Fizika- matematika fakulteti

2.2-teorema. V₁ V qism to‘plam V fazoning qism fazosi bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli: 1) Ixtiyoriy x,y V₁ elementlar uchun x+y V₁; 2) Ixtiyoriy x V₁, uchun x V₁.
Isbot: Agar V₁ qism fazo bo‘lsa, teoremadagi shartlar o‘rinli bo‘lishi to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.
Aksincha, ya’ni teoremadagi shartlar o‘rinli bo‘lsin. U holda
V₁ V qism to‘plamda qo‘shish amaliga nisbatan kommutativlik va assosiativlik shartlari o‘rinli bo‘ladi. Aks holda, bu shartlar V fazoda ham o‘rinli bo‘lmas edi.
x V₁ ekanligidan 0 deb olsak, 0·x = 0 V₁ ekanligini, 1 deb olsak, -x V₁ ni hosil qilamiz.
Xuddi shunday fazoda skalyarlar uchun keltirilgan shartning V₁ qism to‘plam uchun ham o‘rinliligini ko‘rish qiyin emas. 
2.3-natija. V₁ V qism fazo bo‘lishi uchun ixtiyoriy x y, V₁ va ixtiyoriy uchun V₁ bo‘lishi zarur va yetarli.
Endi qism fazolarga doir misollarni keltirib o‘tamiz.
Misol 1. a) Faqat nol vektordan iborat bo‘lgan qism to‘plam va V fazoning o‘zi V da qism fazo bo‘ladi. Bu qism fazolar V ning xosmas qism fazolari deyiladi;

2. 
   ² tekislikda koordinata boshidan o‘tuvchi ixtiyoriy to‘g‘ri
   

chiziqdagi vektorlar to‘plami qism fazo tashkil etadi;

2. 
   uch o‘lchamli fazoda koordinata boshidan o‘tuvchi ixtiyoriy tekislikda joylashgan vektorlar to‘plami qism fazo tashkil qiladi;
   
3. 
   Darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosi da darajasi k k( < n) dan oshmaydigan ko‘phadlar to‘plami qism fazo tashkil qiladi;
   

Yuqoridagi misollardan ko‘rinib turibdiki, biror fazoning qism fazolari cheksiz ko‘p bo‘lishi mumkin.
V fazoning ixtiyoriy M qism to‘plami uchun, M dan olingan vektorlarning chiziqli kombinatsiyalari orqali hosil qilingan barcha vektorlar to‘plamini (M) kabi belgilaymiz. Hosil bo‘lgan to‘plamga M to‘plamning chiziqli qobig‘i deyiladi.
Ravshanki, M to‘plamning chiziqli qobig‘i V fazoning qism fazosi bo‘ladi. (M) fazoning o‘lchami M to‘plamning rangi deb ataladi.
Yuqoridagi mulohazadan kelib chiqadiki, agar dimV = n bo‘lsa, u holda V fazo o‘lchamli qism fazolarga ega. Xususan, agarda V fazoning e₁, e₂, ..., e_n bazis vektorlaridan tuzilgan
M ={e e₁, ₂, ..., e_m} qism to‘plam uchun, (M)=( e₁, e₂, ..., e_m) chiziqli qobiqni qarasak, u m o‘lchamli qism fazo bo‘ladi.
Bundan tashqari V chiziqli fazonining o‘zini e₁, e₂, ..., e_n bazis vektorlaridan tuzilgan qobiq deb qarashimiz mumkin.