Forfeytning mohiyati va forfeyt bitimlarining tahlili. Veksel bo‘yicha asosiy qarz foizlarini hisoblashda kreditning qoldiq qarzining veksel summasini aniqlash. Sotuvchi pozisiyasini aniqlash

1. Opsionning muqobil narxi
Bu masalalarni hal qilish yo’llarining bayoni sodda va tushunarli bo’lishi uchun Yevropacha sotib olish (call) va sotish (put) opsionlari uchun fiksirlangan vaqt momentlari (diskret) n = 0, 1, …N va opsion bo’yicha majburiyat bajarilishiga talab momenti (muddati) N bo’lsin. Opsionni sotib olish n=0 da amalga oshirilsin. Shu vaqtdan boshlab aksiya narxi o’zgara boradi. n momentdagi bozor narxining qiymati S_n bo’lsin. Masalan Opsion – kollda sotib oluvchi opsionda ko’rsatilgan aksiyani N momentda K qiymatda (narxda) sotib olish huquqiga ega boladi. Agar S_N> K bo’lsa, u holda opsion egasi opsion sotuvchidan majburiyatni bajarishni talab etadi va aksiyani K narxda sotib olib S_N-K foyda oladi, chunki u aksiyani olgan zahoti bozorda S_N narxda sotib yuborishi mumkin. Agar N momentda S_N< K bo’lsa, u holda opsion egasi opsion sotuvchidan (emitentdan) majburiyatni bajarishni talab etmaydi, chunki shu narxdan (K narxdan) aksiyani sotib olsa zarar ko’radi. Bu holda opsion shartnoma N momentga kelib o’z kuchini yo’qotadi (bekor bo’ladi). Agar opsion egasi opsion shartnomasi tuzmay n=0 momentda aksiyani o’zini S₀ shartda sotib olganda edi S_N< S₀ bo’lganda S₀-S_N miqdorda zarar ko’rar edi. Shu riskdan himoyalanish uchun opsion sotib olgan. Buning uchun u opsion shartnomasi uchun badal to’lagan. Bu badalni “C” deb belgilaylik. Shunda Yevropacha opsion kollni sotib oluvchi, opsion shartnomasi bo’yicha N momentda, majburiyat bajarilganda

miqdorda foyda ko’radi. Opsion sotuvchi esa (emitent)

foyda ko’radi, chunki emitent aksiyani o’zi sotganda edi S_N daromad qilar edi, lekin bu ham risk, shu riskni bartaraf qilish uchun opsion shartnoma taklif qilib, opsion sotgan. N momentdagi sotuvchi uchun zarar (uning majburiyati) miqdori bo’ladi, lekin avval u opsion uchun “C” mukofot olgan. Shuning uchun u foydaga ega bo’ladi. Opsion sotuvchi bozordan S_N ga aksiya sotib olib mijozga beradi, mijoz esa bu aksiyani “K” narxdan sotib oladi. Shuning uchunopsion sotuvchi zarar ko’radi. Moliyaviy matematikaning asosiy vazifasi “C” mukofotni, aksiya narxini n=N momentgacha o’zgarishini, bozor bahosini bilmasdan turib, shunday to’g’ri hisoblash kerakki, natijada ikki tomon ham zarar ko’rmasin. Demak, buning uchun tomonlarning ko’rgan foyda va zararlari bir xil, teng bo’lishi kerak ekan, ya’ni narx muqobil bo’lishi uchun:

ekanligi kelib chiqadi. Huddi shunday Yevropacha opsion put uchun ham muqobil narx bo’ladi. Ixtiyoriy turdagi opsionni olsak ham opsionni sotuvchi va sotib oluvchining holati har xil, opsion kollni egasi (aksiya narxini kuzatib borib) vaqtning N momentida qaraydi, agar aksiya narxi opsiondagi narxdan katta bo’lsa, shartnomani bajarilishini talab etadi, aks holda u opsion narxiga (badaliga) tushadi. Opsion sotuvchining ahvoli bundanda murakkab. U opsion majburiyatini bajarish vaqtiga (n=N) mablag’ni tayyorlab qo’yishi kerak, chunki mijoz aksiyani K ga sotib oladi, emitent esa unga olib berish uchun yana qo’shimcha farqini to’laydi. U aksiya baholarini o’zgarishini kuzatib boradi va qimmatli qog’ozlar portfelini shunday tayyorlash kerakki natijada ko’rsatilgan qo’shimcha to’lovni qoplasin. Emitent narx farqidan yutqazishga tavakkal qiladi, opsion uchun mukofot esa bu tavakkalchilikda ko’radigan zararini qoplashi kerak bo’ladi. Demak, shartnoma muddati tugash momentiga opsion sotuvchi va sotib oluvchilarning ko’radigan foydasi bozorda aksiya narxini farqiga ekan xolos va bu farq yuqorida ko’rdikki, u muqobil narxga ta’sir ko’rsatar ekan. Agar aksiya narxi boshlang’ich narxdan boshlab ma’lum tartibda aniq oshishi bizga ma’lum bo’lsa, u holda o’sish hisob-kitoblari (bank foizlari kabi) badalga kirishi kerak. Lekin qimmatli qog’ozlar bozorida narxni o’zgarishi tasodifiy, biz oldindan bilmaymiz. Eng muhim holatlardan biri barcha narxlar o’zgarish tendensiyalari ma’lum-ku, lekin qaysi qiymat qachon bo’lishi tasodifiy harakterga ega bo’lgan holatdir. Bunday holatlarni modelini, bozorda aksiya narxining o’zgarish modelini quyidagicha ifodalash mumkin bo’ladi: “k” momentda aksiya bozor narxining o’zgarishi bo’lsin, ya’ni . U holda , n = 1,2,…,N.
Aksiya narxining o’zgarishi tasodifiy bo’lgani uchun tasodifiy miqdor boladi. Narxni o’zgarish tendensiyasi ma’lum bo’lmaganligi uchun uning o’rtacha qiymatini “0” deb olish maqsadga muvofiq bo’ladi, ya’ni
, k = 1,2,…,N. Modelsodda bo’lishi uchun ni ikkita – a_k va b_k qiymatlar qabul qiladi deb faraz qilamiz. Bu yerda a_k, b_k>0, ya’ni
,
Bu tenliklardan
, va
ekanligi kelib chiqadi.
Quyida ushbu opsion koll modeli uchun muqobil narx

bo’lishini isbotlaymiz.
Agar opsion uchun to’langan badal muqobil narx C dan katta ( ) bo’lsa, u holda emitent o’ziga qaltisliksiz miqdordagi foydani ta’minlagan bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda emitent (agar u olgan badalni aylantirmasa) shartnoma shartini zararsiz qoplash imkoniyatiga ega bo’lmaydi. Bu da’voni isbotlash uchun soddaroq bo’lgan N=1 va K=S₀ hollarni qaraylik. U holda

bo’ladi. Bundan,
.
Faraz qilamiz bo’lsin. Bu holda emitent risksiz foydaga ega bo’lishini isbotlaymiz. Buning uchun emitent opsionni ga sotgandan so’ng shu opsion shartnomasida ko’rsatilgan aksiya paketidan “ ” ulushni shu zahotiyoq sotib oladi. N=1 momentga kelib faraz qilaylik bo’ladi, ya’ni opsion narxi a₁ ga tushib ketadi. U holda emitent balansi bo’ladi, chunki aksiya narxi tushib ketgani uchun opsion egasi emitentdan majburiyatni bajarishni talab etmaydi ( , bo’lar edi), lekin emitent har ehtimolga qarshi oldindan himoya uchun aksiya paketining “ ” ulushini narxdan sotib olib tayyorlab qo’ygani uchun ham zarar ko’radi, chunki u qo’lidagi aksiyani qiymatda sotadi va uni balansi miqdorga teng bo’ladi. Demak, agar emitent har ehtimolga qarshi aksiya paketining “ ” ulushini sotib olmaganda, birinchi holda uning foydasi bo’lar edi.
Endi bo’lsin, ya’ni ikkinchi hol, aksiya narxi ga oshsin. U holda emitentga opsion egasi majburiyatni bajarishni, ya’ni narxdan aksiya berishni talab etadi, bunda emitent narxdan paketni qolgan ulushini sotib oladi, ya’ni narxga tushadi. Bu paytda mijoz paket uchun narx to’laydi. Natijada, emitent balansi

Demak, bo’lganda aksiya narxi oshsa-oshmasa emitent zarar ko’rmay foyda olar ekan.
Demak, eng muqobil narx

ekan. Bu yerda emitent opsionni sotgandan keyin darhol shartnomada nazarda tutilgan aksiya paketining qiymatga teng “ ” ulushini sotib oldi. Opsion uchun badalni hisobga olganda emitentda mablag’qoldi. - juftlik emitentning qimmatli qog’ozlar portfelini tashkil etadi. Yuqorida isbotlandiki, bu portfel emitentning majburiyati bo’yicha majburiyatni ortig’i bilan qoplaydi.
bo’lgan holda qimmatli qog’ozlar portfelining mavjud bo’lmasiligini isbotlaymiz. Faraz qilamiz shu hol uchun - juftlik emitent tashkil etgan ixtiyoriy qimmatli qog’ozlar portfeli bo’lsin. Faraz qilamiz bo’lsin, ya’ni aksiya qiymati “ ” ga kamaysin. U holda opsion bo’yicha majburiyatni bajarilish talabi bo’lmaydi, lekin emitent opsion sotgandan keyin darhol “ ” ulushli paket sotib olgan edi. opsion muddatida narxda olgan aksiyani
narxda sotib yuborib zarar ko’radi. Demak emitentning balansi

bo’ladi. Nomanfiy balans bo’lishi uchun bo’lishi kerak.
Faraz qilaylik ikkinchi1 holda bo’lsin, ya’ni aksiya narxi “ ”ga oshsin. Bu holda opsion olgan mijoz opsion bo’yicha emitentning o’z majburiyatini bajarishni talab qiladi. Emitent narxdan “ ” ulush sotib olishga majbur. So’ngra mijoz bu opsionni narxda sotib oladi. Natijada emitent balansi

Balans nomanfiy balans bo’lishi uchun bo’lishi kerak bo’ladi. Bu esa yuqoridagi ga zid. Demak bunday portfel mavjud emas ekan. Isbot bo’ldi.