G. ahmedova, I. Xolbayev

 
Nazorat savollari 
 
1.
 
Bir  elektronli  atomlar  deb  qanday  atomlarga  aytiladi  va 
bunday atomlarga qaysi atomlar misol bo‘lishi mumkin? 
2.
 
Vodorod  atomining  tuzilishini  tushuntiring.  Yadro  bilan 
elektron  orasidagi  o‘zaro  ta’sir  kuchi  qanday  kuch 
hisoblanadi? 
3.
 
To‘g‘ri 
burchakli 
koordinatalar 
sistemasidan 
sferik 
koordinatalar sistemasiga qanday o‘tiladi? 
4.
 
Sferik  koordinatalar  sistemasida  Shredingerning  stasionar 
tenglamasi 
qanday 
ko‘rinishda 
yoziladi 
va 
bunday 
tenglamaning yechimi qanday bo‘ladi? 
5.
 
Shredinger tenglamasi qaysi tenglamalarga ajratiladi? 
6.
 
Azimutal  tenglama  de-Broyl  to‘lqin  funksiyasining  qaysi 
holatini ifodalaydi va qaysi koordinataga bog‘liq? 
7.
 
Qutb  koordinatalaridagi  tenglama  qaysi  vaqtdagi  de-Broyl 
to‘lqin funksiyasini ifodalaydi va qaysi koordinataga bog‘liq? 

 
221
8.
 
Radial 
tenglama 
qaysi 
masofadagi 
de-Broyl 
to‘lqin 
funksiyasini ifodalaydi va u qaysi koordinataga bog‘liq? 
9.
 
Kvant  sonlar  qabul  qilishi  mumkin  bo‘lgan  qiymatlarni 
yozing. 
10.
 
Qanday vodorodsimon atomlarni bilasiz? 
11.
 
Elektronning  orbital  mexanika  va  magnit  momentlari 
formulalarini yozing va tushuntiring. 
12.
 
Elektronning to‘liq magnit momenti qanday aniqlanadi? 
13.
 
Elektronning  to‘liq  mexanik  momenti  formulasi  qanday 
ifodalanadi? 
14.
 
Bor  magnetoni  qaysi  kattalikning  o‘lchov  birligi,  uning 
formulasini va son qiymatini yozing. 
15.
 
Giromagnit nisbat haqida tushuncha bering. 
16.
 
Shtern  va  Gerlax  tajribasida  atomlar  dastasining  ikkiga 
ajralishi nimani ko‘rsatadi? 
17.
 
Elektronning xususiy mexanik momentini tushuntiring 
18.
 
Ulenbek va Gaudsmit gipotezasining mohiyati nima? 
19.
 
Vodorod  atomi  energetik  sathlarining  nozik  strukturasini 
qanday tushunasiz? 
20.
 
Dirak tenglamasida qaysi kvant soni hisobga olingan? 
21.
 
Atom termlari qaysi ko‘rinishda yoziladi? 
22.
 
Multipletlikni qanday tushunasiz? 
23.
 
Energetik  sathning  ajralgan  komponentalari  soni  nechta 
bo‘lishi qaysi kattalikka bog‘liq? 
 
222
VII-BOB. KO‘P ELEKTRONLI ATOMLAR 
 
7.1-§. Ko‘p elektronli atomlar tizimi 
 
Vodorod  va  vodorodsimon  atomlar  elektron  qobig‘ida  atom 
yadrosi  maydonida  bitta  elektron  harakatlanadi.  Vodorod  va 
vodorodsimon  atomlar  spektrini  o‘rganish  mikroolam  fizikasining 
asosiy  qonuniyatlarini  o‘rnatdi.  Elektroni  birdan  ortiq  bo‘lgan 
atomlar  ko‘p  elektronli  atomlar  deyiladi.  Ko‘p  elektronli  atomlar 
spektrini  o‘rganish  esa  bir  qator  yangi  qonuniyatlarni  o‘rganishga 
imkon  berdi.  Masalan,  1925-yilda  Ulenbek  va  Gaudsmit  tomonidan 
ishqoriy  metallar  atomlarining  nozik  strukturasini  tushuntirishda 
elektronning  spinga  ega  ekanligi  haqida  gipoteza  aytildi.  Terenin  va 
Dobresovlar  tomonidan  1928-yilda  ishqoriy  metallar  atomlari 
spektrida  birinchi  marta  o‘ta  nozik  struktura  kuzatildi,  atom 
yadrolarining  magnit  va  mexanik  momentlarga  ega  ekanligi 
ko‘rsatildi.  Ko‘p  elektronli  atomlar  spektrlaridagi  qonuniyatlarni 
tahlil 
qilish  asosida  1925-yilda  Pauli 
elektronlar  tabiatini 
boshqaradigan  o‘z  prinsipini  (Pauli  prinsipi)  taklif  qildi.  Ko‘p 
elektronli  atomlar  nazariyasi  bir  atomli  elektronlar  nazariyasiga 
qaraganda ancha murakkabdir.  
Ko‘p elektronli atomlar uchun Shredinger tenglamasini yozganda 
elektronning atom yadrosi bilan o‘zaro ta’sirlarini ham hisobga olish 
kerak  bo‘ladi.  Bunday  differensial  tenglama  juda  murakkabdir. 
Murakkab  atomlarni  ifodalovchi  tenglamani  yechish  uchun  kvant 
mexanikasida  turli  yaqinlashish  usullari  qabul  qilingan.  Ko‘p 
elektronli  atomlarda  har  bir  elektron  yadro  maydoni  va  qolgan 
boshqa  elektronlar  hosil  qilgan  maydonda  harakatlanadi.  Bu 
maydonni  markaziy  maydon  deb  hisoblash  mumkin.  Shuning  uchun 
elektronlarning  harakat  miqdor  momenti  saqlanadi  va  bu 
elektronlarga  vodorodsimon  atomlarga  to‘g‘ri  keladigan  n,  ℓ,  m
ℓ
,  m
s
 
