Гязянфяр рцстямов автоматик

Мисал  8.4.  Фярз  едяк  ки,  отагда  температурун  эцн  ярзиндя 

дяйишмясини  тядгиг  етмяк  лазымдыр.  Статистик  верилянляри  ялдя 

етмяк цчцн отагда олан термометрдян истифадя олунмушдур. Илкин 

верилянляр 

)

x

(

f

*

  вя 

)

x

(

p

*

  емпирик  пайланма  функсийаларыны  гур-

маг  цчцн 

C

2

x

o





  щалында  апарылмыш  щесабламаларын  нятиъяляри 

ъядвял 8.1-дя верилмишдир. Температурун гиймятляри артма истига-

мятиндя низамланмышдыр.  

 

                                                                      Ъядвял 8.1 

Щесабламаларын нятиъяляри, 

23

n



, 

C

2

x

o





 

              

j  

C

x

o

j

 

j

x  

j

m  

*

j

p  

j

x



 

j

h  

 

1 

16.8 

17.2 

18.9 

 

17.6 

 

3 

 

0.13 

 

2.1 

 

0.062 

 

 

 

2 

18.9 

19.1 

19.2 

19.5 

20.0 

20.3 

20.4 

20.7 

21.1 

 

 

 

19.6 

 

 

 

9 

 

 

 

0.39 

 

 

 

2.2 

 

 

 

0.177 

312 

 

 

 

3 

21.1 

21.2 

21.3 

22.1 

22.3 

23.5 

 

 

21.8 

 

 

6 

 

 

0.26 

 

 

2.4 

 

 

0.108 

 

 

4 

23.5 

23.6 

23.8 

24.0 

25.7 

 

 

24.0 

 

 

5 

 

 

0.22 

 

 

2.2 

 

 

0.100 

 

 

Шякил 8.16, а вя б-дя ъядвял 8.1-я ясасян гурулмуш 

)

x

(

f

*

 вя 

)

x

(

p

*

 яйриляри эюстярилмишдир. 

 

 

 

   Шякил 8.16 

а) 

б) 

313 

 

 

314 

 

8.5. Тясадцфи просесляр вя онларын ясас статистик 

характеристикалары 

 

Индийя гядяр биз тяърцбя заманы йалныз бир ядяди гиймят алан 

тясадцфи  кямиййятляри  юйрянирдик.  Йяни  тяърцбянин  нятиъяси  тяса-

дцфи кямиййятин гиймятиндян ибарят иди. Бир чох щалларда тяърцбя 

башлайандан  нятиъянин  алынмасына  гядяр  мцяййян  просес  кечир. 

Бу  просеся  баш  вердийи  заман  мцддятиндя  мцхтялиф  тясадцфи 

амилляр тясир етдийиндян о тясадцфи просес вя йа ъидди рийази анла-

йышда  тясадцфи  функсийа  адланыр.  Мясялян,  щядяфя  тушланмыш  эцл-

лянин  учуш  трайекторийасы,  броун  щярякятиндя  щиссяъийин  щярякят 

трайекторийасы, биринъи дяфя эетдийимиз йолун профили вя с. Тяърцбя 

заманы  тясадцфи  просесин  щансы  шякилдя  олаъаьыны  габагъадан 

сюйлямяк  мцмкцн  дейил.  Лакин  тясадцфи  функсийанын  мцхтялиф 

тяърцбялярдя  алындыьы  реализасийалар  чохлуьуна  ясасян  онун  табе 

олдуьу  ганунауйьунлуглары  юйрянмяк  мцмкцндцр.  Тясадцфи 

функсийаны ашкар шякилдя йазмаг мцяййян чятинлик тюрядир. Буна 

бахмайараг  щесабламаларда  тясадцфи  просеслярин  Ито  вя  Страта-

нович  шяклиндя  верилмиш  моделляриндян  эениш  истифадя  олунур. 

Тясадцфи функсийанын аргументи заман оларса, о стохастик функсийа 

вя йа автоматик идаряетмя нязяриййясиндя стохастик просес адла-

ныр. 

Тясадцфи  кямиййятин  бир  гиймяти  ясасында  бу  кямиййятин 

ганунауйьунлугларыны  (статистик  характеристикаларыны)  ашкар  етмяк 

мцмкцн  олмадыьы  кими,  тясадцфи  просесин  дя  бир  реализасийасы 

ясасында  онун  ганунауйьунлугларыны  мцяййян  етмяк  мцмкцн 

дейил. Тясадцфи просес щаггында мцщакимя йцрцтмяк цчцн онун 

тяърцбядян  алынмыш  кифайят  сайда  реализасийалары  мялум  олмалы-

дыр.  Беля  реализасийалар  шякил  8.17-дя  эюстярилмишдир.  Фярз  олунур 

ки, бцтцн реализасийалар ейни шяраитдя алынмышдыр. Мясялян, бир эцн 

ярзиндя алты ядяд ейни собаларда гыздырылан мящсулун температуру-

нун  дяйишмяси.  Беля  реализасийалар  ансамбла  (чохлуьа)  эюря 

реализасийа адланыр. 

Щяр бир реализасийа юзц тясадцфи функсийа олдуьундан статистик 

цсуллар айрыъа эютцрцлмцш реализасийаны дейил, бунларын тяшкил етдийи 

чохлуьун ганунауйьунлуьуну юйрянир.  

315 

 

 

Шякил 8.17 

 

Бундан  башга,  еля  садя  тясадцфи  просесляр  мювъуддур  ки, 

онларын  чохлуьа  эюря  реализасийалар  топлусуну  бир  узун  мцддятли 

реализасийа иля явяз етмяк мцмкцндцр. Беля реализасийа  замана 

эюря  реализасийа  адланыр.  Бу  хцсусиййятя  малик  олан  просесляр  

ергодик  тясадцфи  просесляр  адланыр.  Замана  эюря  реализасийаны 

ялдя  етмяк  даща  асан  олдуьундан  просес  ергодик  олдугда  авто-

матик тянзимлямядя мящз беля реализасийадан истифадя едирляр. 

Даща цмуми тясадцфи просес щалында статистик характеристикалар 

тясадцфи  просесин  чохлуьа  эюря  реализасийалар  топлусу  ясасында 

тяйин едилир. 

Шякил  8.17-дя  заман  цзря 

)

t

,

,

t

,

t

(

n

2

1



  кясикляриня  бахаг. 

Шякилдян эюрцндцйц кими, щяр бир 

k

t , 

n

,

,

2

,

1

k





 кясийиня мцх-

тялиф  реализасийаларын  бу  андакы  гиймятляр  чохлуьу  уйьун  эялир. 

Щяр бир 

k

t   кясийинин  гиймятляр  чохлуьу 

)

x

,

,

x

,

x

(

)

t

(

x

kn

2

k

1

k

k





 

иля  ишаря  олунур  вя 

k

x   тясадцфи  кямиййяти  кими  гялямя  верилир. 

Шякилдян  эюрцндцйц  кими,  цмуми  щалда  щяр  бир 

k

x   тясадцфи 

кямиййятинин  бир-бириндян  фярглянян  пайланма  ганунлары  да  ола 

биляр. Бу заман ф пайланма функсийасы  вя п ещтималын пайланма 

сыхлыьы  вя  диэяр  статистик  характеристикалар  замандан  асылы 

олаъагдыр. 

Рийази 

)

t

(

m

x

  эюзлямясинин  заман  цзря  дяйишмяси  шякил 

8.17-дян  эюрцнцр.  Шякил  8.18-дя  шякил  8.17-дя  эюстярилян 

316 

 

характерли  реализасийалар  цчцн  дисперсийанын  дяйишмя  графики 

эюстярилмишдир. 

