Гязянфяр рцстямов автоматик

Мисал  8.5.  Коррелйасийа  функсийасынын  екстремал,  йяни  пикя 

малик  олма  вя  бу  пикин  ахынын  сцрятиндян  асылы  олараг  йерини 

дяйишмя  хассясиндян  истифадя  едеряк  коррелйасион  сярфюлчянляр 

иъад олунмушдур. Бору кямярляриндя, Л мясафясиндя йерляшдирил-

миш вериъилярин кюмяйи иля ейни заманда тясадцфи 

)

t

(

x

 сигналы юл-

чцлцр. Биринъи вериъидян чыхан сигнал лянэидиляряк 

)

t

(

x





 шяклиня 

эятирилир. 

)

t

(

x

 сигналы физики олараг ахынын тясадцфи дяйишян хасся-

ляриндян  вя  параметрляриндян  (сыхлыг,  температур,  тяркиб  вя  с.) 

бирини  характеризя  едир.  Яэяр  юлчцлян  мцщит  чох  биръинсдирся, 

тясадцфилийи  сцни  шякилдя  дя  йаратмаг  олар.  Мясялян,  истилик  сярф-

юлчянляриндя  вериъилярдян  яввял  ахында  йерляшдирилмиш  гыздырыъыны 

гидаландыран  ъяряйанын  гиймятини  тясадцфи  сигналлар  щасил  едян 

эенераторун кюмяйи иля дяйишмякля. 

)

t

(

x

  сигналы  икинъи  вериъийя  ахынын  сцрятиндян  асылы  олан 

a

t  

вахта  чатыр  вя  юзцнц 

)

t

t

(

x

a



  сигналы  шяклиндя  бирузя  верир. 

Демяли, 

)

t

(

x

  иля 

)

t

(

x





  сигналлары  арасында  ялагяни  эцъляндир-

мяк цчцн 

a

t





 олмалыдыр. Бу хцсусиййят шякил 8.26, а-да эюстя-

рилмишдир.  Эюрцндцйц  кими, 

a

1

t





  вя 

a

2

t





  заман  анларында 

юлчц апарыларса, ялагя зяифляйир. 

 

331 

 

 

 

 

        а)  

   б) 

Шякил 8.26

 

Яэяр  биринъи  вериъидян  чыхан  сигнал  мящз 

a

t





  мцддяти 

гядяр  лянэидился, 

)

(

R

x



  коррелйасийа  функсийасынын  пики 

a

t





 

нюгтясиня  дцшяр  (шякил  8.26,б).  Ъищаз  максимум  нюгтясинин 

координатыны фасилясиз олараг тяйин едяряк сярфи 





/

kSL

Q

 дцсту-

рунун  кюмяйи  иля  щесаблайыр.  Бурада  С  –  ахынын  ен  кясийи,  к  – 

сабит ямсалдыр. 

Ахынын  сцряти  (демяли,  сярфи)  дяйишдикдя 

a

t   дяйишир.  Яввял 

сечилмиш 



  лянэимя  вахты  артыг 

a

t -дан  фяргляндийиндян  даими 

(фасилясиз) щесабланан 

x

R  функсийасынын пики мцяййян щесаблама 

мцддятиндян сонра (кечид просеси) итмяйя  башлайыр. Системи фаси-

лясиз  олараг  максимум  нюгтясиндя  сахламаг  цчцн  сярфюлчянин 

тяркибиндя  олан  екстремал  тянзимляйиъидян  истифадя  олунур.  Бу 

тянзимляйиъи 



  параметрини  дяйишяряк 

x

R   функсийасыны  макси-

мум нюгтясиндя сахламаьа чалышыр. 

 

8.9. Стасионар тясадцфи просесин спектрал сыхлыьы 

 

Коррелйасийа функсийасы тясадцфи просесин заман ялагялилийини 

характеризя  ется  дя  сигналын  тезлик  мянасында  щармоник  тяркибини 

ачмаьа имкан вермир. Сигналын тяркибиндя щансы тезликли щармони-

каларын  цстцнлцк  тяшкил  едиб-етмямясини  билмяк  тянзимлямя  сис-

темлярини  тезлик  цсулларынын  кюмяйи  иля  тядгиг  етдикдя  чох  ваъиб 

мясяля кими ортайа чыхыр. Бу мягсядля тясадцфи сигналын эцъцнцн 

332 

 

тезлик щармоникалары цзря пайланмасыны характеризя едян спектрал 

сыхлыгдан  истифадя  олунур.  Бу  эюстяриъи  сигналын  тезлик  спектрини 

ачмаьа имкан верир. 