kvant sonlari to‘g‘ri  keladi. Bunday  mulohazalar, Pauli prinsipini  va 
ko‘p  elektronli  atomlarda  elektron  qobiqlari  to‘ldirilishi  tartibi 
haqidagi  ayrim  qoidalardan  foydalanish,  ko‘p  elektronli  atomlar 
tuzilishini, elementlar davriy tizimining tuzilishini, atomlarning optik 
va  rentgen  nurlanishlarining  xususiyatlarini  o‘rganishga  yordam 
beradi.  Murakkab  atomlar  spektrlari  ham  murakkab  bo‘lib,  spektral 
chiziqlar  soni  juda  ko‘p  bo‘ladi.  Hatto  geliy,  litiy  atomlari 

 
223
spektrlarida  ham  juda  ko‘p  sondagi  chiziqlar  kuzatiladi.  Og‘ir 
elementlar  atomlari  spektrlarida  esa  chiziqlar  soni  bir  necha  o‘n 
minglarga yetadi. 7.1-rasmda: 
a)  temir  atomi  spektrining  (3700÷4000)Å  to‘lqin  uzunlikdagi 
sohasi keltirilgan; 
b)  uglerod  atom  spektrining  (2500÷3300)Å  to‘lqin  uzunlikdagi 
sohasi 
ko‘rsatilgan. 
Bu  rasmlarda  ko‘p 
sondagi  chiziqlardan 
iborat 
murakkab 
spektrni 
ko‘rish 
mumkin. 
Elektroni  birdan 
ortiq  bo‘lgan  barcha 
atomlar 
ko‘p 
elektronli 
atomlarga 
misol 
bo‘la 
oladi. 
Masalan,  He,  Li,  Be, 
B, C, N, O, F, Ne, Na, Mg, Si, P, S, Cl, Ar, K,... elementlar atomlari 
misol bo‘ladi. 
 
7.2-§. Ko‘p elektronli atomlarda elektron  
sathlarining tuzilishi 
 
Vodorodsimon atomlarda bir xil bosh kvant soni n ga va turli xil 
orbital  kvant  soni  ℓ  ga  ega  bo‘lgan  barcha  sathlar  bir  xil  energiya 
qiymatiga ega bo‘ladi. Bu aynish tasodifiy bo‘lib, uning sababi shuki, 
vodorodsimon  atomlarda  elektronlar  Kulon  maydonida  bo‘ladi, 
maydon potensiali esa 1/r qonun bo‘yicha kamayadi. Ko‘p elektronli 
atomlarda  elektronlar  harakatlanadigan  maydon  deyarli  markaziy 
maydondir  va  maydon  potensiali  1/r  qonun  bo‘yicha  o‘zgarmaydi. 
Shuning  uchun  ko‘p  elektronli  atomlarda  harakat  miqdor  momenti  ℓ 
bo‘yicha aynish bo‘lmaydi. Ko‘p elektronli atomlarda esa bir xil bosh 
kvant  soniga  va  turli  xil  orbital  kvant  soniga  ega  bo‘lgan  energetik 
sathlar turlicha energiya qiymatiga ega bo‘ladilar. Bir xil n ga turli xil 
ℓ  ga  ega  bo‘lgan  elektronlar  to‘lqin  funksiyasini  ko‘raylik.  7.2-
rasmda  vodorodsimon  atomning  2s  va  2p  holati  uchun  punktir 
chizig‘i bilan to‘lqin funksiyasi  kvadrati 
|ψ|
2
 ning  oddiy chiziq bilan 
 
