Величина развиваемой силы тяги мышц в суставах, интеграль-
ной характеристикой которой является m-мерный вектор u
m
, зави-
сит от ряда факторов: физиологического поперечника мышц, ана-
томических условий выполнения упражнения и т.д. Для нас важно 
в первую очередь то, что развиваемая спортсменом сила тяги 
мышц не беспредельна, а имеет определенный потолок с ограни-
чениями для каждого сустава как в сторону выполнения сгиба-
тельных, так и разгибательных движений, что и формирует про-
странство управлений с ограничениями, обусловленными силовы-
ми возможностями исполнителя. И здесь весьма важным являются 
два обстоятельства. 
Во-первых, заданное пространство управлений дифференциро-
ванно характеризует уровень силовой подготовленности спортс-
менов. Поэтому каждая оптимизационная задача будет решаться 
для конкретного исполнителя с учетом его динамических ресурсов 
(силовой подготовленности). В силу этого, а также по причине 
наличия в уравнениях целенаправленных движений человека масс-
инерционных характеристик звеньев тела решенная оптимизаци-

---

238
онная задача определит эффективный вариант спортивной техники 
только для данного исполнителя. Отсюда следует, что: 
 каждому исполнителю будут соответствовать своя инди-