Graflar ustida bir quvish va qochish masalasi haqida

Tadqiqot maqsadi va vazifalari: Asosiy maqsad boshqaruv funksiyalari chiziqli chegaralanishga ega hol uchun tutish masalasi yechimini topish, chiziqli differensial o’yinlarda ta’qib etish masalasini yechimini topish usullarini takomillashtirish, chiziqli differensial o’yinlarda o’yinchilarni strategiyasini qurish va qochib ketish uchun yetarli bo’lgan shartlarni aniqlash. Dissertatsiyaning vazifasini ishtirokchlarning boshqaruvi geometrik, integral bo’lgan hollardagi masalalrni tadqiq etish hamda chiziqli differensial o’yinlarda tutish masalasi yechimini topishdan va tutish vaqti xossalarini aniqlashdan iborat.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi quyidagilardan iborat:
Tomoni 1 ga teng kvadrat shaklidagi graf ustida 3 quvuvchi va 1 qochuvchi ishtirokidagi mazkur differensial o’yinda qochuvchi 3 quvuvchi qurshovida qanday holda turganida qochib keta oladi degan savolga yetarli javob olingan;
tugun nuqlarda joylashgan qochuvchilar qurshovida turgan qochuvchi quvuvchilarga nisbatan qanday nuqlarada turganida qochib keta olish nuqtalari topilgan.
Tadqiqotning asosiy masalalari va farazlari: Ushbu dissertatsiya ishida quydagi masalalar ko’riladi:

• 
  o’yinchilarni harakatlariga chiziqli ta’qib etishni strategiyasini qurish.
  
• 
  yaqinlashish va tutish vaqti funksiyalarini parametrlarga bog’liq holda xossalarini o’rganish;
  
• 
  chiziqli differensial o’yinlarda boshqaruv funksiyalari chziqli chegaralanishli tutish masalasini yechish.
  
• 
  chiziqli differensial o’yinlarda ta’qib etish masalasini yechish usullarini takomillashtirish.
  