Тезлик спектри анлайышы щям детерминик, щям дя тясадцфи сиг-

наллар цчцн истифадя олунур. Спектрал тящлилин ясасыны  Фцрйе чевир-

мяси тяшкил едир. Детерминик щалда сигналын Фцрйе чевирмяси спек-

трал сыхлыг дейил, садяъя онун спектрал вя йа тезлик характеристикасы 

адланыр:  

 

   















dt

e

)

t

(

f

)

j

(

F

t

j

 

Бурада 

)

t

(

f



 ифадяси мялум олан детерминик сигналдыр. 

Тясадцфи  сигнал 

)

t

(

x

  щалында  тезлик  спектрини  характеризя 

етмяк цчцн 

)

(

S

x



 (вя йа 

)

j

(

S

x



) кими ишаря олунан спектрал сых-

лыгдан истифадя олунур: 

       

2

T

x

|

)

j

(

F

|

T

2

1

lim

)

(

S











 . 

Бурада 

)

(

S

x



 заман цзря орта гиймят,  

2

/

1

2

2

)]

(

Q

)

(

P

[

)

(

A

|

)

j

(

F

|















  ися  бу  щалда  тясадцфи 

)

t

(

x

 

сигналынын  Фцрйе  чевирмяси  олан 

)

j

(

F



  комплекс  кямиййятинин 

АТХ характеристикасыдыр. 

Тясадцфи сигналын 

)

(

R

x



 коррелйасийа функсийасы мялум олар-

са,  онун  Фцрйе  чевирмяси  спектрал  сыхлыьы  асанлыгла  тяйин  етмяйя 

имкан верир:  

       



















d

e

)

(

R

)

(

S

j

x

x

 . 

(8.27) 

Бурада 

)

(

R

x



 



 

)

t

(

x

  тясадцфи  сигналынын  автокоррелйасийа 

функсийасы; 



 



 тездик,  щс  (1/с).  (8.27)  Хинчин  –  Винер  дустуру 

адланыр. 

Айдындыр ки, спектрал сыхлыг коррелйасийа функсийасына нязярян 

333 

 

просес щаггында щяр щансы бир йени мялумат вермир. Лакин 

)

(

S

x



 

тезлик характеристикасы олдуьундан бу эюстяриъидян автоматик тян-

зимлямя системлярини тезлик цсулларынын кюмяйи иля тядгиг етдикдя 

эениш истифадя олунур. Гейд едяк ки, чохлуьа эюря спектрал сыхлыг 

да (8.27) шяклиндя тяйин олунур. 

Аналожи олараг, гаршылыглы спектрал сыхлыг:     

       



















d

e

)

(

R

)

(

S

j

xy

xy

 . 

 

Эюстярмяк олар ки,  

x

S  щягиги ъцт функсийадыр.      

 Ейлер  дцстуруна  ясасян 













sin

j

cos

e

j

  олдуьуну 

нязяря алсаг, (8.27) иадясини ашаьыдакы шякилдя йазмаг олар:  

 



































d

sin

)

(

R

j

d

cos

)

(

R

)

(

S

x

x

x

 . 

 

Икинъи  топлананда 





sin

)

(

R

x

  тяк  функсийа  олдуьундан 

интегралын гиймяти сыфыра бярабярдир. Онда  

 





























0

x

x

x

d

cos

)

(

R

2

d

cos

)

(

R

)

(

S

 . 

(8.28) 





cos

)

(

R

x

 ъцт функсийа олдуьундан 

x

S  дя ъцт функсийадыр, 

йяни  

)

(

S

)

(

S

x

x









. 

Гейд едяк ки, гаршылыглы спектрал  сыхлыг 

xy

S

 функсийа 

)

(

R

xy



 

тяк функсийа олдуьундан щягиги функсийа дейил. 

