Graflar ustida bir quvish va qochish masalasi haqida

2-teorema. Aytaylik, -IV-chorakda , -III-chorakda, -I-chorakda joylashgan bo’lsin (5-rasm),

u holda (3) o’yin cheksiz davom etishi uchun

1. 
   ; b) ; c) ; d)
   

shartlardan kamida bittasi bajarilishi yetali.
Isbot. Biz bu teoremani d) xol uchun isbotlaymiz. Bu holda qochuvchi boshqaruv yordamida barcha quvuvchilar taqibidan qochib keta olishini ko’rsatamiz.
Aytaylik quvuvchilar boshqaruvlar yordamida harakatlanmoqda. Quvuvchilarning qochuvchiga nisbatan joylashuvida faqatgiba 2-quvuvchi tutib olishi mumkin. Buning uchun 1-quvuvchi qandaydir vaqtdan keyin qochuvchi bilan ustma-ust tushishi yoki bo’lmasam uning oldini kesib chiqishi lozim bo’ladi. Ustma-ust tushdi degani bu quvuvchining ikkala koordinatasi ham nol bo’ldi degani va oldini kesib chiqdi degani esa shart bajarildi degani bo’ladi. Biz hozir shu shartlar bajarilsa qochuvchi shu nuqtadan qochib chiqib ketishini ko’rsatamiz:


Quvuvchi o’z boshqaruvi bilan qochuvchi bilan ustma-ust tushdi yoki oldini kesib chiqdi degani uning koordinadatasi nol bo’ldi va shart bajarildi degani bo’ladi. Demak,

shart bajarilmaganida ya’ni bo’lganida o’yin cheksiz davom etishi mumkin ekan.
3-teorema. Aytaylik, - III-chorakda , -II-chorakda, - IV-chorakda joylashgan bo’lsin (6-rasm),

u holda (3) o’yin cheksiz davom etishi uchun

1. 
   ; b) ; c) ; d)
   

shartlardan kamida bittasi bajarilishi yetali.
Isbot. Biz ushbu teoremani shart bajarilganida o’yin cheksiz davom etishini ko’rsatamiz. Bunday holatda quvuvchilarga nisbatan qochuvchi boshqaruvni qo’llab barcha quvuvchilardan qochib ketaolishini ko’rsatamiz.
1 va 2 teoremalarga ko’ra agar quvuvchilar IV va III-choraklarda joylashgan holatda ushbu

va

Shartlar bajarilganida qochibketaolmasligini ko’rsatgan edik. Bizning 3-teoremaga ko’ra qochuvchi ikki quvuvchining orasida joylashganligi sababli ularning ikkalasidan ham bir vaqtda qochib ketaolishi kerak. Shuning uchun quvuvchidan shart bajarilganida, quvuvchidan shart bajarilganida qochib ketaolishini bilamiz. Bu ikki quvuvchidan esa yuqoridakeltirilgan ikki shar bir vaqtda bajarilganida qochib ketaolish imkoniyati mavjud bo’ladi:

4-teorema. Aytaylik, -I-chorakda, -III-chorakda va -II-chorakda joylashgan bo’lsin (7-rasm),

u holda (3) o’yin cheksiz davom etishi uchun

1. 
   ; b) ; c) ; d)
   

shartlardan kamida bittasi bajarilishi yetarli.
Isbot. Biz ushbu teoremani shart bajarilganida o’yin cheksiz davom etishini ko’rsatamiz. Bunday holatda quvuvchilarga nisbatan qochuvchi boshqaruvni qo’llab barcha quvuvchilardan qochib ketaolishini ko’rsatamiz.
1 va 3 teoremalarga ko’ra agar quvuvchilar I va II-choraklarda joylashgan holatda ushbu

va

Shartlar bajarilganida o’yin tugashini ko’rsatgan edik. Bizning 3-teoremaga ko’ra qochuvchi ikki quvuvchining orasida joylashganligi sababli ularning ikkalasidan ham bir vaqtda qochib ketaolishi kerak. Shuning uchun quvuvchidan shart bajarilganida, quvuvchidan shart bajarilganida qochib ketaolishini bilamiz. Bu ikki quvuvchidan esa yuqoridakeltirilgan ikki shar bir vaqtda bajarilganida qochib ketaolish imkoniyati mavjud bo’ladi: