Гязянфяр рцстямов автоматик

7.13.1. Сонлу кечид просесини тямин едян тянзимляйиъинин 

синтези 

  

Мялум олдуьу кими, фасилясиз системляр асимптотик олуб нязя-

ри  олараг  сонсуз  заманда  баша  чатыр.  Лакин  практикада  заман 





t

 олдуьундан сонлу вахта гярарлашан кечид просеслярини тямин 

едян  системлярин  синтези  чох  ваъиб  мясялядир.  Бу  тяляби  импулс 

тянзимляйиъисинин кюмяйи иля асанлыгла йериня йетирмяк мцмкцн-

дцр.  Бу  зама  тянзимляйиъи  еля 

)

kT

(

u

, 



,

2

,

1

,

0

k



  дискрет  идаря 

тясирляри  щасил  едир  ки,  систем  истянилян  башланьыъ  вязиййятдян 

координат башланьыъына (таразлыг нюгтяси) н тактдан эеъ олмайараг 

эялсин. 

Мясяляйя  вязиййятляр  фязасында  йазылмыш  моделляр  ясасында 

бахаг. Фярз едяк ки, эиришя вя чыхыша нязярян бир юлчцлц хятти стаси-

онар обйектин дискрет тянлийи ашаьыдакы шякилдя верилмишдир: 

 

)

kT

(

u

)

kT

(

A

T

)]

1

k

[(

b

x

x







, 



,

2

,

1

,

0

k



 

(7.150)   

 

)

kT

(

du

)

kT

(

)

kT

(

y

т





x

c

, 

277 

 

 

0

)

0

(

x

x



 . 

Бурада 

т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x





x



  вячзиййят вектору; у  – скалйар идаря;  

y  –  фактики  чыхыш;  А  –  сабит  вя  йа  квантлама  аддымы  Т-дян  асылы 

олан 

n

n



  юлчцлц  матрис; 

т

0

)

b

,

,

0

( 



b

–  сабит  вя  йа  Т-дян  асылы 

олан вектор; 

)

с

,

,

с

,

с

(

с

n

2

1

т







 

n

 юлчцлц мцшащидя вектору; д  – 

сабит кямиййятдир. 

Яэяр (7.150) тянлийи фасилясиз диференсиал тянликдян тюрямяля-

рин  сонлу-фярг  ифадяляри  иля  апроксимасийасы  йолу  вя  йа  башга 

дискретляшдирмя  цсулу  иля  алынарса,  А  вя  b   квантлама  аддымы  Т-

дян асылы олур. 

Бахылан мясялядя идаря вязиййя нязярян якс ялагя шяклиндя 

верилир: 

   

)

kT

(

)

kT

(

u

т

x

k





 . 

(7.151) 

Бурада 

)

k

,

,

k

,

k

(

n

2

1





k



 тянзимляйиъинин 

0

)

kT

(



x

, 

n

k



 шяр-

тини юдяйян, йяни н такта (аддыма) сонлу кечид просесинин алынма-

сыны тямин етмяли олан ахтарылан эцъляндирмя ямсалыдыр. 

Ифадя  (7.151)-и  (7.150)  тянлийиндя  йериня  йазсаг,  гапалы  сис-

темин тянлийини алмыш оларыг: 

   

)

kT

(

)

A

(

T

)]

1

k

[(

т

x

bk

x







 

(7.152) 

Бурада  

 

 

т

A

D

bk





  

(7.153) 

гапалы системин 

n

n



 юлчцлц характеристик матриси;  

 

 

0

)

D

zI

det(





  

(7.154) 

ися  гапалы системин 

n

n



 юлчцлц  характеристик тянлийи  адланыр. Бу-

рада 

I



n

n



 юлчцлц ващид матрисдир. 

Кечид просесинин н такта сыфыра бярабяр олмасы цчцн Д матриси-

нин  щансы  шяртляря табе олмасыны айдынлашдыраг.  (7.152) тянлийинин 

0

x  башланьыъ шяртиндян асылы щяллини йазаг:  

278 

 

 

   

          

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

, 

 

n

k

    

          

          

, 

 

, 

 

 .

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

. 

 ,

 

 

0

k

     

          

          

, 

)

0

(

)

T

(

D

]

T

)

1

k

[(

1

)

0

(

)

T

(

D

)

kT

(

)

0

(

)

T

(

D

]

T

)

1

k

[(

)

0

(

)

T

(

D

)

T

1

(

)

T

(

D

)

T

2

(

)

0

(

)

T

(

D

)

T

1

(

1

k

k

1

k

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























 

(7.155)   

Айдындыр  ки,  яэяр  н-ъи  тактда 

)

nT

(

x

  векторунун  елементляри 

сыфыра  чеврилярся, 

0

0



x

  олдуьундан  характеристик  матрис  сыфыра 

бярабяр олмалыдыр: 

 

 

        

0



n

D

.  