Тясадцфи просеси дя характери-

зя  етмяк  цчцн 

)

t

,

x

(

f

  пайланма 

функсийасындан вя 

)

t

,

x

(

p

 ещтима-

лын  пайланма  сыхлыьындан  истифадя 

олунур.   

1. н тяртибли  (юлчцлц)  пайлан-

ма  функсийасы.  Ян  цмуми  гану-

науйьунлуьа  табе  олан  тясадцфи 

)

t

(

X

  просесини  тамхарактеризя  ет-

мяк цчцн н тяртибли  

   

)

t

,

,

t

,

,

t

,

x

,

,

x

,

,

x

(

f

)

t

,

x

;

;

t

,

x

;

;

t

,

x

(

f

n

k

1

n

k

1

n

n

n

k

k

1

1

n















   

пайланма функсийасындан (вя йа ещтималын пайланма сыхлыьындан) 

истифадя  олунур.  Шякил  7.17-дян  эюрцндцйц  кими,  мцхтялиф 

)

t

,

,

t

,

,

t

,

t

(

n

k

2

1





  заман  анларында  мцшащидя  олунан 

1

1

x

)

t

(

x



, 

2

2

x

)

t

(

x



,



,

k

k

x

)

t

(

x



,



,

n

n

x

)

t

(

x



  тясадцфи  кямиййятляри 

цмуми  щалда  мцхтялиф  бирюлчцлц 

)

t

,

x

(

f

1

1

1

,

)

t

,

x

(

f

2

2

2

,, 

)

t

,

x

(

f

k

k

k

,



,

)

t

,

x

(

f

n

n

n

 пайланма функсийаларына малик ола биляр-

ляр. Цмуми щалда, 

k

t  кясикляриня уйьун олан 

k

x  тясадцфи кямий-

йятляри арасында статистик (ещтимал) ялагяляри олдуьундан бирюлчцлц 

пайланма функсийаларындан айры-айрылыгда истифадя етмяк олмаз. 

Пайланма  сыхлыьынын  тяртиби  н,  йяни  кясиклярин  сайы  бюйцк 

олдугъа  тясадцфи  просесин  статистик  хцсусиййятлярини  даща  дольун 

(адеват)  йазмаг  олар.  Яэяр  н  лцзумсуз  бюйцк  эютцрцлцбся, 

алынмыш  йцксяк  тяртибли  пайланма  функсийасындан 

,

,

1

n





ики  вя 

бир юлчцлц пайланма функсийаларына кечмяк олар. 

Чохюлчцлц  пайланма  функсийалары  щяддян  артыг 



аьыр



  олду-

ьундан  практики  тятбиглярдя  чалышырлар  ки,  тясадцфи  просеси  даща 

ашаьы  тяртибли  функсийалар  иля  йазсынлар.  Автоматик  идаряетмядя 

раст эялинян тясадцфи просеслярин чоху статистик характеристикаларыны 

бир вя ики тяртибли функсийалар иля адекват йазмаьа имкан верирляр. 

 

Шякил 8.18

 

 

317 

 

2. Бир  тяртибли  пайланма  функсийасы.  Бу  щалда  истянилян 

k

k

x

)

t

(

x



  тясадцфи  кямиййятиня  уйьун  эялян 

)

t

,

x

(

f

1

  бцтцн 

просеси характеризя едя билир: 

  

   

}

x

)

t

(

X

{

P

)

t

,

x

(

f

1





 .             

Бурада х тясадцфи 

)

t

(

X

 просесинин ала биляъяйи истянилян кон-

крет  гиймятдир.  Яввялдя  олдуьу  кими,  бурада  да 

}

{

P



  символу 

)

t

(

X

 просесинин бцтцн ъари гиймятляринин онун верилмиш х гиймя-

тиндян кичик ола билмяси ещтималыны эюстярир. 

Уйьун олараг бир тяртибли ещтималын пайланма сыхлыьы цчцн: 

 

   

}

dx

x

)

t

(

X

x

{

P

)

t

,

x

(

p

1









. 

