Graflar ustida bir quvish va qochish masalasi haqida

5-misol. fazoda boshqariluvchi va obektlar
(7)
tenglamalar mos harakatlanmoqdalar, bu yerda , va – musbat sonlar. Quvuvchi imkoni boricha tezroq vektor vektor bilan ustma-ust tushishi uchun harakat qiladi, qochuvchi esa bunday vaziyat yuz bermasligiga intiladi. Bu o’yinni (3) ko’rinishga keltirish uchun o’zgaruvchilar kiritamiz. U holda quyidagi differensial o’yin hosil bo’ladi:
(8)
differensial o’yin hosil bo’ladi, bu yerda
.
bo’lganda (7) tenglama birlik massali va moddiy nuqtalarning mos ravishda va boshqaruvchi kuchlar ta’siridagi harakatini ifodalaydi.
6-misol. Birlik massali va nuqtalar vertikal tekislikda harakatlanmoqda. va nuqtalarga va kuch ta’sir qilmoqda. Bu kuchlar shartlarni qanoatlantiradi, bunda . Agar vaqtning biror momentida va nuqtalarning geometrik o’rni ustma-ust tushsa o’yin tugadi deb hisoblaymiz. va nuqtalarning harakati quyidagi tenglamalar bilan berilgan:
(9)
Bu yerda va – mos ravishda va nuqtalarning geometrik koordinatasi, va – bu nuqtalar tezliklarining koordinatalari, – erkin tushish tezligi.
6-misolda qaralayotgan o’yinda o’zgaruvchilar kiritilsa (4) ko’rinishga keladi, bu yerda .
7-misol. (L.S.Pontryaginning kontrol misoli). fazoda boshqariluvchi va ob’ektlar mos ravishda quyidagi tenglamalar bilan harakatlanmoqda
(10)
bu yerda – musbat o’zgarmaslar, boshqaruvchi parametr tengsizlikni, boshqaruvchi parametr esa tengsizlikni qanoatlantiradi. Quvuvchi imkon qadar tezroq vektor vektor bilan ustma-ust tushishi uchun intiladi, qochuvchi esa bunday holat yuz bermasligi uchun harakat qiladi.
7-misolda o’zgaruvchilar kiritsak
(11)
differensial o’yinni hosil qilamiz, bu yerda .
Quvuvchi va qochuvchining harakat dinamikasi (11) tenglama bilan berilgan differensial o’yin masalasini umumlashmasi deganda shunday masalani tushunamizki, bunda vektor va vektorga masofada yaqinlashsa o’yin yakunlangan hisoblanadi, bu yerda – berilgan o’zgarmas.
8-misol. (L.S.Pontryaginning umumlashgan kontrol misoli). fazoda boshqariluvchi va obektlar harakat mos ravishda quyidagi tenglamalar bilan ifodalanadi:

bu yerda – natural sonlar, – haqiqiy sonlar, va – fazoning bo’sh bo’lmagan qavariq kompakt qismto’plamlari. Agar vaqtning biror momentida tengsizlik bajarilsa obekt obektni tutib oldi, yoki o’yin tugadi deb hisoblaymiz, bu yerda berilgan o’zgarmas. Quvuvchi tezroq o’yinni tugatishga intiladi, qochuvchi esa o’yin tugamasligiga harakat qiladi.
8-misolda qaralayotga o’yinda o’zgaruvchilar kiritak (3) ko’rinishdagi differensial o’yinni hosil qilamiz.