)

(

S

x



 мялум оларса, тярс Фцрйе чевирмясиндян истифадя едиб 

йазмаг олар:  

     



















d

e

)

(

S

2

1

)

(

R

j

x

x

 . 

(8.29) 

x

0

x

D

)

(

R









 олдуьундан  

334 

 

  

































0

x

0

x

2

x

x

x

d

)

(

S

1

d

e

)

(

S

2

1

D

)

0

(

R

. 

(8.30) 

Демяли,  стасионар  тясадцфи  просесин  дисперсийасы  спектрал 

сыхлыг яйриси иля мящдуд олан сащяйя мцтянасибдир. 

Тясадцфи  просес  аз  дяйишянли  олдугъа  коррелйасийа  функсийа-

сынын яйрилийи азалыр, йяни о дцз хяття йахынлашыр. Бу щалда сигналын 

эцъцнцн бюйцк щиссяси кичик тезликляря дцшдцйцндян 

)

(

S

x



 орди-

нат оху ятрафында даралараг амплитуду артыр. Дейилянляр шякил 8.27, 

а, б вя в-нин кюмяйи иля нцмайиш етдирилир. 

 

 

 а)                                         б)                           в) 

Шякил 8.27

 

 

Спектрал  сыхлыьы  иля  даща  яйани  таныш  олмаг  цчцн  бязи  типик 

тясадцфи просеслярин спектрал сыхлыгларыны тапаг. 

1. Сабит 

a

)

t

(

x



 сигналы. Ифадя (8.22)-йя ясасян коррелйасийа 

функсийасы:       

          

 

a

2













T

T

x

dt

a

a

T

2

1

)

(

R

. 

Ифадя (8.27)-йя ясасян  

     





































d

e

a

d

e

)

(

R

)

(

S

j

2

j

x

x

 . 

 

Бащид импулсун Фцрйе чевирмяси 

335 

 

     





















d

e

2

1

)

(

j

 . 

 

олдуьундан 

)

(

a

2

)

(

S

2

x











. Йяни спектрал сыхлыг сащяси 

2

a

2



 

олан ващид импулсдур. 

2. Периодик  функсийа 

)

t

sin(

a

)

t

(

x

0









.  Бурада 



  фазасы 

]

2

,

0

[



 интервалында бярабяр пайланмыш   

 

      





























.

  

яэяр  

         

, 

яэяр   

      

2

0

2

0

2

1

)

(

p

 

ганунуа табе олан тясадцфи функсийадыр. Уйьун коррелйасийа функ-

сийасы 

 

         









0

2

x

cos

2

a

)

(

R

. 

 Йеня ифадя (8.27)-йя ясасян  

 

 































d

e

2

1

)

(

)

(

j

0

0

 

олдуьундан 

     

)]

(

)

(

[

c

)

(

S

0

0

x























 , 

4

/

a

2

c

2





.   

3. Фярз едяк ки, тясадцфи сигналын коррелйасийа функсийасы    

 

   

|

|

x

x

e

D

)

(

R











 

ифадяси иля апроксимасийа олунмушдур. Бу щалда       

.

  

   

          

2

2

x

0

j

0

j

x

j

|

|

x

x

2

D

d

e

d

e

D

d

e

e

D

)

(

S





















































































  

4. Аь  кцй.  Бу  тип  тясадцфи  просес  цчцн  нязяри  ъящятъя  кор-

336 

 

релйасийа    вахты 

0





  олдуьундан  бу  просеси  бир-бириня  щядсиз 

йахын  олан  сых  сярбяст  импулслар  ардыъыллыьы  шяклиндя  тясяввцр 

етмяк  олар.  Бу  импулсларын  амплитудлары  истянилян  ганун  цзря 

пайлана биляр. Яэяр пайланма нормал (8.11) пайланма ганунуна 

табе оларса, онда бу просесин гиймятляри истянилян ики заман анлары 

цчцн няинки коррелйасийа олмайан, щям дя статик асылы олмур. Беля 

просес стасионар ергодик олуб тямиз вя йа мцтляг тясадцфи просес 

адланыр. 