(7.156) 

Бу шярт юдянилдикдя сонракы 



,

D

,

D

2

n

1

n





 матрисляри дя сыфыра 

бярабяр  олаъагдыр. 

0



n

D

, 

0





1

n

D

  шяртини  юдяйян  матрис 

нилпотент  матрис  адланыр.  Йада  салаг  ки,  матрисин  сыфыра  бярабяр 

олмасы онун бцтцн елементляринин сыфыра бярабяр олмасы демякдир. 

Эцъляндирмя ямсалы 

т

k

-ны тяйин едяк. Бу мягсядля билава-

ситя (7.156) шяртиндян истифадя етмяк мцмкцн дейил. 

n

n



 юлчцлц 

n

D  матрисинин щяр бир елементини сыфыра бярабяр етсяк, н сайда 

i

k  

ямсалларыны  тапмаг  цчцн 

2

n

сайда  шярт  алыныр  ки,  бу  щалда  да 

мясялянин щялли йохдур. Эцъляндирмя ямсалыны тяйин етмяк цчцн 

расионал цсцл мювъуддур. 

Системин (7.154) характеристик тянлийини ачсаг, йазмаг олар:  

 

0

z

z

z

)

D

zI

det(

n

1

n

1

n

1

n



























 . 

(7.157) 

Кели-Щамилтон теореминя ясасян Д квадратик матриси юзцнцн 

характеристик тянлийини юдяйир:  

 

        

0

I

D

D

D

n

1

n

1

n

1

n























 . 

 

Шярт (7.156)  

   

0

,

,

0

,

0

n

2

1













 

 

 



  

(7.158) 

279 

 

мцнасибятляри юдянилдикдя тямин олунур. 

i



 ямсалларынын тяркиби-

ня  тянзимляйиъинин 

i

k сазлама  параметрляри  дахил  олдуьундан 

(7.158) ахтарылан 

i

k параметрляриня нязярян ъябри тянликляр системи 

тяшкил  едир.  Сонлу  кечид  просесини  тямин  едян 

i

k параметрляри  бу 

тянликляр системинин щялли нятиъясиндя тапылыр. 

(7.158) шяртляри юдянилдикдя (7.154) характеристик тянлийи аша-

ьыдакы шякиля дцшцр:  

 

 

0

z

)

D

zI

det(

n







 . 

 

Беляликля,  системдя  сонлу  кечид  просесинин  тямин  олунмасы 

яламяти  гапалы  системин  характеристик  тянлийинин  координат  башлан-

ьыъында н сайда сыфыра бярабяр кюкцнцн вя йа системин тякрарланан 

н сайда 

0

z



 гцтбляринин мювъуд олмасыдыр. 

Беля системлярдя тянзимляйиъи обйекти истянилян 

0

)

0

(



x

 баш-

ланьыъ  вязиййятдян 

0

)

kT

(



x

  сон  вязиййятя  н  такта  (аддыма) 

эятирир. 

Сонлу кечид просесляринин тямин олунмасына бахмайараг беля 

системлярин  мцяййян  чатышмамазлыьы  да  мювъуддур.  Биринъиси, 

тянзимляйиъинин  сазлама  параметрляри  Т  квантлама  аддымындан 

асылы олдуьу цчцн онлары сярбяст дяйишиб системин динамик эюстяри-

ъилярини йахшылашдырмаг мцмкцн дейил. Йеэаня сазлама параметри 

олан Т-ни дяйишмякля ися системин йалныз ъялдишлямясиня (тянзим-

лямя вахты) тясир етмяк мцмкцндцр. Икинъиси, идаря тясиринин баш-

ланьыъ анлардакы гиймяти бюйцк алыныр ки, бу да практикада мювъуд 

олан мящдудиййятлярдян кянара чыха биляр. Цчцнъцсц, идаря тясири 

ишарясини н дяфя дяйишир ки, бу да бязи обйектляр цчцн йолверилмяз 

ола биляр.  

Яэяр 

0



n

D

  шярти  тяляб  олунмазса,  (7.157)  фактики  характе-

ристик тянлийинин 

i



 ямсалларыны еля сечмяк олар ки, системдя арзу 

олунан динамик эюстяриъиляр тямин олунсун. Бу мягсядля яввялъя 

тяляб олунан динамик  характеристикалары юдяйян еталон характерис-

тик тянлик сечилир. Мисал цчцн, Баттерворс вя йа Чебышев полиномла-

ры  шяклиндя.  Сонра  (7.157)  фактики  тянлийин  бу  тянлийя  бярабяр 

олмасы  цчцн  ейни  тяртибли  з-лярин  ямсаллары  бярабярляшдирилир.  Бу 

280 

 

йолла алынмыш ъябри тянликляр системини щялл едяряк тянзимляйиъинин  

i

k   сазлама  параметрляри  тапылыр.  Гейд  едяк  ки,  идаря  скалйар 

олдуьу  щалда  бу  тип  модал  идаряетмя  мясялясинин  йеэаня  щялли 

мювъуддур. 