Dissertatsiya farazi o’yinchilarning boshqaruv funksiyalari chiziqli chegaralanishga ega bo’lgan holda parametrlarning o’zgarishi natijada integral hamda geometrik chegaralanishga ega differensial o’yinlar kelib chiqishidan iborat.
Tadqiqot mavzusi bo’yicha adabiyotlar sharhi (tahlili): “Differensial o’yin” tushunchasi dastlab 20-asrning 50-yillarida amerikalik matematik R.Ayzeksning RAND korporatsiyasining (AQSh) yopiq ilmiy loyihasi bo’yicha bajarilgan ishlarida kiritilgan. R.Ayzeksning izlanishlarida ko’plab turli amaliy misollarning tahlillari keltirilgan. Uning ilmiy izlanishlari integral chegaralanishli masalalarni o’rganish muammolariga bag’ishlangan, ammo ularni chuqurroq o’rganish keyinchalik boshqa olimlar tomonidan amalga oshirilgan.
L .S.Pontryaginning quvish masalasiga doir birinchi bevosita yechish usuli [8] integral chegaralanishlar uchun dastlab M.S.Nikolskiy [6] tomonidan o’rganilgan. So’ngra, bu usul A.Ya.Azimov, F.V.Guseynov, A.V.Mezentsev, N.L.Grigorenko va boshqalar tomonidan rivojlantirilgan. Integral chegaralanishli masalalarga yangicha yondashuv N.N.Krasovskiy, Yu.M.Repin va V.E.Tretyakov tomonidan taklif etilgan [5] va bu keyinchalik A.B.Kurjanskiy, A.I.Subbotin, V.N.Ushakov, V.I.Uxobotov, N.Yu.Lukoyanov, M.D.Lokshin, A.N.Darin, D.V.Kornevlar tomonidan rivojlantirilgan. Pozitsion yaqinlashishning regulyar holi B.N.Pshenichniy va Yu.N.Onopchuk ishlarida ko’rilgan [11] va bu boshqaruv funksiyalariga turli hildagi chegaralanishlar qo’yilganda I.S.Rappoport, S.I.Tarlinskiy, M.S.Gabrielyan, A.A.Chikriy va boshqalar tomonidan rivojlantirilgan.
Integral chegaralanishli boshqaruv masalalari haqida so’z borganda, ularni fazoviy cheklovli boshqaruv masalasiga keltirish mumkinligiga e’tibor qaratish lozim. Fazoviy cheklovli optimal boshqaruv masalalari R.V.Gamkrelidze, A.B.Kurjanskiy, Yu.S.Osipov, A.V.Arutyunov, M.A.Farreira, R.B.Vinter, F.L.Pereyralar tomonidan tadqiq etilgan va funksiyalar nazariyasidagi o’lchov tushunchasi asosida zaruriylik sharti bayon qilingan. Differensial o’yinlar nazariyasiga nisbatan integral chegaralanishli masalalarni, fazoviy chegaralanishli masalalarga keltirish natija bermagan, chunki differensial o’yinlar nazariyasida yechim sintez tarzida qurilishi lozim bo’lgan.
Differensial o’yinlar nazariyasida quvish-qochish masalalari alohida o’rin tutadi. Ulardan biri – turlicha usullarni tadbiqini kengligi, hamda olingan natijalarni o’ziga xosligidadir. Bu xususiyat, ayniqsa, model masalalarda o’zini yaqqol namoyon etgan. Misol sifatida, ishtirokchilar oddiy harakatlanishayotganda R.Ayzeksning [1] “qutulish chizig’i” muammosi L.A.Petrosyan [7] tomonidan yetishish sohasining xossalari asosida yechilgan. Bunda parallel quvish strategiyasining optimal ekanligi isbotlangan. Keyinchalik, N.Yu.Satimov, B.N.Pshenichniy, A.A.Chikriy, A.A.Azamov,
I.S.Rappoport, B.N.Grigorenko, B.B.Rixsiev, N.N.Petrov, V.I.Uxobotov, A.I.Blagodatskix va boshqalar tomonidan parallel quvish strategiyasi asosida yechim beruvchi funksiyalar usuli taklif etilgan va uning yordamida geometrik chegaralanishli hol uchun guruhli quvish masalalari yechilgan [3].
Shu o’rinda ta’kidlab o’tish joizki, O’zbekistonda ham differensial o’yinlar nazariyasi bo’yicha N.Yu.Satimov tomonidan asos solingan va bugungi kunda A.A.Azamov rahbarlik qilayotgan ilmiy maktab o’z faoliyatini olib bormoqda. Ushbu ilmiy maktab vakillari tomonidan integral chegaralanishli hol uchun guruhli tutish masalasini yechish bo’yicha yangi uslub taklif etilgan (N.Yu.Satimov, A.Z.Fazo’lov, B.B.Rixsiev, G.I.Ibragimov, A.A.Xamdamov). Bu uslub quvlovchilarning boshqaruv resurslari taqsimotiga asoslangan. Integral chegaralanishli hol uchun qochish masalasi esa N.Yu.Satimov, L.P.Yugaya, B.B.Rixsiev va boshqalar tomonidan o’rganilgan. Parametrlari taqsimotga ega sistema uchun quvish-qochish masalalari turli chegaralanishli boshqaruvlarda N.Yu.Satimov, M.M.Tuxtasinov va M.Sh.Mamatovlar tomonidan o’rganilgan.