Беля просесин коррелйасийа функсийасы 

0





 анында тясир едян 

сащяси Н-я бярабяр олан ващид импулс  

 

   

)

t

(

N

)

(

R

x











, 

0





 

спектрал сыхлыьы (8.27) ифадясиня ясасян 

N

)

(

S

x





 кямиййят, дис-

персийасы ися 







)

0

(

R

D

x

x

 бярабярдир. 

const

)

(

S

x





  олдуьундан  беля  сигналын  эцъц  бцтцн  спект 

(тезликляр) цзря бярабяр  пайланыр. Тезлик спектри  бцтцн  диапозону 

ящатя  етдийиндян  беля  кцйц  золаг  сцзэяъляринин  кюмяйи  иля 

сцзэяълямяк мцмкцн дейил. Эюрцндцйц кими, аь кцйцн статистик 

характеристикалары  чох  садя  функсийалардыр.  Бу  сябябдян  аналитик 

тядгигатларда  кцй  (янэял)  кими  аь  кцйдян  эениш  истифадя  олунур. 

Бу щалда интеграллары ачмаг мцмкцн олдуьундан чыхышын статистик 

характеристикалары цчцн конкрет ифадяляр алмаг мцмкцндцр.  

Уйьун функсийаларын графикляри шякил 8.28-дя эюстярилмишдир. 

 

337 

 

 

Шякил 8.28 

Б. ОБЙЕКТЛЯРИН ВЯ  СИСТЕМЛЯРИН СТАТИСТИК            

ТЯЩЛИЛИ 

 

8.10. Тясадцфи сигналларын хятти системлярдян кечмяси 

  

Ян  цмуми  щалда  статистик  тящлил  –  тясадцфи  сигналларын  конкрет  сис-

темлярдян вя обйектлярдян кечдикдя онлар тяряфиндян чеврилмя гануна-

уйьунлугларынын  юйрянилмяси вя тящлилиндян ибарятдир. 

Чевирмя дцстурларыны замана эюря системин мялум чяки функсийасы 

вя тезлик областында ютцрмя функсийасы ясасында алмаг олар. 

 

8.10.1. Заман областында статистик тящлил 

 

Стохастик идаряетмя системлярини тядгиг етдикдя бязи суаллара ъаваб 

338 

 

вермяк лазым эялир: 

а) гярарлашмыш  режимдя  тянзимлянян  кямиййятин  бурахыла  билян 

т

g

y







 диапазонундан чыхма ещтималы няйя бярабяр, 

т

 

 бурахыла 

билян тянзимлямя хятасыдыр; 

б) коррелйасийа нязяриййяси чярчивясиндя тянзимлянян кямиййят ин 

статистик характеристикалары динамик вя статик (гярарлашмыш) режимлярдя неъя 

дяйишир. Бу нязяриййядя чыхыш 

)

t

(

y

 тясадцфи кямиййятинин йалныз рийази 

эюзлямяси, дисперсийасы вя коррелйасийа функсийасы щесабланыр. 

Садялик  цчцн  йалныз  стасионар,  йяни  параметрляри  замандан  асылы 

дяйишмяйян тянзимлямя системляриня (обйектляриня) бахаъаьыг. 

Мясялянин гойулушу. Заман областында тящлил щалында фярз олунур: 

а) систем (обйект) чяки функсийасы 

)

t

(

k

 мялум олан стасионар дайа-

ныглы хятти системдир; 

б) системин эиришиня рийази эюзлямяси 

x

m  вя коррелйасийа функсийасы 

)

(

R

x



 мялум олан стасионар тясадцфи 

)

t

(

x

 сигналы дахил олур; 

в) бизи системин щям динамик, щям дя статик режими марагландырыр. 

Чыхыш  сигналынын 

y

m   рийази 

эюзлямясини, 

x

D дисперсийасыны вя  

)

(

R

y



  коррелйасийа  функсийасыны 

тапмаг тяляб олунур. 

Системин схеми шякил 8.29-да 

эюстярилмишдир. 

Мясялянин щялли. Щесабламалар 

)

t

(

k

 чяки функсийасы мялум олдуг-

да эириш вя чыхыш сигналларыны ялагяляндирян Дцамел интегралынын ясасында 

апарылыр: 

 

   













t

0

d

)

t

(

x

)

(

k

)

t

(

y

 . 

(8.31) 

Ифадя (8.31)-ин щяр тяряфиндян рийази эюзлямя алаг:  

 

 





























t

0

d

)

t

(

x

)

(

k

M

)]

t

(

y

[

M

 . 