3. Ики  тяртибли  пайланма  функсийасы.  Бу  щалда  истянилян 

]

T

,

0

[

t

,

t

2

1



  кясикляриня  уйьун  эялян 

1

1

x

)

t

(

x



  вя

2

2

x

)

t

(

x



 

тясадцфи  кямиййятинин 

)

t

,

x

;

t

,

x

(

f

2

2

1

1

2

  вя  йа 

)

t

,

x

;

t

,

x

(

p

2

2

1

1

2

 

функсийалары  бцтцн  тясадцфи 

)

t

(

X

  просесини  адекват  йазмаьа 

имкан верир. 

)

t

(

X

 функсийасынын гиймятинин 

1

t

t



 анында 

i

1

x -дян 

вя 

2

t

t



 анында 

j

2

x

-дан кичик олмасы ещтималы: 

           

}

x

)

t

(

X

;

x

)

t

(

X

{

P

)

t

,

x

;

t

,

x

(

f

j

2

2

i

1

1

2

2

1

1

2







 . 

Просес 

t

-дян  асылы  олмазса, 

)

x

,

x

(

f

2

1

2

  икитяртибли  пайланма 

функсийасы алыныныр, йяни ф икидяйишянли функсийа олур. 

Бир  мисала  бахаг.  Тясадцфи  просеслярин  ян  лайигли  нцмайян-

дяси  (халис  тясадцфи  просес)  аь  кцй  цчцн 

n

2

1

t

,

,

t

,

t



  кясикляри 

арасында статистик ялагяляр мювъуд олмадыьындан 

)

t

,

x

(

1

1

,

)

t

,

x

(

2

2

, 



,

)

t

,

x

(

n

n

  гиймятляринин  баш  вермяси  мцстягил  тясадцфи  щадися-

дир.  Бу  сябябдян,  беля  тясадцфи  просес  замандан  асылы  олмайан 

)

x

(

f

 вя йа 

)

x

(

p

 иля там характеризя олунур. 

4. Орталашдырма  цсуллары.  Реализасийанын  типиндян  асылы  ола-

раг  автоматик  идаряетмядя  ики  орталашдырма  анлайышындан  истифадя 

олунур.  Биринъиси  –  чохлуьа  эюря  орта  гиймят,  икинъиси  –  замана 

эюря орта гиймятдир. Щяр ики щалда няйин орталашдырылмасындан асылы 

олмайараг бу ямялиййат 

]

[

M



 рийази эюзлямянин символу иля ишаря 

318 

 

олунур. Бязи щалларда орталашдырма цсулларыны фяргляндирмяк цчцн 

x

x

m

,

m

~

 вя йа 

x

x

D

,

D

~

 ишаряляриндян истифадя едирляр. Вя йа коррел-

йасийа функсийалары цчцн К, Р символларыны фяргляндирирляр. 

 

8.6. Ансамбла (чохлуьа) эюря орталашдырылмыш статистик 

характеристикалар 

 

Автоматик тянзимлямядя адятян бурадакы тясадцфи просесля-

рин  хцсусиййятлярини  адекват  йазмаьа  кифайят  едян  бир  вя  ики-

тяртибли  моментлярдян  истифадя  едирляр.  Бу  мягсядля  просесин 

биртяртибли 

)

t

,

x

(

p

1

 вя икитяртибли 

)

t

,

x

;

t

,

x

(

p

2

2

1

1

2

 ещтималларын пай-

ланма сыхлыьы функсийасынын мялум олмасы кифайят едир. 

Биртяртибли моментлярдян рийази эюзлямяни вя дисерсийаны, ики-

тяртибли  моментлярдян  ися  коррелйасийа  функсийасыны  эюстярмяк 

олар. 

Тясадцфи  просесляри  бир  вя  икитяртибли  моментляр  ясасында 

юйрянян нязяриййя коррелйасийа нязяриййяси адланыр. 