7.1-rasm 
 
224
esa  elektronning 
|ψ|
2
r
2
dr  shar  qatlamida  bo‘lishining  ehtimoliyati 
zichligi  grafigi  keltirilgan. Ko‘p  elektronli atomlarda elektr  maydoni 
potensiali  1/r  ga  qaraganda  tez  kamayadi.  Chunki  elektronni  atom 
markazidan  uzoqlashtirganda  yadroning  elektr  maydoni  nafaqat 
Kulon  qonuni  bo‘yicha  kamayadi,  balki  yadroga  yaqin  bo‘lgan 
elektronlar bilan ekranlanadi. 
Elektronning 
yadro 
bilan 
o‘zaro ta’sir energiyasining asosiy 
qismi  r  ning  kichik  qiymatlarida 
joylashgan 
to‘lqin 
funksiyasi 
qismi  bilan  bog‘liq.  7.2-rasmdan 
ko‘rinadiki  s  holat  elektronlarda 
to‘lqin  funksiyasining  bu  qismi  p 
holat  elektronlarinikidan  katta. 
Shuning 
uchun 
s 
holat 
elektronlarining 
yadro 
bilan 
bog‘lanishi 
p 
holat 
elektronlarinikidan 
kuchlidir. 
p 
elektronlarniki 
esa 
d 
elektronlarnikidan  kuchli  n  ning  bir  xil  qiymatlarida  ℓ  ning  qiymati 
qancha  kichik  bo‘lsa,  sathlar  shuncha  kattaroq  chuqurroqda 
joylashadi.  
Masalan,  natriy  atomida  3s  sathning  energiyasi  5,12  eV.  3p 
sathning  energiyasi  esa  3,02  eV.  Atomda  elektronlar  qancha  ko‘p 
bo‘lsa, ekranlanish shuncha ko‘proq ta’sir qiladi va orbital kvant soni 
ℓ  turlicha  bo‘lgan  sathlarga  ajralishi  shuncha  kuchli  bo‘ladi.  Og‘ir 
atomlarda  ℓ  lari  turlicha  bo‘lgan  sathlarning  ajralishi  shuncha 
kuchliki,  n  ning  ma’lum  bir  qiymatida  ℓ  li  katta  sathlar  bosh  kvant 
soni n+1 bo‘lgan s holatdan  yuqorida joylashadi. Spin-orbital  o‘zaro 
ta’sirning  bo‘lishi  n  va  ℓ  lari  bir  xil  bo‘lgan  sathlarning  qo‘shimcha 
nozik ajralishiga olib keladi. Lekin bunda spin momenti s ning orbital 
momenti  ℓ  ga  nisbatan  oriyentasiyasi  turlicha  bo‘ladi.  s=1/2 
qaraganda  s  ning  faqat  ikkita  oriyentasiyasi  bo‘lishi  mumkin,  u 
vaqtda ℓ
≠
0 bo‘lgan har bir sath dublet (ikkilangan) bo‘ladi. 
Masalan,  3p  sathi  3p
1/2
  va  3p
3/2
  sathchalarining  to‘plami 
hisoblanadi. Natriy atomida bu sathchalar orasidagi masofa (energiya 
farqi)  2
⋅
10
–3 
eV  ni  tashkil  qiladi,  bu  esa  3s  va  3p  sathlar  orasidagi 
masofadan ancha kichikdir. Lekin spin-orbital o‘zaro ta’sir energiyasi 
 
7.2-rasm 

 
225
atom  tartib  raqami  ortishi  bilan  Z
4
  ravishda  ortadi.  Shuning  uchun 
og‘ir  atomlarda  spin-orbital  ajralishi  sathlar  holatiga  ta’sir  qiladi. 
Vodorodsimon  atomlardagi  singari  ko‘p  elektronli  atomlarda  ham 
tashqi  magnit  maydoni  bo‘lmaganda  sathlarning  to‘liq  harakat 
miqdori  momenti  proyeksiyasi  bo‘yicha  aynishi  saqlanadi.  Ko‘p 
elektronli  atomlar  tuzilishini  bilish  uchun  atomdagi  hamma 
elektronlar  holatini  bilish  kerak.  Agar  biror  holatda  n,  ℓ,  j  kvant 
sonlarining berilgan qiymatiga ega bo‘lgan bir nechta elektron bo‘lsa, 
bu 
holatni 
oddiyroq 
yozish 
mumkin. 
Masalan, 
geliyning 
uyg‘onmagan  holatida  har  ikki  elektron  1s
1/2
  holatda  bo‘ladi.  Bu 
holatni 1s
1/2
:1s
1/2
 yozuv o‘rniga [1s
1/2
]
2
 yoki 1s
2
1/2 
ko‘rinishida berish 
mumkin. 
 
7.3-§. Geliy atomi 
 
Vodorod  atomi  elektron  qobig‘ida  yadro  maydonida  bitta 
elektron  harakat  qiladi.  Shunday  ko‘p  elektronli  atomlar  borki, 
ularning  tashqi  qobig‘ida  ikkita  elektron  harakatlanadi.  Bunday 
atomlarga magniy, radiy, berilliy, stronsiy, geliy elementlari atomlari 
kiradi.  Geliy  atomi  elektron  qobig‘i  ikkita  elektrondan  iborat.  Geliy 
atomi  vodoroddan  keyingi  oddiy  atom  hisoblansada,  Bor  nazariyasi 
quyidagi  sabablarga  ko‘ra  uni  tushuntira  olmaydi:  birinchidan 
Borning  kvant  nazariyasi  almashish  energiyasini  hisobga  olmaydi. 
Almashish  energiyasi  esa  ko‘p  elektronli  atomlarda,  jumladan,  geliy 
atomida ham  muhim ahamiyatga  egadir. Ikkinchidan, Bor nazariyasi 
elektron spinini hisobga olmaydi. Ko‘p elektronli atomlarda esa spin 
bilan  bog‘liq  bo‘lgan  effektlarni  hisobga  olmasdan  turib,  ko‘p 
elektronli  atomlarning  ko‘pgina  xossalarini  tushuntirib  bo‘lmaydi. 
Geliy  atomi  spektridagi  har  bir  seriya  ikki  nusxadan  iborat  bo‘ladi. 
Birinchi  nusxadagi  chiziqlar  oddiy  singlet  chiziqlardir,  ikkinchi 
nusxadagi  har bir chiziq triplet chiziqlardan  iborat bo‘ladi, ya’ni  har 
bitta  chiziq  bir-biriga  yaqin  joylashgan  uchta  chiziqdan  iborat 
bo‘ladi.  Geliy  atomida  2  ta  elektron  1s  holatda  joylashgan.  Atom 
uyg‘ontilganda  bu  elektronlardan  bittasi  yoki  2  tasi  ham  yuqori 
sathga  o‘tadi.  Yuqori  sathga  o‘tgan  elektron  spini  pastki  energetik 
sathda  qolgan  elektron  spini  bilan  parallel  yoki  antiparallel  bo‘lishi 
mumkin.  Spinlar  parallel  yo‘nalgan  bo‘lsa,  natijaviy  spin 
s=1/2+1/2=1;  antiparallel  yo‘nalgan  bo‘lsa,  ularning  natijaviy  spini 
 
