Функцияларни яқинлаштириш

5. Интерполяция жараёнининг яқинлашиши.

Бу ерда тугун нуқталар сонини чексиз оширганда f(x)- L_n(x) интерполяция хатолиги нолга интиладими? - деган савол қўйилади.

Интерполяция жараёнининг яқинлашишини тавсифлаймиз.

нуқталар тўпламини тўр деб атаймиз.

Интерполяция жараёнининг яқинлашишини ўрганиш учун

нуқталар сони кўпаювчи турлар кетма-кетлигини қараш зарур.

Фараз қиламиз f(x) [a,b] кесмада аниқланган ва узлуксиз бўлсин. Унда f(x) функциянинг _n нуқталаридаги қийматлари бўйича уни интерполяциялайдиган кўпҳадлар кетма-кетлигини тузиш мумкин.

Интерполяцон жараён x* [a,b] нуқтада яқинлашади деб айтилади, агар

мавжуд бўлса.

Нуқтавий яқинлашишдан ташқари яна турли нормаларда яқинлашишлар ҳам қаралади.

Масалан, [a,b] кесмада текис яқинлашиш

иборат.

Интерполяция жараёнининг яқинлашиши f(x) функциянинг силлиқлиги ҳамда турлар кетма-кетлигининг танланишига боғлиқдир. Шундай функция мисоллари борки интерполяция жараёни узоқлашади.

Масалан, |x| функция учун тугун нуқталари текис жойлашган турлар кетма-кетлиги учун тузилган интерполяция жара ёни [-1,1] кесманинг -1,0,1 нуқталаридан бошқа барча нуқталарда узоқлашади.

Тўрларнинг ҳар қандай кетма-кетлиги учун [a,b] кесмада аниқланган узлуксиз f(x) функция мавжудки интерполяция жараёни [a,b] кесмада текис яқинлашмайди.

Берилган узлуксиз функция учун тугун нуқталарни жойлаштириш эвазига яқинлашишга эришиш мумкин.

Марцинкевич теоремаси.

Агар f(x) , [a,b] кесмада узлуксиз бўлса, унда шундай турлар кетма-кетлиги мавжудки, унга мос интерполяцион кўпҳадлар кетма-кетлиги [a,b] кесмада текис яқинлашади.

Бундай турлар кетма-кетлигини кўриш қийин эканлигини қайд этамиз. Шу сабабли, амалда юқори тартибли интерполяцион кўпҳадлар қуришдан воз кечадилар.

Кейинги вақтда интерполяцион кўпҳадлар қуриш ўрнига интерполяцион сплайн қурадилар.

Таянч иборалар :

1. 
   Интерполяция .
   
2. 
   Интерполяцион формула .
   
3. 
   Интреполяцион кўпҳад .
   
4. 
   Интерполяцион кўпҳаднинг яқинлашиши .
   
5. 
   Текис яқинлашиши .
   
6. 
   Лагранж интерполяцион кўпҳади .
   
7. 
   Ньютон интерполяцион кўпҳади .
   
8. 
   Айримали нисбат .
   
9. 
   Каср-рационал функция .
   
10. 
    Аналитик формула .
    
11. 
    Чизиқли боғлиқмас функциялар тизими .
    
12. 
    Вази .
    
13. 
    Энг кичик квадратлар методи .
    

Текшириш учун саволлари :

1. 
   Интерполяция нима ?
   
2. 
   _Қандай интерполяцион кўпҳадларни биласиз ?
   
3. 
   Интерполяцион кўпҳад функцияга яқинлашадими ?
   
4. 
   Марцинкевич теоремаси нимани тасдиқлайди ?
   
5. 
   Каср-рационал яқинлаштириш нима ?
   
6. 
   Каср-рационал яқинлаштириш кўпҳад билан яқинлаштиришдан нима билан фарқ қилади ?
   
7. 
   Каф-рационал функциянинг мавжудлик ва ягоналик шарти нимадан иборат ?
   
8. 
   Энг кичик квадратлар методи ёрдамида қурилган яқинлашиш кўпҳад билан яқинлаштиришдан қандай фарқ қилади ?
   

Адабиётлар :

1. 
   А.А. Самарский , А.В. Гулин , Численные методы . Ук.Кул ., М., Наука ., 1989 .
   
2. 
   М.И. Исраилов ., _Ҳисоблаш методлари , Тошкент , ´қитувчи ., 1988 .