1. Рийази эюзлямя: 

 

   













dx

)

t

,

x

(

xp

)]

t

(

X

[

M

)

t

(

m

~

1

x

. 

(8.18) 

2. Дисперсийа: 

 

   



)

t

(

D

~

x













dx

)

t

,

x

(

p

)]

t

(

m

~

x

[

]

 

X

[

M

1

2

x

2

  

o

 

. 

(8.19) 

Бурада 

)

t

(

m

~

)

t

(

X

)

t

(

x





  

o

  

X

 



 сыфыра нязярян мяркязляшдирил-

миш тясадцфи просес адланыр.  

Тясадцфи  

)

t

(

X

 просесинин рийази эюзлямяси онун бцтцн 

)

t

(

X

i

 

реализасийаларынын  ятрафында  ъямляшдийи  вя  рягс  етдийи  тясадцфи 

олмайан  (мцнтязям) 

)

t

(

m

~

x

  заман  функсийасыдыр.  Щяр  бир 

k

t  

кясийиндя рийази эюзлямянин 

)

t

(

m

~

k

x

 гиймяти  

k

k

x

)

t

(

x



 тясадцфи 

кямиййятинин  рийази  эюзлямясиндян  ибарятдир  (бах,  шякил  8.17  вя 

(8.5)): 

319 

 

 

 

const

dx

)

t

,

x

(

xp

)

t

(

m

~

k

1

k

x











. 

Дисперсийа, 

)

t

(

X

 тясадцфи функсийасынын гиймятляринин 

)

t

(

m

~

x

 

рийази  эюзлямя  ятраында  сяпялянмя  дяряъясини  характеризя  едир. 

Щяр бир 

k

t   кясийиндя  дисперсийанын   

)

t

(

D

~

k

x

 гиймяти  

k

k

x

)

t

(

x



 

тясадцфи кямиййятинин дисперсийасыдыр (бах, шякил 8.18, 8.19). 

Автоматик  тянзимлямядя  тясадцфи  сигналын  параметрляриндян 

бири кими орта квадратик мейлетмядян дя эениш истифадя олунур:  

 

   

)

t

(

D

)

t

(

x

x





 . 

Рийази эюзлямя вя дисперсийа тясадцфи просесин  ваъиб харак-

теристикалары олса да, онлар тясадцфи просесин 

k

t  кясикляри арасында-

кы гиймятляринин статистик (ещтимал) ялагяляринин дяряъясини харак-

теризя едя билмир. Бу хцсусиййят шякил 8.19, а вя б-дя эюстярилян 

ики мцхтялиф характерли тясадцфи просесин реализасийаларындан айдын 

эюрцнцр.      

 

 

                             а)                                    б) 

Шякил 8.19 

 

Щяр ики реализасийанын рийази эюзлямясинин вя дисперсийасынын 

ейни олмасына бахмайараг динамик (замана эюря дяйишмя харак-

тери) хцсусиййятляри ящямиййятли дяряъядя фярглянир. 

Шякил 8.19, а-да эюстярилян просес бир кясикдян диэяриня кеч-

дикдя чох дяйишкян,  шякил 8.19, б-дя эюстярилян ися ряван дяйишир. 

Бу сябябдян биринъи щалда кясикляр арасында статистик ялагя икинъи 

320 

 

щала нисбятян даща зяифдир. Айдындыр ки, бу хцсусиййяти ня рийази 

эюзлямя,  ня  дя  дисперсийаларын  кюмяйи  иля 



тутмаг



  мцмкцн 

дейил. 

Тясадцфи просесин истянилян ики 

1

t  вя 

2

t  кясийи арасындакы ста-

тистик ялагянин дяряъясини (эцъцнц) характеризя етмяк цчцн бирюл-

чцлц коррелйасийа функсийасындан истифадя едирляр.  

