Функцияларни яқинлаштириш

каби аниқланадилар.

k - тартибли айирмали бўлинмалар f(x) функциянинг тугун нуқталаридаги қийматлари орқали қуйидагича ифодаланадилар:

(9)

Ньютоннинг интерполяцион кўпҳади деб

(10)

кўпҳадга айтилади. Бу кўпҳаднинг Лагранж кўпҳади билан бир хил эканлигини кўрсатамиз. Бунинг учун

(11)

кўринишда ёзамиз. (3) интерполяция шартидан k=0,1,..., j-1, j=0,1,...,n учун

L_j-1(x_k)=L_j(x_k)=f(x_k)

тенгликларга эга бўламиз.

Бундан L_j(x) - L_j-1(x) , x₀,x₁,...,x_j-1 нуқталарда нольга айланадиган алгебраик кўпҳад эканлиги маълум бўлади, яъни

L_j(x)-L_j-1(x)=A_j(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_j-1). (12)

Бундаги А_j сон козффициентни

L_j(x_j)-L_j-1(x_j)=A_j(x_j-x₀)(x_j-x₁)…(x_j-x_j-1).

Тенгликдан, L_j(x_j) = f(x_j) эканлигини инобатга олиб топсак

(13)

бўлади.

(13) - тенгликдаги L_j-1(x_j) - нинг (7)- кўринишдаги қийматини , яъни

қўйиб

тенгликни ҳосил қиламиз.

Буни (9)- тенглик билан таққосласак A_j коэффициентнинг j - тартибли айирмали бўлинма эканлигини кўрамиз.

Бундан ва (11),(12) - дан Ньютоннинг (10) интерполяцион кўпҳади ҳосил бўлишини кўрамиз. Лагранжнинг (7) ва Ньютоннинг (10)- кўпҳадлари аслида бирта кўпҳад эканликларини таъкидлаймиз.