Гязянфяр рцстямов автоматик

Мисал  8.9. Садялик  цчцн  мисал  8.8-дя 

0

)

t

(

g



  гябул  едяк. 

Ачыг  системин  K   эцъляндирмя  ямсалынын  гярарлашмыш  режимдя 

хятанын  дисперсийасынын 

)

(

D





  минимал  гиймятини  тямин  едян 

гиймятини тапмаг тяляб олунур. Бу щалда оптималлашдырма критериси 

       

 























D

)

(

)

(

)

(

D

2

2

. 

Тапшырыг сигналына кцй тясир етмядийиндян  

K

S

2

1

D

0





. Бу щалда 

дисперсийа  

 

   

K

S

2

1

K

b

)

(

)

(

D

0

2

2

2

















 . 

Шякил  8.37-дя 

1

b



, 

01

.

0

S

0



  гиймятляриндя  дисперсийанын 

айры-айры топлананларынын дяйишмя графикляри эюстярилмишдир. 

 

 

Шякил 8.37 

 

Шякилдян  эюрцндцйц  кими,  дисперсийанын  биринъи  топлананы  К 

артдыгъа  щиперболик  ганун  цзря  азалыр,  икинъи  топлананы  ися  хятти 

ганунла артыр. Ямсалынын оптимал гиймятини бу яйрилярин ординатла-

362 

 

рыны  тапмайыб  ян  кичик  гиймятя  уйьун  эялян  К-ны  эютцрмяк  иля 

графики йолла тапмаг олар. Лакин критери чох садя олдуьундан опти-

маллыьын (8.70) зярури шяртиндян дя истифадя етмяк мцмкцндцр:  

 

   

0

S

2

1

K

b

2

dK

)

(

D

d

dK

)

(

J

d

0

3

2



















. 

Бу тянликдян тапырыг:  

 

   

3

0

2

opt

S

/

b

4

K



. 

1

b



, 

01

.

0

S

0



  гиймятляриндя 

s

/

1

38

.

7

K

opt



.  Бу  гиймятя 

уйьун дисперсийа: 

 

 

055

.

0

2

/

01

.

0

38

.

7

)

38

.

7

/

1

(

)

(

D

2













 . 

 Гярарлашмыш режибдя орта квадратик мейлетмя: 

 

 

234

.

0

055

.

0

)

(

D

)

(

















 . 

 

8.13. Стохастик оптимал идарянин вязиййятляр фязасында синтези  

  

Бурада  системин  вязиййятляр  фязасында  йазылмыш  моделиндян 

истифадя олунур. Фясил 9-да оптимал идарянин детерминик щалда тяйин 

олунма  цсуллары  шярщ  олунмушдур.  Лакин  реал  шяраитдя  обйектин 

вязиййят  дяйишянляриня  дахили  кцйляр,  юлчцлян  чыхыш  кямиййятиня 

ися  юлчмя  хяталары  тясир  едир.  Бундыан  башга,  обйектин  башланьыъ 

0

x   вязиййяти  дя  тясадцфи  кямиййят  шяклиндя  верилир.  Айдындыр  ки, 

стохастик  идаряетмя  мясялясини  щялл  едя  билмяк  цчцн  кцйлярин 

статистик характеристикалары (мясялян, рийази эюзлямя, коррелйасийа 

функсийасы)  мялум  олмалыдыр.  Оптималлашдырма  критерисиня  кцйцн 

тясири  нятиъясиндя  тясадцфи  просес  олан 

)

t

(

x

  вязиййят  дяйишяни 

дахил  олдуьундан,  о  да  тясадцфи  кямиййят  олаъагдыр.  Тясадцфи 

кямиййятин  ъари  заман  анында  гиймяти  мялум  олмадыьындан 

стохастик идаряетмя мясялясиндя критеринин гиймятини дейил, рийази 

эюзлямясини минималлашдырырлар. Системя даим кцйляр тясир етдийин-

дян  чыхыш  дяйишянини  нязарятдя  сахламаг  лазымдыр.  Бу  сябябдян 

363 

 

стохастик системляр якс ялагя принсипи цзря гурулмалы, йяни гапалы 

систем олмалыдырлар. 

Аналитик  щялл  ала  билмяк  цчцн  детерминик  вариантда  олдуьу 

кими,  бурада  да  хятти-квадратик  мясяляйя  бахаъаьыг.  Идаряйя 

мящдудиййят гойулмур. 

Мясялянин гойулушу: 

)

t

(

u

т

t

0

т

т

т

т

т

т

min

dt

)

R

)

t

(

Q

)

t

(

(

2

1

)

t

(

N

)

t

(

2

1

M

J

т



























u

u

x

x

x

x

,  

)

t

(

B

)

t

(

A

)

t

(

ξ

u

x

x









,  

(8.72а) 

)

t

(

)

t

(

C

)

t

(

η

x

y





 . 

Башланьыъ шярт 

0

)

0

(

x

x



 



 тясадцфи кямиййятдир. 