226
s=1/2–1/2=0 
bo‘ladi. 
Bunda 
energetik 
sath 
multipletligi 
2s+1=2
⋅
0+1=1  bo‘ladi.  Bunday  energetik  sath  ajralmaydi.  Bu  geliy 
atomining  singlet  holatidir.  Geliy  atomining  singlet  holatiga 
parageliy deyiladi. Agar elektronlar spinlari parallel yo‘nalgan bo‘lsa, 
energetik  sath  multipletligi  2s+1=2
⋅
1+1=3  bo‘ladi.  Bunda  har  bir 
energetik  sath  uchga  ajralgan  bo‘ladi.  Bu  geliy  atomining  triplet 
holati  bo‘ladi.  Geliy  atomining  triplet  holatiga  ortogeliy  deyiladi 
(7.3-rasm).  Elektron  o‘tishlar  singlet-singlet  (ss)  yoki  triplet-triplet 
(tt)  holatlar  orasida  bo‘lishi  mumkin.  Bunday  o‘tishlarda  tanlash 
qoidasi spin kvant soni bo‘yicha bajariladi, ya’ni 
∆
s=0 bo‘lishi kerak. 
Triplet chiziqlardan iborat bosh seriya chiziqlari spektrning infraqizil 
sohasida  yotadi.  Singlet  chiziqlar  spektrning  ultrabinafsha  sohasida 
yotadi.  Geliy  atomi  spektrida  eng  aniq  chiziq  D
3
  sariq  chiziqdir. 
Geliy  elementi  shu  sariq  chiziq  orqali  1867  yilda  Quyoshda 
aniqlangan.  Bu  D
3
  sariq  chizig‘i  triplet  bo‘lib,  ularning  to‘lqin 
uzunliklari 587,59; 587,56 nm. Bunday tashqi qobig‘ida 2 ta elektroni 
bo‘lgan atomlar uchun Shredinger tenglamasini yozish mumkin. 
Potensial  maydonda  zarraning  harakati  Shredinger  tenglamasi 
bilan ifodalanadi. 
ψ
ψ
E
H
=
ˆ
, 
 
 
 
(7.1) 
bunda 
Hˆ
  –  zarra  gamiltonianidir,  ya’ni  zarraning  to‘liq  energiyasi 
impuls va koordinata funksiyasi sifatida ifodalangan: 
2
ˆ
ˆ
ˆ
2
n
P
Н
E
m
=
+
,  
 
 
(7.2) 
(7.1)  tenglama  bir  elektron  uchun  mukammalroq  holda  quyidagi 
ko‘rinishda yoziladi: 
0
)
(
2
2
2
=
−
+
∇
ψ
ψ
n
E
E
m
h
. 
 
 
(7.3) 
Geliy  atomida  ikkita  elektron  bo‘lgani  uchun  atom  tizimining 
to‘liq energiyasi quyidagi energiyalar yig‘indisidan iborat bo‘ladi: 
a) har bir elektronning kinetik energiyalaridan: 
m
P
Е
k
2
2
1
1
=
 va 
m
P
Е
k
2
2
2
2
=
 
b) har bir elektronning potensial energiyalaridan: 
)
(
1
1
r
E
p
 va 
)
(
2
2
r
E
p
 

 
227
r
1
 va r
2
 birinchi hamda ikkinchi elektronning radius-vektorlari. 
v) har ikki elektronning o‘zaro ta’sir energiyasi 
2
1
0
2
12
0
2
4
4
21
12
r
r
е
r
е
Е
Е
п
п
−
=
=
=
πε
πε
,   
(7.4) 
r
12 
–  elektronlar  orasidagi  masofa.  Ikki  elektronli  atom  tizimi  uchun 
gamiltonianni quyidagicha yozish mumkin: 
)
(
)
(
)
(
2
2
ˆ
2
1
2
1
2
2
2
1
12
r
r
E
r
E
r
E
m
Р
m
Р
Н
n
n
n
−
+
+
+
+
=
. 
(7.5) 
Ikki geliy elektronidan iborat tizim uchun Shredinger tenglamasi 
(7.1)  ko‘rinishda  bo‘ladi,  lekin  bu  tenglamada 
Hˆ
  (7.5)  formula 
ko‘rinishida  ifodalanadi.  Bunda 
ψ
  –  to‘lqin  funksiyasi. 
ψ
  har  ikkala 
elektronning 
koordinatalariga 
bog‘liq 
bo‘ladi, 
ya’ni 
oltita 
o‘zgaruvchiga  bog‘liq.  Shunday  qilib,  ikki  elektronli  tizim  uchun 
ψ
(r
1
,r
2
)  to‘lqin  funksiyasini  topishda  (7.3)  tenglamaning  o‘rniga 
Shredinger tenglamasi quyidagi ko‘rinishda yoziladi: 
[
]
0
)
(
)
(
2
12
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
=
−
−
−






+
∇
+
∇
ψ
ψ
ψ
n
n
n
E
r
E
r
E
E
m
h
.  (7.6) 
Bu tenglamada 
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
,   
 