Бу  эюстяриъини  щесабламаг  цчцн  биртяртибли  пайланма  сыхлыьы 

)

t

,

x

(

p

1

 кифайят етмядийиндян икитяртибли 

)

t

,

t

;

x

,

x

(

p

2

1

2

1

2

 функсийа-

сындан истифадя олунур. Коррелйасийа функсийасы да дисперсийа кими 

адятян мяркязляшдирилмиш тясадцфи просесляр цчцн тяйин олунур. 

3. Коррелйасийа функсийасы: 

   

.

  

    

2

1

2

1

2

1

2

2

x

2

1

x

1

2

o

1

o

2

1

x

dx

dx

)

t

,

t

;

x

,

x

(

p

)]

t

(

m

~

x

[

)]

t

(

m

~

x

[

)]

t

(

X

)

t

(

X

[

M

)

t

,

t

(

K

 



















 

 Бурада 

2

1

t

,

t

  гейд  олунмуш  заман  анлары  олмайыб,  фасилясиз 

(кясилмяз) дяйишянлярдир. 

x

K



 автокоррелйасийа вя йа ковариаси-

йа адланыр. 

Шякил 8.20-дя 

)

t

,

t

(

K

2

1

x

 функсийасынын графики эюстярилмишдир. 

t

t

t

2

1





 щалында 

)

t

(

D

~

)

t

,

t

(

K

x

2

1

x



. 

Автоматик  тянзимлямядя  дягиглийи  характеризя  етмяк  цчцн 

мяркязляшдирилмиш  коррелйасийа  функсийасындан  истифадя  олунур. 

Бундан  башга,  ики  тясадцфи  сигнал  арасындакы  статистик  ялагяни 

характеризя  етмяк  цчцн  гаршылыглы  коррелйасийа  функсийасындан 

истифадя олунур:  

.

  

    

2

1

2

1

2

1

2

2

y

2

1

x

1

2

o

1

o

2

1

xy

dy

dx

)

t

,

t

;

y

,

x

(

p

)]

t

(

m

~

y

[

)]

t

(

m

~

x

[

)]

t

(

Y

)

t

(

X

[

M

)

t

,

t

(

K

 



















 

Бурада 

)

t

,

t

;

y

,

x

(

p

2

1

2

1

2

 



 

гаршылыглы 

ещтимал 

сыхлыьы, 

321 

 

)

t

,

t

(

K

)

t

,

t

(

K

1

2

y x

2

1

xy



 . 

Эюрцндцйц  кими,  йухарыда  бахылан  статистик  характеристикалар 

рийази  эюздлямя  алмаг  ямялиййаты  иля  баьлыдыр.  Бу  ямялиййат 

орталашдырма  ямялиййаты  олдуьундан  бахылан  характеристикалары 

орталашдырылмыш характеристикалар адландырмаг олар.    

 

 

Шякил 8.20 

 

Гейд едяк ки, китабда ансамбла вя замана эюря тяйин олун-

муш  коррелйасийа  функсийалары  уйьун  олараг  К  вя  Р  щярфляри  иля 

ишаря олунмушдур. 

Бурада бахылан тясадцфи просеслярин статистик характеристикалары 

замана  эюря  дяйишдийиндян  гейри-стасионар  тясадцфи  просесляря 

аид олуб даща цмуми щалы ящатя едир.   

Стасионар  тясадцфи  просесин  статистик  характеристикалары  бцтцн 



,

t

,

t

2

1

 анлары цчцн ейнидир. Бу щалда  

 

   

.

t

t

,

)

(

K

)

t

,

t

(

K

)

t

,

t

(

K

,

const

D

)

t

(

D

~

,

const

)

t

(

m

~

1

2

x

1

2

x

2

1

x

x

x

x



















 

Онда  стасионар  тясадцфи  просесляр  цчцн  коррелйасийа  функси-

йасы: 

322 

 

.

  

   

          

2

1

2

1

2

x

2

x

1

o

o

x

x

dx

dx

)

,

x

,

x

(

p

]

m

x

[

]

m

x

[

)]

t

(

X

)

t

(

X

[

M

)

t

,

t

(

K

)

(

K

























 