 

      x(t) 

  

 

  Систем 

(oбйект) 

    к(t) 

Шякил 8.29

 

     y(t) 

   

 

339 

 































t

0

t

0

d

)

(

M

d

)

(

M

 олдуьундан йазмаг олар:  

 

   













t

0

x

y

d

)

t

(

m

)

(

k

)

t

(

m

.  

(8.32) 

Эириш 

сигналы 

стасионар 

тясадцфи 

просес 

олдуьундан 

const

m

)

t

(

m

x

x









  вя  тясадцфи  чыъыш  кямиййятинин  динамик 

(дяйишмя) режиминдя рийази эюзлямяси:  

 

       









t

0

x

y

d

)

(

k

m

)

t

(

m

 . 

(8.33) 

Гярарлашмыш режимдя 





t

 вя систем дайаныглы олдуьу цчцн 

 

       

const

h

d

)

(

k

t

0











 . 

 

Бу щалда (8.33) ифадяси ашаьыдакы шякиля дцшцр:  

 

       

const

hm

)

(

m

x

y







 . 

 

Системин (обйектин) 

)

s

(

W

 ютцрмя функсийасы верилярся, гярарлашмыш 

режимдя чыхышын рийази эюзлямясини беля щесабламаг олар:  

 

       

x

y

m

)

0

(

W

)

(

m





 . 

 

Инди  эириш  вя  чыхыш  сигналларынын  гярарлашмыш  режимдя  коррелйасийа 

функсийаларыны ялагяляндирян ифадяни тапаг. Мялум олдуьу кими, коррел-

йасийа функсийалары мяркязляшдирилмиш сигналлар цчцн йазылыр.  

Гярарлашмыш режимдя 





t

 олдуьундан (8.31) интегралыны мяркяз-

ляшдирилмиш дяйишянляр цчцн ашаьыдакы шякилдя йазмаг олар:  

 

   















0

o

o

d

)

t

(

x

)

(

k

)

t

(

y

 . 

(8.34) 

Бурада 

y

o

m

)

t

(

y

)

t

(

y





,

x

o

m

)

t

(

x

)

t

(

x







 сыфыра нязярян мяр-

кязляшдирилмиш тясадцфи просеслярдир. 

Ифадя (8.34)-ц  





t

 аны цчцн йазаг:  

340 

 

 

   























0

o

o

d

)

t

(

x

)

(

k

)

t

(

y

 . 

(8.35) 

Ифадя  (8.34)  вя  (8.35)-и  тяряф-тяряфя  вуруб  щяр  тяряфдян  рийази 

эюзлямя алаг:  

















































0 0

2

1

2

o

1

o

2

1

o

o

d

d

)

t

(

x

)

t

(

x

M

)

(

k

)

(

k

)

t

(

y

)

t

(

y

M

         

. 

Вурма  заманы  интеграллама  дяйишянляринин  гарышдырылмамасы  цчцн 

(8.34)-дя 

1







, (8.35)-дя ися 

2







 гябул олунмушдур.  

 

 

)

(

R

)

t

(

y

)

t

(

y

M

y

o

o

















 , 

 

 

)

(

R

)

t

(

x

)

t

(

x

M

2

1

x

2

o

1

o

































. 

олдуьундан йазмаг олар: 

 



























0 0

2

1

2

1

x

2

1

y

d

d

)

(

R

)

(

k

)

(

k

)

(

R

. 

(8.36) 

Аналожи олараг гаршылыглы коррелйасийа функсийасы цчцг алмаг олар: 

 

 

 

    

.

  

,

  

)

(

R

)

(

R

d

)

(

R

)

(

k

)

(

R

y x

xy

0

x

y x



























 

(8.37) 

Чыхыш сигналынын гярарлашмыш режимдя дисперсийасы  

 























0 0

2

1

2

1

x

2

1

y

y

d

d

)

(

R

)

(

k

)

(

k

)

0

(

R

D

. 

(8.38) 

Эюрцндцйц кими, чыхышын дисперсийасыны щесабламаг цчцн эириш сиг-

341 

 

налынын дисперсийасыны билмяк кифайят дейил, бунун цчцн 

)

(

R

x



 мялум 

олмалыдыр.