Fizika – Matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi talabasi Mirzabekoba Dilafruzning Algebra va sonlar nazarityasi fanidan tayyorlagan
Download 0.91 Mb. Pdf ko'rish
|
Mirzabekova Dilafruz 4-13 kurs ishi (1)
|
Chiziqli tenglamalar sistemasi
Barcha nomalumlarning darajasi birdan katta bo’lmagan tenglamala “chiziqli tenglama” deyiladi: + +…….+ =b (1) Tenglamani to’g’ri sonli tenglikka aylantiruvchi ℰ=(,…..,),,i=vektor berilgan tenglamaning yechimi deyiladi Agar b=0 bo’lsa, (1) tenglama bir jinsli deyiladi. Bir xil noma’limli chiziqli tenglamalardan iborat bir nechta tenglamalarni birga yechish, ya’ni chiziqli tenglamalarni yechish masa- lasi ko’p uchraydi. Birga ko’rilayotgan bir xil noma’lumli bir nechta chiziqli tenglamalar to’plami “chiziqli tenglamalar” tizimi deyiladi. Umumiy ko’rinishda olingan chiziqli tenglamalar tizimida odatda koeffitsientlar va ozod hadlar ko’p bo’lgani va shunga ko’ra ularni turli harflar bilan belgilash uchun alifbodagi harflar yetishmagani sababli koeffitsientlarni va ozod hadlarni quyidagicha belgilash usuli ishlatiladi: Dastlab chiziqli tenglamalar tizimiga kiruvchi tenglamalar tartib bilan joylashtiri- ladi, ya’ni ular raqamlanadi. Bunga asosanchiziqli tenglamalar tizimiga kiruvchi koeffitsientlar quyidagi qoida bo’yicha 2 ta indeksli bir hil harflar bilan belgila- nadi: indekslarning birinchisi tenglamaning raqamini va ikkinchisi esa bu koeffitsi- ent turgan joydagi noma’lumlarning raqamini ko’rsatadi. Masalan, i-tenglamadagi j-noma’lum oldidagi koeffitsient orqali belgilanadi va a-i-j kabi o’qiladi. Chiziqli tenglamalar tizimiga kiruvchi ozod hadlar bir indeksli boshqa bir hil har- flar bilan belgilanadi. Bunda indeks ozod had tegishli bo’lgan tenglamaning raqamini ko’rsatadi. Masalan, i-tenglamaning ozod hadi orqali belgilanadi. Yuqorida keltirilgan kelishuvga asosan umumiy holda berilgan n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar tizimini quyidagicha: yoki qisqacha ko’rinishida yozish mumkin. Maydon ustida berilgan n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar siste- masi deyiladi. Bunda, (i=; j=) sistemaning koeffitsiyentlari, noma’lumlar koeffitsi- entlari, ozod hadlar, esa no’malumlardir. N ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini deb shunday ℰ=(,,i=vektorga aytiladiki, u sistemaning barcha tenglamalarini to’g’ri tenglikka aylantiradi. Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo’lsa, u hamjoyli, yechimga ega bo’lmasa, hamjoyli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Yagona yechimga ega bo’lgan 6 sistena aniq sistema, cheksiz ko’p yechimga ega bo’lgan sistema aniqmas siste- ma deyiladi. Berilgan ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi uchun birinchisining har bir yechimi ikkinchi uchun ham yechim bo’lsa, ikkinchi chiziqli tenglamalar sistemasi birinchi chiziqli tenglamalar sistemasining natijasi deyiladi. Ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi teng kuchli deyiladi, agar birinchisining har bir yechimi ikkinchisiga yechim bo’lsa va aksincha. Chiziqli tenglamalar sistemasi- ning noma’lumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan (A) matritsa asosiy matrit- sasi, noma’lumlar oldidagi koeffitsiyentlar va ozod hadlardan iborat (B) matrit- sa kengaytirilgan matritsa deyiladi A= B= Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish masalasi bu sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan A to’g’ri to’rtburchak jadvalning xossalariga bog’liq. Bunday jadval S satrli n ta ustunli matritsa (S n matritsa) deyiladi, (yoki ko’rinishida yozish mumkin. Bu A matritsadagi sonlar matritsaning elementlari deyiladi. Barcha S n-matritsalar to’plamini orqali bel- gilaymiz. A matritsaning har bir satriga R ustida n-o’lchamli vector deb qarash mumkin. Uning i-satrini ( ko’rinishida yozamiz. Keyinchalik esa A matritsaning satrlarini mos ravishda orqali kiritamiz. A matritsaning ustunlariga R ustida S- o’lchamli vector deb qarash mumkin. Uning j-ustunini ushbu Belgini [ ] bilan alishtiramiz. Keyinchalik A matritsaning ustunlarini mos ravishda kabi bel- gilaymiz. Chiziqli tenglamalar sistemasining Hamjoylilik a’lomati. ℛ sonlar may- doni ustidagi chiiqli tenglamalar sistemalari va ularning yechimlari uchun matritsa bilan bog’lanish mavjud. (1) lamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Noma’lumlarning koeffitsientlaridan va ozod hadlardan quyidagi 2 ta matritsani tuzamiz: A= B=A matrirsa (1) sistemaning asosiy matritsasi, B ga (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasidir. B matritsaning rangi A matritsa rangidan kichik emasligi ma’lum. Chunki B da A dagi hamma ustunlar mavjud. Teorema. (1) sistema hamjoyli sistema bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli. Isboti. Zarurligi (1) sistemani hamjoyli desak, u ( ) yechimga ega bo’ladi. Bu yechim (1) sistemaning hamma tenglamalarini to’g’ri sonly tenglikka aylantiradi: = (i=) (2) (2) tenglik shuni bildiradiki, B matritsaning so’ngi=ustuni oldingi n ta ustunlarning ifodalovchi=(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 .Vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi. Chunki bu vektorlarni mos ravishda sonlari- ga ko’paytirib qo’shsak, (2) ga asosan (3) Hosil bo’ladi. Demak, A va B matrit- salarning, , … , (4) Va , , … , , (5) Vertikal vektorlari sistemalari ekvivalentdir. Ya’nir (A)=r(B) Yetarliligi. r(A)=r(B)=k berilgan bo’lsin. A matritsaning, ya’ni(4) vertikal vektorlarning rangini aniqlovchi qism sistemani , ,…, (6) ylik. B ning rangi ham k gat eng bo’lganidan, (6) sistema (5) ning ham rangini aniqlovchi sistema bo’lib xizmat qiladi. U holda (5) ning vektori (6) orqali va (4) sistema or- qali chiziqli ifodalanadi. Ya’ni ( ) sonlari mvjud bo’lib, tenglik bajariladi. Bundan esa, ikki vektorning tenglik shartiga asosan = (i=) tengliklarga kelamiz. Shunday qilib (1) sistema yechimga ega, ya’ni (1) sistema hamjoyli sisetema bo’ladi. Bu teorema Kroneker-Kapelli Download 0.91 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|