Бурада М – рийази эюзлямя символу; 

x

 



 н-юлчцлц вязиййят 

вектору;  u



  м-юлчцлц  идаря  вектору;  y  



 



-юлчцлц  мцшащидя 

олунан  чыхыш  вектору; 

C



  мялум

n





-юлчцлц  мцшащидя  матриси; 

т

t



 мялум тянзимлямя вахты; 

)

t

(

ξ

,

)

t

(

η

 



 системя вя юлчмяляря 

тясир  едян  нормал  пайланма  ганунуна  (Гаус  пайланмасы)  табе 

олан  н  вя 



-юлчцлц  аь  кцй  типли  тясадцфи  просеслярдир.  Бу  кцйляр 

мяркязляшмиш олдуьундан системдя мцнтязям (мяъбури) щярякят 

мейдана чыхармырлар.  

Фярз  олунур  ки,  кцйлярин  рийази  эюзлямяси  вя  коррелйасийа 

функсийалары мялумдур: 

 

0

)]

t

(

[

M



ξ

 ,    

)

t

(

)

t

(

Q

)]

t

(

)

t

(

[

M

)

,

t

(

R

т





















,     

 

0

)]

t

(

[

M



η

 ,    

)

t

(

)

t

(

R

)]

t

(

)

t

(

[

M

)

,

t

(

R

т





















,     

 

0

x

0

m

]

[

M



x

 ,  

0

т

x

0

x

0

P

]

)

m

)(

m

[(

M

0

0







x

x

,     

Бурада 

)

,

t

(

R



 матрисляри 





t

 анында тясир едян 



Q

 вя 



R

 

интенсивликли  (сащяли)  ващид  импулслардан  ибарят  олан  коррелйасийа 

(бязи  щалларда,  просес  мяркязляшмиш  олдуьундан 



  ковариасийа 

матриси адланыр) матриси; 

0

P



 башланьыъ шяртин дисперсийа матрисидир. 

364 

 

Гейд едяк ки,  



,



,

0

x



 вектор кямиййятляри олдуьундан 



Q

,



R

, 

0

P  матрислярдир. 

Бундан башга, фярз олунур ки, кцйляр арасында вя онлар иля 

0

x  

арасында коррелйасийа мювъуд дейил. Йяни уйьун гаршылыглы коррел-

йасийа матрисляри сыфыра бярабярдир. 

Критери  (8.72а)-нын  рийази  эюзлямянин  минимум  гиймятини 

тямин  едян  вязиййятя  эюря  якс  ялагяли 

)

(x

u

  идаря  ганунунун 

тапылмасы  тяляб  олунур.  Беля  идаряни  реаллашдыра  билмяк  цчцн 

x

 

мялум олмалыдыр.  

Бу мясяля информативлик бахымындан ики мясяляйя айрылыр: 

а) вязиййят щаггында там мялумат олан щал;   

б) вязиййят щаггында там мялумат олмайан щал. 

Биринъи щалда фярз олунур ки, вязиййят векторунун бцтцн 

)

t

(

i

x

, 

n

,

,

2

,

1

i





  компонентляри билаваситя хятасыз юлчцлцр. Бу щалда 

оптимал  идаря  чох  гярибя  дя  олса  фясил  9-да  бахылмыш  детерминик 

мясялядян алынмыш щялл иля ейнидир: 

 

 

)

t

(

)

t

(

K

x

u





 

   Критери  (8.72а)-нын  минимал  гиймятини  тямин  едян  эцълян-

дирмя матриси: 

 

   

)

t

(

P

B

R

)

t

(

K

т

1





 

 

Бурада 

)

t

(

P

 ашаьыдакы Риккати тянлийинин щяллиндян тапылыр: 

 

 

Q

)

t

(

P

B

BR

)

t

(

P

)

t

(

P

A

A

)

t

(

P

)

t

(

P

т

1

т















. 

Сярщяд шярти саь уъда верилир: 

 

       

 

N

)

t

(

P

т



 . 

Эюрцндцйц кими, бу тянлийя кцйлярин статистик матрисляри дахил 

дейил. 

Критеринин тяркибиндя терминал щядд йохдурса,    

                            

0

)

t

(

P

0

N

т







. 

Лакин  бу  щалда,  кцйляр  мювъуд  олдуьундан  критеринин  мини-

365 

 

мал гиймяти детерминик мясяляйя нязярян артыр. 

366 

 

8.13.1. Вязиййят щаггында там мялумат олмадыгда 

стохастик оптимал идарянин синтези 

 

Бу щалда мясяля ики щиссяйя парчаланыр: 

а) чыхыш 

)

t

(

y

  вя  эириш 

)

t

(

u

  мцшащидяляриня  ясасян  намялум 

)

t

(

x

  вязиййят  векторунун  гиймятляндирилмяси.  Гиймятляндирилян 

)

t

(

x

 вектору 

)

t

(

ˆx

 кими ишаря олунур. 

