Guruh talabasi Mamatqulov Lochinning “ ” fanidan

2. Ekstremumlar nazariyasining mexanika masalalariga tadbiqi.
1-ta`rif.
Agar funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday atrofi
mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu 
(1) 
tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning minimum nuqtasi deyiladi; ƒ( 
) esa ƒ(x) funksiyaning minimumi deyiladi. 
2-ta`rif.
Agar ƒ(x) funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday 
atrofi mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu 
ƒ(x)
tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning maksimum nuqtasi deyiladi; 
ƒ( ) esa ƒ(x) funksiyaning maksimumi deyiladi. 
3-ta`rif.
ƒ(x) funksiyaning minimum yoki maksimum nuqtalari uning ekstremum 
nuqtalari deyiladi, ƒ(x) funksiyaning minimumi yoki maksimumi uning 
ekstremumi deyiladi. 
4-ta`rif. 
Agar ƒ(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz, x
o
nuqta (a, b)
intervalning (yoki [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarim intervallarning) biror nuqtasi
bo`lib, shu intervalning x
o 
dan farqli barcha nuqtalari uchun ushbu ƒ(x) <ƒ(x
o
) 
tengsizlik bajarilsa, u holda ƒ(x
o
) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng 
katta qiymati deyiladi; agar ƒ(x)>ƒ(x
o
) tengsizlik bajarilsa, ƒ(x
o
) berilgan ƒ(x) 
funksiyaning (a, b) intervalda eng kichik qiymati deyiladi. 
Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda 
tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun 
bu ta`rifga misollar ko`raylik. 
1.
ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu 
kesmaning chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati 
nolga teng; ichki nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut 
qiymati bo`yicha kamaygan sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 
bo`lganda esa u o`zining eng katta qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi. 

---

8
2.
ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 
bo`lganda nolga, demak ƒ(x) funksiyaning qiymati +
 ga intiladi. Ammo 
berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, 
) yarim intervaldan iborat bo`lib, 
funksiyaning eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga
u istalgancha katta miqdordir. 
Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik qiymati 
0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi. 
5-ta`rif.
Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning 
bir necha ichki nuqtasi: 
1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va 
ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta 
qiymati deyiladi. 
2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi ƒ(x) 
funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi. 
Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi 
(a,b) 
intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-
ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi.