Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning

2-misol.

y  sin x
funksiya oʻzi aniqlangan barcha
x  R
nuqtalarda

uzluksizligini isbotlang.

Yeсhish.

^x0 nuqtani bеlgilaymiz va shu nuqtada ^y
orttirmani tuzamiz:

y 
f x
 x f x
  sinx
 xsinx
  2cos^ x
_ ^x _sin ^x _.

0 0 0

₀  ₀ 
_ 2 _ 2

Demak, nuqtada uzluksizlik ta’rifga koʻra,
sin x
funksiya
^x0 nuqtada

uzluksiz. Biroq
^x0 son toʻg‘ri chizig‘ining istalgan nuqtasi, dеmak,
sin x
funksiya

sonlar oʻqining istalgan nuqtasida uzluksizdir.

Teorema 1 ga koʻra, uzluksizdir.
_{tgx } sin x
cos x
funksiya barcha
x  ^  k, k  Z
2
nuqtalarda

Teorema 3 ga koʻra, nuqtalarda uzluksiz boʻladi.
arcsin x, arccos x, arctgx,arcctgx
oʻzi aniqlangan barcha

Teorema 4. Barcha asosiy elementar funksiyalar oʻzi aniqlangan barcha
nuqtalarda uzluksizdir.
Elementar funksiyalar deb, bitta formula bilan berish mumkin boʻlgan, asosiy elementar funksiyalarning chekli sondagi arifmetik amallari va superpozitsiyasini oʻz ichiga oluvchi funksiyalarga aytiladi.
Teorema 5. Barcha elementar funksiyalar oʻzi aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.

4. Uzilish nuqtalari va ularning turlari

Funksiya uzluksizligi buziladigan nuqtalar shu funksiyaning uzilish nuqtalari

deyiladi. Agar
^x0 nuqta
у  f (x)
funksiyaning uzulish nuqtasi boʻlsa, quyidagi

shartlardan kamida bittasi bajariladi:

1. 
   Funksiya
   

^x0 nuqta atrofida aniqlangan, lekin
^x0 nuqtaning oʻzida

aniqlanmagan.

Masalan,
^{у  1} ,
x  2
^{x0  2} da aniqlanmagan.

2. 
   Funksiya
   

^x0 nuqta va uning atrofida aniqlangan, lеkin
^x0 nuqtadagi

funksiyaning
f (x₀  0)
chap limiti va
f (x₀  0) oʻng limitlaridan kamida biri

cheksiz yoki mavjud emas.
1

Masalan, ^{у  3x2} , f 2  0  0,
f (2  0)  

3. 
   Funksiya
   

^x0 nuqta va uning atrofida aniqlangan,
^x0 nuqtada bir tomonlama

chekli limitlar mavjud, lеkin oʻzaro tеng emas:
f x₀  0 
f (x₀  0)

Masalan,
_{у }  ^{x 1,}

agar
x  2
bo`lsa
,
f 2  0  1  f (2  0)  0


_2  x,
agar
x  2 bo`lsa.

4. 
   Funksiya ^x0 nuqtada aniqlangan, bir tomonlama limitlar mavjud, oʻzaro
   

tеng, ya’ni
lim
x x₀
f (x)
mavjud, lеkin ular funksiyaning bu nuqtadagi

qiymatiga tеng emas:


^{sin x} , agar
f x₀  0  f (x₀  0) 
x  0 bo`lsa


f x₀ .

Masalan,
у  _{ x}
^_ 2,
agar
x  0 bo`lsa.

Yoʻqotish(Bartaraf etish) mumkin boʻlgan uzilish.

^x0 nuqtada
у  f (x)

funksiya uzilishga ega, biroq bir tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng, ya’ni

f x₀  0  f (x₀  0)
ataladi.
boʻlsa,
^x0 nuqta yoʻqotish mumkin boʻlgan uzilish nuqtasi dеb

Bu nuqtaning bunday atalishiga sabab shuki, funksiyaning bu nuqtadagi qiymati sifatida bir tomonlama limitlarning qiymatlarini oladigan boʻlsak, biz goʻyo funksiyani shu nuqtada yangidan aniqlab, uzilishni yoʻqotamiz.

^{sin x} , agar


x  0 bo`lsa

Masalan,

nuqtasidir.

у  _{ x}
^_ 2,
agar
x  0 bo`lsa.
x₀  0
nuqta funksiyaning uzilish

Biroq,
lim
x0
^{sin x  1} , ya’ni
x
f  0 
f (0)  1
bir tomonlama limitlar mavjud

va oʻzaro tеng, ammo
x₀  0
nuqtada
^{f (0)  2} . Dеmak,
x₀  0
yoʻqotish mumkin

boʻlgan uzilish nuqtasi,
f 0  f  0  f (0)  1
dеb olamiz. Shu bilan uzilish

nuqtasini bartaraf etamiz(2-shakl) .
2-shakl.

Birinchi tur uzilish nuqtasi. Agar

^x0 nuqtada
у  f (x)
funksiyanig bir

tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng boʻlmasa, ya’ni
f x₀  0 
f (x₀  0)

boʻlsa, bu nuqta birinchi tur uzilish nuqtasi dеb ataladi. h 
f x₀  0 f (x₀  0)
soni

_{.
.
funksiyaning ^x0 nuqtadagi sakrashi dеb ataladi(3-shakl).




0 ^𝑥0 𝑥
3- shakl


Ikkinchi tur uzilish nuqtasi. Agar ^x0 nuqtada bir tomonlama limitlardan

kamida biri chеksiz yoki mavjud boʻlmasa, dеyiladi.
^x0 nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi

3. 
   misol. Uzilish turi aniqlansin:
   

у  ^x x

Yechish.

x  0,
f  0  1 
f (0)  1 ,
y
h  f  0 f (0)  2

.
.
4-shakl.

Dеmak,
x  0
birinchi tur uzilish nuqtasi boʻladi.
1

3. 
   misol. Uzilish turi aniqlansin:
   

1


f (x)  2 ^х1

Yechish. ^{f (x)  2 х1}
funksiya ^{x  1} nuqtada aniqlanmagan(5-shakl).
1

f 1  0 
lim
x10

2 ^{x 1}  2^  0,

f 1  0 

lim
x10

1
2 ^{x 1}  2^  .

Dеmak,
x  1
nuqta - ikkinchi tur uzilish nuqtasi.

3. 
   shakl.
   

5-misol. Uzilish turi aniqlansin:
f (x)  sin ¹ _.

x

Yechish.

f (x)  sin ¹

x

funksiya
x  0

nuqtada aniqlanmagan. Lekin

f (0)  lim sin ¹

mavjud emas, demak,

x  0

ikkinchi tur uzilish nuqtasidir .

x0
x

5. Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

Teorema 6. Agar


f (x)
funksiya a;b kesmada uzluksiz boʻlsa, funksiya shu

kesmada oʻzining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
Natija 1. Kesmada uzluksiz funksiya shu kesmada chegaralangan boʻladi.

Teorema 7. Agar


f (x)
funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida

f (a)  A, f (b)  B boʻlsa, u holda funksiya shu kesmada A va B lar orasidagi barcha

qiymatlarni qabul qiladi.
Natija 2. Agar f (x)
funksiya a;b kesmada uzluksiz va kesma chetlarida har

xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda shu kesma ichida kamida bitta shunday
c nuqta mavjudki, bu nuqtada funksiya qiymati nolga teng: f (с)  0 .