(7.7) 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
, 
 
 
(7.8) 
2
1
∇
  va 
2
2
∇
  –  birinchi  va  ikkinchi  elektron  uchun  Laplas 
operatorlaridir. 
(7.5)  tenglamada  to‘lqin  funksiyasi 
ψ
  ning  ma’nosi  bir  elektron 
uchun yoziladigan to‘lqin funksiyasining  ma’nosi kabi bo‘ladi, ya’ni 
|ψ
(r
1
,r
2
)
|
2
  –  radius  vektorlari  r
1
  va  r
2
  bo‘lgan  tegishli  nuqtalarda 
birinchi  va  ikkinchi  elektronni  topish  ehtimoliyatining  zichligidir. 
Endi  ikki  elektronli  atom  uchun  yozilgan  tenglamaning  xususiy 
qiymatini  va  xususiy  funksiyasini  topishdir.  Xususiy  funksiyaga 
qo‘yiladigan  talablar  bir  elektronli  atomlar  uchun  xususiy 
funksiyalarga qo‘yilgan talablar kabi bo‘ladi. 
Ikki  elektron  orasidagi  o‘zaro  ta’sir  va  elektronlar  spini  hisobga 
olinmaganda  (7.6)  tenglamaning  xususiy  qiymati  va  xususiy 
 
228
funksiyasini topish ancha murakkab. Har bir elektronning yadro bilan 
o‘zaro  ta’sir  energiyasi  elektronlarning  bir-biri  bilan  o‘zaro  ta’sir 
energiyasidan  katta.  Shuning  uchun  birinchi  yaqinlashishda 
elektronlarning  o‘zaro  ta’sir  energiyasi  E
n12
  ni  hisobga  olmaslik 
mumkin.  U  vaqtda  (7.6)  tenglama  o‘rniga  quyidagi  ko‘rinishdagi 
tenglama qarab chiqiladi: 
0
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
1
=
−
−






+
∇
+
∇
ψ
ψ
ψ
n
n
E
Е
E
m
h
, 
(7.9) 
(7.9)  tenglamada  birinchi  va  ikkinchi  elektronlarning  potensial 
energiyalari: 
)
(
1
1
1
r
E
E
n
n
=
 va 
)
(
2
2
2
r
E
E
n
n
=
. 
Elektronlar  orasidagi  o‘zaro  ta’sir  hisobga  olinmaganligi  uchun 
har  bir  elektron  yadro  maydonida  ikkinchisiga  bog‘liq  bo‘lmagan 
ravishda  mustaqil  harakatlanadi  deb  qaraladi.  U  vaqtda  bu  bir 
elektronning  fazoning  u  yoki  bu  nuqtasida  topilish  ehtimoliyati  va 
uning  energiyasi  ikkinchi  elektronning  topilish  ehtimoliyati  va 
energiyasiga  bog‘liq  bo‘lmaydi.  Demak,  ikki  elektronning  umumiy 
energiyasi har ikki elektronlar energiyalari yig‘indisiga teng: 
)
2
(
)
1
(
b
a
E
E
E
+
=
 
 
 
(7.10) 
(7.10)da Ye
a
(1) – birinchi elektronning a holatdagi energiyasi, E
b
(2) – 
ikkinchi elektronning b holatdagi energiyasi.  
Bir-biriga  bog‘liq  bo‘lmagan  ikki  voqyeaning  yuzaga  chiqish 
ehtimoliyati 
har 
bir 
voqyeaning 
alohida 
yuzaga 
chiqish 
ehtimoliyatlari ko‘paytmasiga teng. 
Shunga asosan 
ψ
 to‘lqin funksiyasining ma’nosini va elektronlar 
harakatining  mustaqilligini  hisobga  olgan  holda  quyidagi  ifodani 
yozish mumkin: 
)
2
(
)
1
(
)
2
,
1
(
b
a
ψ
ψ
ψ
=
.   
(7.11) 
(7.11) formulada 
)
(
)
1
(
1
r
a
a
ψ
ψ
=
 va 
)
(
)
2
(
2
r
b
b
ψ
ψ
=
  
(7.12) 
ifodalar  a  va  b  holatlarda  bo‘lgan  elektronlarning  tegishli  to‘lqin 
funksiyalaridir.  
(7.9)  tenglamaga  (7.10)  va  (7.11)  formulalardagi  ifodalar 
qo‘yilganda quyidagi ko‘rinishdagi tenglama hosil bo‘ladi: 

 
229
[
]
[
]
0
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
2
(
2
1
2
2
2
2
2
1
=






−






+
∇
+
+






−






+
∇
b
n
b
b
a
a
n
a
a
b
E
E
m
E
E
m
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
h
h
 
(7.13) 
ψ
a
(1)  funksiya 
ψ
b
(2)ga  bog‘liq  bo‘lmaganligini  hisobga  olgan  holda 
(7.13)dan: 
0
)
1
(
)
(
2
)
1
(
1
2
2
1
=
−
+
∇
a
n
a
a
E
E
m
ψ
ψ
h
, 
 
(7.14) 
0
)
2
(
)
(
2
)
2
(
2
2
2
2
=
−
+
∇
b
n
b
b
E
E
m
ψ
ψ
h
. 
 
