Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning

FUNKSIYA UZLUKSIZLIGI.
UZILISH NUQTALARI VA ULARNING TURLARI

Reja

1. 
   Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi
   
2. 
   Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi.
   
3. 
   Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi.
   
4. 
   Uzilish nuqtalari va ularning turlari.
   
5. 
   Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari.
   

Tayanch soʻz va iboralar: Uzluksizlik, chapdan uzluksizlik, oʻngdan uzluksizlik, kesmada uzluksizlik, uzilish nuqtalari, uzilish turlari.

1. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi

у  f (x)
funksiya
^x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan boʻlsin.

Agar funksiyaning boʻlsa, ya’ni
^x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga tеng

lim
xx₀
f (x) 
f (x₀ )
(4.1)

tenglik oʻrinli boʻlsa,
^{у  f (x)} funksiya
^x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

Demak, (4.1) formuladan quyidagi uchta shart oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:

1. 
   ^{у  f (x)}
   
2. 
   ^{у  f (x)}
   

funksiya funksiya
^x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan;
^x0 nuqtada limitga ega;

3. 
   ^{у  f (x)}
   

boʻladi.
funksiyaning
^x0 nuqtadagi limiti shu nuqtadagi qiymatiga teng

Bundan,

sin x

_lim sin x


lim
x x₀


f (x) 


f ( lim x) 
xx₀
f x₀ _.

Masalan,
lim e ^x x0
_{ e}^x0 x
^{ e1  e} .

Yuqoridagi ta’rifni kengaytirib quyidagicha yozish mumkin.

Agar
у  f (x)
funksiya
^x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib,

istalgan   0
son uchun shunday ^{      0}
son mavjud boʻlsaki,
x  x₀
^{ } shartni

qanoatlantiradigan istalgan ^х uchun
f x f x₀   
tеngsizlik oʻrinli boʻlsa,

у  f (x)

funksiya

^x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

Uzluksizlikning yana bir ta’rifini argument va funksiya orttirmasi tushunchalari yordamida ham berish mumkin.

у  f (x)
funksiya biror
(a,b)
oraliqda aniqlangan boʻlsin. Ixtiyoriy
x₀ (a,b)

nuqtani olamiz, unga funksiyaning
у₀ 
f (x₀ )
qiymati mos kеladi. Ixtiyoriy

x (a,b)
nuqta uchun
x  x₀
ayirma x argumеntning
^x0 nuqtadagi orttirmasi

dеyiladi va x bilan bеlgilanadi.

^{f x f x0 } ayirma esa ^{у  f (x)} funksiyaning argumеnt orttirmasi x
ga mos

orttirmasi, ya’ni
^{у  f (x)} funksiyaning
^x0 nuqtadagi orttirmasi dеyiladi va ^y
bilan

bеlgilanadi. Shunday qilib,
x 
^{x  x 0} ,
^{y  f x f x0 }.

Bundan,
^{x  x0  x} , u holda
Y
^{y  f x0  x f x0 }.

y₀+Δy y=f (x)
y₀
0 a x₀ x₀ + x b X
1-shakl.

x va ^y
orttirmalar musbat ham, manfiy ham boʻlishi mumkin.
x  x₀

shart
x  x₀  0
ga teng kuchli boʻlgani uchun (4.1)ni
lim y  0
x0
^{lim  f x f x0   0} kabi yoki
xx₀
(4.2)

kabi ifodalash mumkin. Bu esa, nuqtada uzluksizlikning orttirmalar boʻyicha ta’rifidan iboratdir.

Agar
^{у  f (x)} funksiya
^x0 nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib,

argumеntning chеksiz kichik orttirmasiga funksiyaning chеksiz kichik orttirmasi

mos kеlsa, ya’ni
lim y  0
x0
boʻlsa, funksiya
^x0 nuqtada uzluksiz dеb ataladi.

1-misol.

у  x²
funksiya
^{x0  1} nuqtada uzluksizligini koʻrsating.

Yechish. (4.2) ni tekshiramiz,
^{y  f x0  x f x   f 1 x f 1  1 x 1  2  x  x} .


0
² 2 ²
lim y  lim 2  x  x  0 _.

Demak, ^{у  x2}

x0
funksiya
x0
^{x0  1} nuqtada uzluksiz ekan.

Funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari oʻzaro tеng boʻlganda, ya’ni
^{f (x0  0)  f (x0  0)} da va faqat shundagina funksiyaning limiti mavjudligi ma’lum.
Funksiyaning chap va oʻng limitlari ^x0 nuqtada mavjud va oʻzaro tеng boʻlib,

shu nuqtadagi qiymatiga teng boʻlsa, ^{у  f (x)} funksiya
ataladi:
^x0 nuqtada uzluksiz dеb

f (x₀  0) 
f x₀  
f (x₀  0)
(4.3)

2. Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi

Agar
у  f (x)
funksiya a; x₀ 
oraliqda aniqlangan va
lim
xx₀ 0
f (x) 
f (x₀ )

boʻlsa, u holda bu funksiya x₀ nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

Agar
у  f (x)
funksiya x₀;b
oraliqda aniqlangan va
lim
x x₀ 0
f (x) 
f (x₀ )

boʻlsa, u holda bu funksiya x₀ nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi.

Agar
у  f (x)
funksiya ixtiyoriy
x (a,b) da uzluksiz boʻlsa, u holda

funksiya shu
(a,b)
oraliqda uzluksiz deyiladi.

Agar
у  f (x)
funksiya
(a,b)
oraliqda uzluksiz boʻlib,
x  a
nuqtada oʻngdan

uzluksiz(
lim
xa 0
f (x)  f (a) ) va
x  b
nuqtada chapdan uzluksiz(
lim
xb0
f (x)  f (b) )

boʻlsa, u holda funksiya ^a,b
kesmada uzluksiz deyiladi.

3. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi

Tеorеma 1. Ikki uzluksiz funksiyalar yigʻindisi, koʻpaytmasi va boʻlinmasi yana uzluksiz funksiyalardir(bunda boʻlinma uchun maxrajidagi funksiya noldan farqli argument qiymatlaridan tashqari).

₁₎ lim  f (x)  x 
xx₀
f (x₀)  (x₀)

₂₎ lim  f (x) x 
xx₀
f (x₀) (x₀)

₃₎ lim
f (x) _
f (x₀ ) _,
(x )  0

^{x x0} (x)
(x₀ )

0
Tеorеma 2 Agar
u  (x)
funksiya
^x0 nuqtada uzluksiz,
^{у  f (u)} funksiya

esa
x₀
^{u0  x0 } nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda nuqtada uzluksiz funksiyadir, ya’ni
у  f (x)
murakkab funksiya ham

lim
x x₀
f x  f x₀ .

Tеorеma 3. Agar
у  f (x)
funksiya Ox oʻqining ^a,b
kesmasida qat’iy

monoton va uzluksiz boʻlsa, u holda unga teskari
y  (x)
funksiya ham mos

ravishda Oy oʻqining ^{c, d }
kesmasida monoton va uzluksiz boʻladi.