Мисал 7.25. Фярз едяк ки, икигат интеграллайыъы обйектин дифе-

ренсиал тянлийи верилмишдир: 

   

bu

)

t

(

y







,   

0

y

)

0

(

y



,   

0

y

)

0

(

y







. 

Бу тянлийин 

y

1



x

, 

y

2





x

 вязиййятляр фязасында йазылышы: 

   

u

b

0

0

1

0

0

2

1

2

1





















































x

x

x

x

  





,  

   

1

y

x



, 

0

1

y

)

0

(



x

, 

0

2

y

)

0

(





x

. 

Дискрет  тянлийин  ямсалларыны  (7.49)  ифадясинин  кюмяйи  иля 

тапаг:  

   



























1

T

0

1

]

)

A

sI

[(

L

e

)

T

(

Ф

A

1

1

AT

  

,  

   







































 







T

T

5

.

0

b

d

b

0

1

0

1

)

T

(

h

2

T

0

  

b

. 

2

n



 олдуьундан 

)

k

,

k

(

2

1

т



k

. Характеристик матриси щесаб-

лайаг: 



















































2

2

2

1

1

2

2

1

2

bTk

1

k

bT

5

.

0

T

bTk

k

bT

5

.

0

1

)

k

,

k

(

T

T

5

.

0

b

1

T

0

1

)

T

(

D

  

  

 

Характеристик тянлик:  

  

. 

    

  

0

bTk

k

bT

5

.

0

1

z

)]

k

2

Tk

(

bT

5

.

0

2

[

z

bTk

1

z

k

bT

5

.

0

T

bTk

k

bT

5

.

0

1

z

det

D

z

0

0

z

det

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

2









































































 

281 

 

Бурада  

   

. 

, 

2

1

2

2

2

1

1

bTk

k

bT

5

.

0

1

)

k

2

Tk

(

bT

5

.

0

2



















 

Тянликляр системи (7.158): 

   

















. 

,

    

bT

/

2

k

2

Tk

bT

/

4

k

2

Tk

2

1

2

1

 

Бу тянликляр системини щялл едяряк тянзимляйиъинин эцъляндир-

мя ямсалларыны тапырыг: 

)

2

1

bT

/(

1

k



, 

)

bT

2

/(

3

k

2



. Фярз едяк ки, 

1

b



, 

s

1

T



. Онда 

1

k

1



, 

5

.

1

k

2



.  

Характеристик матрисин нилпотент матрис олмасыны йохлайаг:   

 

 

0

5

.

0

25

.

0

1

5

.

0

D

1





















  

, 

 

 

0

0

0

0

0

5

.

0

25

.

0

1

5

.

0

5

.

0

25

.

0

1

5

.

0

D

2



















































  

  

  

 . 

Шякил 7.53-дя обйектин 

т

)

1

1

(

)

0

(

   



x

 башланьыъ шярти цчцн  

 

)

k

(

u

5

.

0

)

k

(

)

k

(

)

1

k

(

2

1

1









x

x

x

,    



,

2

,

1

,

0

k



 

 

)

k

(

u

)

k

(

)

1

k

(

2

2







x

x

 , 

 

)

k

(

5

.

1

)

k

(

)

k

(

u

2

1

x

x







 , 

 

)

k

(

)

k

(

y

1

x



 

ифадяляринин кюмяйи иля щесабланмыш кечид просесляри эюстярилмиш-

дир. Бурада 

)

k

(

y

 (7.48) ифадясиня ясасян алынмыш фактики чыхышдыр.  

Дискрет  гиймятляр: 

1

)

0

(

1



x

, 

1

)

0

(

2



x

; 

5

.

2

)

0

(

u





; 

75

.

0

)

1

(

1



x

, 

5

.

1

)

1

(

2





x

; 

5

.

1

)

1

(

u



; 

0

)

2

(

)

2

(

1

1





x

x

, 

0

)

2

(

u



. 

282 

 

 

Шякил 7.53 

 

  Мисал 7.26. Бу мисалда 

bu

y







 тянлийинин сонлу-фярг апрок-

симасийасы  нятиъясиндя  алынмыш  вя  вязиййятляр  координатларында 

йазылмыш дискрет аналогуна бахаг. 

Икинъи тяртиб тюрямяни сол-фярг схеми иля явяз етсяк, аларыг: 

 

    

)

k

(

bu

T

)

2

k

(

y

)

1

k

(

y

2

)

k

(

y

2











 . 

Ямсаллар 

2

A

1





, 

1

A

2



, 

b

T

B

2

0



  олдуьу  цчцн  (7.42) 

тянлийи: 

 

)

k

(

)

1

k

(

2

1

x

x





,     

 

)

k

(

bu

T

)

k

(

2

)

k

(

)

1

k

(

2

2

1

2











x

x

x

 , 

(7.159) 

 

)

k

(

bu

T

)

k

(

2

)

k

(

)

k

(

y

2

2

1









x

x

 . 

Бурада 

   

















2

1

1

0

A

    

, 















b

T

0

2