Fizika- matematika fakulteti

Misol 1.2. Agar x₁, x₂, ..., x_n vektorlar orasida nol vektor bo‘lsa, u holda bu vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
Endi fazoning o‘lchami tushunchasini kiritamiz.
1.4-ta’rif. Agar V chiziqli fazoda n ta chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lib, bundan ortiq sondagi chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lmasa, V chiziqli fazo n o‘lchamli fazo deyiladi. Chiziqli fazoning o‘lchami dim(V) kabi belgilanadi.
Agar V fazoda cheksiz ko‘p chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lsa, u holda V fazo cheksiz o‘lchamli fazo deyiladi.
22.5-ta’rif. n o‘lchamli V fazodagi n ta chiziqli erkli e₁, e₂, ..., e_n vektorlar V fazoning bazisi deb ataladi.
Misol 22.3. a) To‘g‘ri chiziqdagi vektorlar to‘plamida har qanday ikki vektor proporsional, ya’ni chiziqli bog‘liqdir. Demak, to‘g‘ri chiziq bir o‘lchamli fazoga misol bo‘ladi.
b) Tekislikda ikkita chiziqli erkli vektor mavjud, ammo xar qanday uchta vektor chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bundan esa, tekislik ikki o‘lchamli chiziqli fazo ekanligi kelib chiqadi.
Bizga n o‘lchamli V chiziqli fazo va uning biror bazisi berilgan bo‘lsin.
22.6-teorema. n o‘lchamli V chiziqli fazoning ixtiyoriy elementini bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yagona ravishda ifodalash mumkin.
Isbot. Bizga x V element va e₁, e₂, ..., e_n bazis berilgan bo‘lsin. Chiziqli fazo n o‘lchamli bo‘lganligi uchun n+1 ta vektordan iborat x e₁, e₂, ..., e_n vektorlar chiziqli bo‘g‘liq bo‘ladi. Demak, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan sonlar topilib,
,
bo‘ladi. Agar a₀ =0bo‘lsa, tenglikdan va e₁, e₂, ..., e_n vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan
ekanligi kelib chiqadi. Bu esa yuqoridagi mulohazaga zid. Demak, bo‘lib,

ekanligi kelib chiqadi, ya’ni x V vektor e₁, e₂, ..., e_n vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.
Endi hosil qilingan ifodaning yagona ekaniligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, x vektorning bazis vektorlar orqali ikki hil ifodasi mavjud bo‘lsin, ya’ni:

Bu ifodalarni tenglab,

tenglikni hosil qilamiz.
e₁, e₂, ..., e_n vektorlar chiziqli erkli bo‘lgani uchun, bu tenglik
bo‘lgandagina o‘rinlidir.