A.A.Azamov va A.Sh.Ko’chqorovlar tomonidan boshqaruvlar turli chegaralanishli chiziqli sistemalar uchun quvish [3], boshqariluvchanlik va turg’unlik masalalarining o’zaro bog’liqligi isbotlangan. G.I.Ibragimov hilbert fazosidagi evolyutsion tenglama bilan berilgan optimal quvish masalasini integral chegaralanishli cheksiz differensial tenglamalarga keltirish usili bilan yechishni taklif etgan. A.Sh.Kuchkarov tomonidan o’yinchilar Riman sirtida xarakatlaniyotgan holdagi quvish-qochish masalasi o’rganilgan.
Differensial o’yinlar nazariyasining ko’plab model masalalarida parallel quvish strategiyasi muhim o’rin tutadi. Geometrik cheklovlardan farqli ravishda, integral va kompleks chegaralanishli hollarda yechim beruvchi funksiyalarni qurish ma’lum to’siqlarni keltirib chiqarishi mumkin. A.A.Chikriy, I.S.Rappoport, A.A.Belousov, V.V.Bezmagoro’chno’y, L.V.Baranovskaya ishlarida ma’lum hollar uchun bunday masalalar ko’rilgan. Ammo, umuman olganda bu muammo ochiq turgan edi. B. T. Samatov [13-23] ishlarida bu masalalar hal etildi. Shu bilan birga R.Ayzeksning “qutilish chizig’i” masalasi integral va kompleks hollar uchun B. T. Samatov tomonidan o’rganilganligini takidlash lozim.
Differensial o’yinlar nazariyasining umumiy yechish usullarini topishga va turli chegaralanishli quvish-qochish nazariyasi muammolarini tadqiq etishga yo’naltirilgan ilmiy izlanishlar jahonning yetakchi ilmiy markazlari va oliy ta’lim muassasalari, jumladan, RAND Corporation (AQSh), University of Princeton (AQSh), University of Illinois (AQSh), University of Cambridge
(Angliya), University of Brest (Frantsiya), Moskva davlat universiteti, Rossiya Fanlar akademiyasining Matematika instituti, Matematika va mexanika instituti
(Ekaterenburg), Ural federal universiteti, Rossiya xalqlar do’stligi universiteti, Sankt-Peterburg davlat universiteti (Rossiya), Ukraina Fanlar akademiyasining ilmiy-tadqiqot institutlarida olib borilmoqda.
Differensial o’yinlar nazariyasining umumiy yechish usullari va turli chegaralanishli quvish-qochish nazariyasi muammolariga oid jahonda olib borilgan tadqiqotlar natijasida qator, jumladan, quyidagi ilmiy natijalar olingan: Ayzeks-Bellman-Pontryaginning xarakteristikalar usuli kashf etilgan (RAND Corporation, AQSh va Rossiya Fanlar akademiyasining Matematika instituti); variatsion hisob usullari asosida differensial o’yin yechimining egar nuqta tarzida mavjudligi uchun zaruriy shart aniqlangan (University of Princeton, AQSh); differensial o’yinlarni chekli o’yinlar bilan aproksimatsiyalash natijasida o’yinning qiymatini mavjudligi isbotlangan (The Ohio State University, AQSh va Sankt-Peterburg davlat universiteti, Rossiya); tayin chekli vaqt oraligida berilgan differensial o’yinlar uchun o’yin qiymatining mavjudligi ko’rsatilgan (Rossiya Fanlar akademiyasining Matematika va mexanika instituti, Ekaterenburg, Moskva davlat universiteti); hilbert fazolarida differensial o’yinlarning maksimum masalalari yechilgan (University of Cambridge, Angliya); geometrik, integral va turli chegaralanishli quvish-qochish masalalarini yechishning samarali usullari topilgan (Rossiya Fanlar akademiyasining Matematika instituti hamda Matematika va mexanika instituti). D unyoda differensial o’yinlar nazariyasini rivojlantirish va tadbiq etish bo’yicha qator, jumladan, quyidagi ustuvor yo’nalishlarda tadqiqotlar olib borilmoqda: real jarayonlarni yanada mutanosib ravishda o’zida aks ettirgan boshqaruvlarga turli xil chegaralanishlar qo’yilgan quvish-qochish masalalarini aniqlash; guruhli quvish-qochish masalalarini yechish; stoxastik differensial o’yinlarni tadqiq etish; ziddiyatli boshqaruv jarayonlarini sonli yechish usullarini ishlab chiqish.
Tadqiqotda qo’llanilgan uslublarning qisqacha tavsifi: Ushbu
dissertatsiyada differensial tenglamalar, chiziqli algebra, haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi va differensial o’yinlar nazariyasining usullari qo’llanilgan.