(7.15) 
Bu  tenglamalar  zaryadi  +2e  bo‘lgan  yadroning  kulon  maydonida 
harakatlanayotgan elektronlarning harakat tenglamalaridir. 
Bunda  yuqorida  qaralgan  vodorodsimon atomlardagidek xususiy 
funksiyalar  va  xususiy  qiymatlar  tegishlicha  quyidagi  formulalar 
orqali beriladi: 
)
,
(
)
(
,
,
ϕ
θ
ψ
m
n
m
n
y
r
R
l
l
l
=
, 
 
 
(7.16) 
formula orqali xususiy energiya qiymatlari esa 
2
2
2
0
2
4
2
32
n
e
mz
E
n
h
ε
π
−
=
,    
 
(7.17) 
1
+
+
=
k
n
l
 
n – bosh kvant soni, ℓ – orbital kvant soni, k – radial kvant soni, ℓ va 
k lar 0,1,2,... conlarni va n=1,2,3,… qiymatlarni qabul qiladi. 
Elektronlar  bir-biriga  bog‘liq  bo‘lmagan  holda  turli  holatlarda 
bo‘lishi  mumkin.  Elektronlar  bir-biriga  bog‘liq  bo‘lmagan  holda 
qayerda  bo‘lishlari  ehtimoliyatining  taqsimlanishi  vodorodsimon 
atomlar  ehtimoliyatlarining  taqsimlanishi  bilan  mos  keladi.  To‘liq 
energiya  elektronlar  energiyalarining  yig‘indisiga  teng  bo‘ladi.  Har 
bir  elektronning  energetik  sathi  vodorodsimon  atom  energetik  sathi 
bilan  mos  tushadi.  Lekin  elektronlarning  o‘zaro  ta’sirlari  va  spinlari 
hisobga  olinsa,  vodorodsimon  atom  bilan  bunday  mos  tushishlar 
ahamiyatli darajada o‘zgaradi. 
Turli elektronlarning o‘xshashligi. Elektron  muayyan  massa va 
zaryadga  ega  bo‘lgan  nuqtaviy  zarradir.  Elektronlarning  barcha 
 
230
fizikaviy xossalari bir-birinikiga o‘xshashdir. Shuning uchun agar bir 
elektron ikkinchisi bilan almashtirilsa, hyech narsa o‘zgarmaydi 
Almashtirish aynishi 
)
2
(
)
1
(
)
2
,
1
(
b
a
ψ
ψ
ψ
=
,   
 
(7.18) 
(7.18)da  ifodalangan  to‘lqin  funksiyasi  E=E
a
+E
b
  xususiy  energiya 
qiymatiga  tegishlidir.  Bu  to‘lqin  funksiyasi  (7.9)  tenglamaning 
yechimi  bo‘ladi.  2-elektronni  1-elektron  bo‘lgan  a  holatga  va  1-
elektronni  2-elektron  bo‘lgan  b  holatga  o‘tkazilganda,  ya’ni 
elektronlar  joylari  almashtirilganda,  elektronlar  o‘xshash  bo‘lganligi 
sababli  hyech  qanday  o‘zgarish  bo‘lmaydi.  U  vaqtda  elektronlar 
joylari 
almashtirilishidan 
hosil 
bo‘lgan 
to‘lqin 
funksiyasi 
quyidagicha: 
)
1
(
)
2
(
)
1
,
2
(
b
a
ψ
ψ
ψ
=
,   
 
(7.19) 
(7.19)da  ifodalangan  to‘lqin  funksiyasi  ham  (7.9)  tenglamaning 
yechimi bo‘la oladi. Bu to‘lqin funksiyasi E=E
a
+E
b
 xususiy energiya 
qiymatiga  tegishli  bo‘ladi.  Shunday  qilib,  ayni  bir  xususiy  energiya 
qiymatiga  tegishli  bo‘lgan  (7.18)  va  (7.19)  to‘lqin  funksiyalari 
mavjud bo‘ladi. Bunday  hol  elektronlarning  o‘xshash  bo‘lishligining 
natijasidir. Bunday aynish almashtirish aynishi deyiladi. 
To‘lqin 
funksiyalarning 
simmetriyasi. 
Elektronlarning 
o‘xshashligidan 
birinchi 
elektronning 
r
1
 
nuqtada, 
ikkinchi 
elektronning r
2
 nuqtada topilish ehtimoliyati ikkinchi elektronning r
1
 
nuqtada,  birinchi  elektronning  r
2
  nuqtada  topilish  ehtimoliyatiga 
teng: 
2
2
)
1
,
2
(
)
2
,
1
(
ψ
ψ
=
,   
 
(7.20) 
u vaqtda ikki tenglamadan biriga amal qilinadi: 
)
1
,
2
(
)
2
,
1
(
ψ
ψ
=
, 
 
 
(7.21a) 
yoki 
)
1
,
2
(
)
2
,
1
(
ψ
ψ
−
=
. 
 
 
(7.21b) 
Ya’ni to‘lqin funksiyasi simmetrik yoki antisimmetrik bo‘lishi kerak. 
)
2
(
)
1
(
)
2
,
1
(
b
a
ψ
ψ
ψ
=
 va 
)
1
(
)
2
(
)
1
,
2
(
b
a
ψ
ψ
ψ
=
 
To‘lqin funksiyalari elektronlarning o‘xshashligini hisobga olgan 
holda,  ularning  harakatini  ifodalamaydi,  chunki  bu  to‘lqin 
funksiyalar  muayyan  simmetriklik  xossalariga  ega  emas,  ya’ni  bu 
to‘lqin  funksiyalar  simmetrik  ham  emas,  antisimmetrik  ham  emas. 

