Физических упражнений

3.2. Трехзвенная модель опорно-двигательного
аппарата тела человека 
Многие соревновательные упражнения, например в гимнастике, 
выполняются с использованием сгибательно-разгибательных дви-
жений в двух суставах. К примеру, большинство оборотовых 
упражнений на перекладине построено на выполнении сгибатель-
но-разгибательных движений в плечевых и тазобедренных суста-
вах. Поэтому при исследовании техники упражнений, построен-

---

58
ных на сгибательно-разгибательных движениях в двух суставах, 
можно ограничиться использованием трехзвенной модели опорно-
двигательного аппарата тела человека. Однако в гимнастике суще-
ствует также широкий класс движений с использованием сгиба-
тельно-разгибательных движений и в других суставах: луче-
запястных, локтевых, коленных, голеностопных. Трехзвенная мо-
дель опорно-двигательного аппарата тела спортсмена в этом слу-
чае не способна решить задачу анализа движения с одновремен-
ным изменением угла сразу в нескольких суставах. С этой целью 
необходимо использовать модель, в которой количество звеньев 
системы на единицу больше числа суставов, в которых происходят 
сгибательно-разгибательные движения. 
Для построения расчетных моделей анализа движений биоме-
ханических систем с произвольным количеством звеньев рассмот-
рим кинематическую схему трехзвенной модели опорно-
двигательного аппарата тела человека (рис. 3.2), в которой руки – 
первое звено, туловище с головой – второе, ноги – третье. 
Рис. 3.2. Кинематическая схема трехзвенной модели
опорно-двигательного аппарата тела человека 
С помощью данной модели можно исследовать кинематику и 
динамику вращательных движений спортсмена в условиях опоры. 
В процессе выполнения упражнений спортсмен не теряет контакта 
с опорой, к примеру с грифом перекладины. Поэтому расположим 

---

59
кисти рук спортсмена в начале неподвижной системы координат 
Оху, а ее в свою очередь совместим с торцом грифа перекладины.
На принятую модель наложены ограничения:
1. Звенья тела человека и гриф перекладины считаются абсо-
лютно твердыми телами. 
2. Суставы, посредством которых звенья тела человека соединя-
ются друг с другом, моделируются цилиндрическими шарнирами. 
3. Трение в шарнирах отсутствует. 
4. Центры масс звеньев модели расположены на прямой, соеди-
няющей их оси вращения в шарнирах. 
Введем в кинематическую схему модели обозначения: 
L
1
– длина первого звена; 
L
2
– длина второго звена; 
L
3
– длина третьего звена; 
S
1
– расстояние от оси вращения (гриф перекладины) до центра 
масс первого звена; 
S
2
– расстояние от оси вращения (плечевые суставы) до центра 
масс второго звена; 
S
3
– расстояние от оси вращения (тазобедренные суставы) до 
центра масс третьего звена; 
φ
1
– угол, образованный первым звеном с осью Ох; 
φ
2
– угол, образованный вторым звеном с осью Ох; 
φ
3
– угол, образованный третьим звеном с осью Ох. 
Для модели с произвольным количеством звеньев системы вве-
дем буквенную индексацию для обозначения номера звена. При 
этом индекс может быть выражен, если это не оговорено заранее, 
любой буквой латинского алфавита. Например, запись 
X
i
, X
j
, X
z
, . . . , X
s
 
означает совершенно одно и то же, т.е. элемент под номером, со-
ответствующим буквенному индексу одномерного массива X. Для 
принятой модели имеем: 
L
i
– длина i-го звена; 
S
i
– расстояние от оси вращения i-го звена до его центра масс; 
φ
 i
– угол наклона i-го звена к оси Ох; 

---

60
i – буквенный индекс, используемый для обозначения номера 
звена (i = 1, 2, ..., N); 
N – количество звеньев модели.
Как известно, в процессе выполнения соревновательных 
упражнений изменяются взаимное расположение звеньев биоси-
стемы и положение тела в пространстве в определенные моменты 
времени. Допустим, координаты движущейся системы регистри-
руются с некоторым постоянным шагом по времени, равным ∆t, а 
номер шага по времени равен k. В частности, за k можно принять 
номер кинокадра на промере. Необходимо для любого k-го номера 
кинокадра определить кинематические характеристики движений 
для N-звенной модели опорно-двигательного аппарата тела чело-
века. Нас, по крайней мере, в первую очередь будет интересовать 
траектория следующих точек: центра масс отдельных звеньев мо-
дели и центра шарниров. Как будет видно в дальнейшем, выбор 
именно этих точек звеньев модели обусловлен алгоритмами по-
строения расчетных моделей динамической структуры исследуе-
мых упражнений.