 
231
Lekin  ular  orqali  simmetrik  va  antisimmetrik  to‘lqin  funksiyalarini 
tuzish  mumkin.  (7.9)  tenglama  chiziqli  differensial  tenglamadir. 
Shuning  uchun  bu  tenglamaning  ixtiyoriy  doimiy  koeffisiyentlar 
bilan  bo‘lgan  yechimlarining  yig‘indisi  ham  (7.9)  tenglamaning 
yechimi bo‘la oladi. U vaqtda: 
)
1
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
2
,
1
(
b
a
b
а
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
+
=
+
, 
 
(7.22) 
)
1
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
2
,
1
(
b
a
b
а
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
−
=
−
. 
 
(7.23) 
To‘lqin funksiyalar ham (7.9) tenglamaning yechimi bo‘la oladi. 
(7.22) va (7.23) tenglamalarda ifodalangan to‘lqin funksiyalar to‘lqin 
funksiyalariga  qo‘yilgan  talablarni  qanoatlantiradi.  Lekin  (7.22)  va 
(7.23)  to‘lqin  funksiyalar  (7.18)  va  (7.19)  to‘lqin  funksiyalardan 
farqli ravishda quyidagi simmetrik xususiyatlarga egadir: 
ψ
+
(1,2) – simmetrik to‘lqin funksiyasi; 
ψ
–
(1,2) – antisimmetrik to‘lqin funksiyasidir.  
Shuning uchun bu funksiyalar elektronlarning harakatini ularning 
o‘xshashligini hisobga olgan holda ifodalay oladi. 
Yuqorida  elektronlarning  bir-biriga  o‘xshashligi  ko‘rildi.  Lekin 
turli  protonlar  va  turli  neytronlar  ham  bir-biriga  o‘xshashlik 
xossasiga  ega.  Demak,  o‘xshashlik  xossasi  boshqa  elementar 
zarralarga ham tegishlidir. Elementar zarralar tizimini istalgan to‘lqin 
funksiyasi  ifodalay  olmaydi,  balki  muayyan  simmetriya  xossalariga 
ega  bo‘lgan.  Simmetrik  yoki  antisimmetrik  to‘lqin  funksiyalarigina 
ifodalay  oladi.  Biror  elementar  zarra  harakatini  ifodalashda 
simmetrik  yoki  antisimmetrik  to‘lqin  funksiyalardan  qaysi  birini 
ishlatish  zarraning  spiniga  bog‘liq  bo‘ladi.  (7.22)  va  (7.23) 
ifodalardagi  to‘lqin  funksiyalar  bir  xil  xususiy  energiya  qiymatiga 
E=E
a
+E
b
 tegishlidir. Lekin elektronlar orasidagi o‘zaro ta’sir hisobga 
olinsa, bu mulohaza to‘g‘ri kelmaydi.  
Elektronlarning  o‘zaro  ta’sirini  hisobga  olgandagi  to‘lqin 
funksiyalarining almashish aynishi va simmetriyasi.  
Elektronlar  orasidagi  o‘zaro  ta’sir  hisobga  olinganda,  ularning 
to‘lqin  funksiyasi  har  ikki  elektron  funksiyalarining    ko‘paytmasi 
ko‘rinishida bo‘la olmaydi, ya’ni (7.18) va (7.19) to‘lqin funksiyalari 
yoki  ularning  (7.22)  va  (7.23)  ifodalangan  chiziqli  kombinasiyalari 
ko‘rinishida  bo‘la  olmaydi.  Shuning  uchun  elektronlarning  o‘zaro 
ta’siri hisobga olinganda, almashtirish aynishi bo‘lmaydi.  
 
232
(7.21a)  va  (7.21b)  to‘lqin  funksiyalarining  simmetriklik 
xususiyati  elektronlar  orasidagi  o‘zaro  ta’sir  hisobga  olinganda  ham 
saqlanishi 
kerak, 
chunki 
simmetriyaning 
bu 
xususiyati 
elektronlarning  o‘xshashligi  natijasi  bo‘lib,  o‘zaro  ta’sir  bo‘lganda 
ham  saqlanadi.  Lekin  o‘zaro  ta’sir  bo‘lganda  simmetrik  va 
antisimmetrik to‘lqin funksiyalar turli xususiy  energiya qiymatlariga 
tegishli bo‘ladi. 
Elektronning spinini hisobga olgandagi to‘lqin funksiyasi. 
Spinning  vektorini  spinning  to‘lqin  funksiyasi  deb  ataymiz  va 
S
(+)
(i),  S
(–)
(i)  (i=1,2,3,…)  bilan  belgilaymiz.  Bunda  i  –  to‘lqin 
funksiyaga tegishli bo‘lgan elektronning tartib raqami, S
(+) 
– spinning 
to‘lqin  funksiyasi,  uning  berilgan  yo‘nalishga  (odatda  z  o‘qiga) 
bo‘lgan  proyeksiyasi  musbat  bo‘lib,  ħ/2  ga  teng,  S
(–)
  –  spin 
proyeksiyasi 
manfiy 
bo‘lgan 
to‘lqin 
funksiyasidir. 
Spin 
proyeksiyasining  kvant  sonini  m
s
  bilan  belgilaymiz. 
2
1
±
=
s
m
 
elektron spini uning fazoviy harakati bilan kuchsiz ta’sirlashadi. Agar 
ψ
a
(1)  elektronning  fazoviy  harakatini  ifodalovchi  to‘lqin  funksiyasi 
bo‘lsa,  u  vaqtda  spinni  hisobga  oladigan  to‘lqin  funksiyasi  spin 
oriyentasiyasiga bog‘liq ravishda quyidagicha ifodalanadi: 
)
1
(
)
1
(
)
(
+
S
a
ψ
 yoki 
)
1
(
)
1
(
)
(
−
S
a
ψ
 
 
(7.24) 
Ikki  elektronning  spin  funksiyasi  alohida  elektronlarning  spin 
funksiyalarining  ko‘paytmasi  ko‘rinishida  beriladi.  Elektronlarning 
ikki  spin  funksiyalaridan  quyidagi  spin  funksiyalarining  quyidagi 
ko‘paytmalarini hosil qilish mumkin: 
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
+
+
S
S
  
 
(7.25a) 
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
−
+
S
S
  
 
(7.25b) 
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
+
−
S
S
  
 
(7.25c) 
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
−
−
S
S
  
 
(7.25d) 
(7.25)larda  keltirilgan  funksiyalardan  faqat  a  va  d  funksiyalar 
ma’lum  simmetriyaga  ega  bo‘lib,  elektronlar  joylari  almashinishiga 
nisbatan simmetrik funksiyalardir. b va s funksiyalar simmetrik emas. 
Lekin  ulardan  simmetrik  va  antisimmetrik  kombinasiyalar  qurish 
mumkin: 

 
233
)
1
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
S
S
S
S
S
S
S
S
  
(7.26) 
Shunday qilib, quyidagi spin to‘lqin funksiyalari hosil qilinadi: 
a) simmetrik funksiyalar: 
1
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
+
+
S
S
 (7.27a) 
0
)
1
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
+
−
+
+
S
S
S
S
 (7.27b) 
1
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
−
−
−
S
S
 (7.27c) 
b) antisimmetrik funksiya: 
0
)
1
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
+
−
+
−
S
S
S
S
 (7.27d) 
Ikki  elektrondan  iborat  sistemaning  to‘liq  spinining  berilgan 
yo‘nalishga  proyeksiyasi  birinchi  va  ikkinchi  elektronlar  spinlari 
proyeksiyalarining yig‘indisiga teng, ya’ni: 
)
2
(
)
1
(
s
s
s
m
m
m
+
=
 
 
 
(7.28) 
(7.28)  formuladagi  m
s
  kvant  soni  spin  to‘lqin  funksiyasining 
aniqlanishini  hisobga  olgan  holda  hosil  qilinadi.  Ma’lumki,  to‘liq 
spinning kvant soni S quyidagi qiymatlarni olishi mumkin: 





−
−
−
−
=
lganda)
bo'
 
toq
(
2
1
,...
1
2
1
,
2
1
lganda)
bo'
juft 
(
0
,...
1
2
1
,
2
1
N
N
N
N
N
N
S
 
Bunda  N  –  elektronlar  soni.  Bu  formuladan  ko‘rinadiki,  ikki 
elektronning  to‘liq  spinining  kvant  soni  –  S  0  yoki  1  qiymatlarni 
olishi  mumkin.  (7.27a)-(7.27d)lardagi  to‘lqin  spin  funksiyalar  to‘liq 
spini 1 ga tegishli  ekanligi aniq ko‘rinib turibdi, chunki to‘liq spin 0 
bo‘lganda,  spinning  noldan  farq  qiladigan  proyeksiyasi  bo‘lishi 
mumkin  emas.  Bu  funksiyalar  simmetrikdir.  Agar  to‘liq  spin  1 
boshqa  funksiyalar  bilan  ifodalansa,  u  vaqtda  bu  funksiyalarning 
chiziqli  kombinasiyasi  to‘liq  spini  1  ni  ifodalashi  kerak.  Lekin 
chiziqli  kombinasiyaning  to‘lqin  funksiyasi  bo‘lishi  uchun  aniq 
simmetriyaga  ega  bo‘lishi  kerak,  bunday  hol  esa  uning 
funksiyasining tashkil etuvchilari bir xil simmetriyaga ega bo‘lganda 
bo‘lishi  mumkin.  Bundan  esa  to‘liq  spin  1  ni  ifodalaydigan  barcha 
funksiyalar bir xil simmetriyaga  ega bo‘lishi  kerakligi kelib  chiqadi. 
Shuning uchun (7.27b) funksiyasi ham (7.27a) va (7.27c) funksiyalar 
 
234
kabi  to‘liq  spin  1  ga  tegishli  bo‘ladi.  (7.27d)da  ifodalangan  to‘lqin 
funksiyasi  to‘liq  spin  0  ga  tegishli,  chunki  bu  funksiya 
simmetriyaning  boshqa  xossalariga  ega.  Demak,  (7.27a)  va  (7.27c) 
simmetrik  spin  to‘lqin  funksiyalar  ikki  elektronning  (S=1)  triplet 
holatini  ifodalaydi,  antisimmetrik  spin  to‘lqin  funksiyasi  (7.27d)  esa 
ikki elektronning (S=0) singlet holatini ifodalaydi. 
Shunday  qilib,  geliy  atomi  elektronlari  spinlari  parallel 
yo‘nalganda, natijaviy spin birga teng bo‘lib, uchta proyeksiyaga ega 
bo‘ladi: 
+1, –1, 0. 
Bundan  esa  geliy  atomining  triplet  holati  hosil  bo‘ladi.  Geliy 
atomining  natijaviy  spini  birga  teng  bo‘lgan  triplet  (ortogeliy) 
holatida  noldan  farq  qiladigan  magnit  momentiga  ega  bo‘ladi  va 
magnit  maydonda  Zeyeman  ajralishini  hosil  qiladi.  Ortogeliyning 
energetik sathlari va spektral chiziqlari tanlash qoidasiga bo‘ysunadi. 
 
7.3-rasm