б) гиймятляндирилмиш 

)

t

(

ˆx

  истифадя  едиб 

)

ˆ

(x

u

  вязиййятя 

нязярян якс ялагяли 

x

u

ˆ

K





 идарясинин реализасийасы. 

Бу йанашма айрылма принсипи адланыр. 

Гиймятляндирмя Калман-Бйцси алгоритми ясасында апарылдыг-

да 

 

min

)]

t

(

)

t

(

[

M

D

т

e





e

e

 

тямин едян 

)

t

(

ˆx

 вектору ашаьыдакы диференсиал тянлийин  

 

)

t

(

)

t

(

K

)

t

(

ˆ

)]

t

(

K

)

t

(

BK

A

[

)]

t

(

ˆ

C

)

t

(

)[

t

(

K

B

)

t

(

ˆ

A

)

t

(

ˆ

x

x

x

y

x

x

y

u

x

x



















       



 

щялли нятиъясиндя тяйин олунур. Башланьыъ шярт 

0

x

0

m

)

t

(

ˆ



x

.  

Бурада 

)

t

(

ˆ

)

t

(

)

t

(

x

x

e





  гиймятляндирмя  хятасыдыр.  Калман 

матриси: 

 

 

1

т

x

x

R

C

)

t

(

P

)

t

(

K







 

(8.72б) 

Ифадя  (8.72б)-йя  дахил  олан 

)

t

(

P

x

  матриси  ашаьыдакы  Риккати 

типли гейри-хятти матрис диференсиал тянлийин (йяни, матрис формасын-

да йазылмыш тянликляр системи) щяллиндян тяйин олунур: 

     















Q

)

t

(

CP

R

C

)

t

(

P

A

)

t

(

P

)

t

(

AP

)

t

(

P

x

1

т

x

т

x

x

x



. 

Башланьыъ  шярт 

0

0

x

P

)

t

(

P



.  Бурада 

0

P   яввялдя  дейилдийи 

кими,  башланьыъ  шяртин  дисперсийа  матрисидир.  Эюрцндцйц  кими,  бу 

тянлийя  критеринин  Н,Г,Р  параметрляри  вя  тянзимляйиъинин 

)

t

(

K

 

эцъляндирмя ямсалы дахил дейил. 

 Бурада 

)

t

(

P

x

 матриси 

)

t

(

e

 гиймятляндирмя хятасынын коррел-

367 

 

йасийа  матрисидир.  Бу  йолла  тапылмыш 

)

t

(

ˆx

  ейни  заманда  сцрцшдц-

рцлмямиш гиймятляндирмядир, йяни 

)]

t

(

[

M

)]

t

(

ˆ

[

M

x

x



 шярти юдяни-

лир. 

Оптимал идаря гиймятляндирилян 

)

t

(

ˆx

 векторуна ясасян форма-

лашдырылыр:  

 

 

)

t

(

ˆ

)

t

(

K

x

u





, 

 

 

)

t

(

P

B

R

)

t

(

K

т

1





 . 

Бурада 

)

t

(

P

 вязиййят дяйишянляри там мялум олдуьу щалдакы 

кими  

  

Q

)

t

(

P

B

BR

)

t

(

P

)

t

(

P

A

A

)

t

(

P

)

t

(

P

т

1

т















, 

N

)

t

(

P

т



  

Риккати матрис тянлийинин щяллиндян тяйин олунур. 

Сонсуз  вахтда  идаряетмя  мясялясиндя 





т

t

  гярарлашма 

щалында 

0

)

t

(

P





, 

0

)

t

(

P

x





  олдуьундан  Риккати  тянликляри  ъябри 

тянликляр  системиня  чеврилир  вя 

const

)

t

(

K



, 

const

)

t

(

K

x



  сабит 

матрисляр шяклиндя тапылырлар. 

Мисал цчцн, мясяля ашаьыдакы шякилдя вериля биляр: 

 











2

0

2

2

2

2

1

min

]

dt

)

t

(

u

)

2

(

)

2

(

[

M

J

x

x

 

 

1

2

1

1











x

x

x

, 

 

2

2

u







x

. 

1

2

y







x

, 

т

x

)

10

;

2

(

m

0



, 















12

/

1

0

0

8

/

1

P

0

,  

















6

/

1

0

0

4

/

1

Q

, 

2

r

R

1









, 

2

t

т



с. 

Бу мясялядя 

т

2

1

)

,

(

x

x

x



, 

т

2

1

)

,

(









. 

1







. 

 















1

0

0

1

N

, 

0

Q



, 

1

R



. 

368 

 

 















1

0

0

1

A

, 















1

0

B

, 















1

0

0

0

C

. 

Бурадакы  нятиъяляр  максимум  принсипи  вя  йа  динамик  прог-

рамлашдырмадан  (Белманын  функсионал  тянлийи)  истифадя  едиляряк 

алынмышдыр.  

Идаряетмя системи оптимал гиймятляндирмя вя оптимал идаря-

етмя  алтсистемляриндян  тяшкил  олунмалыдыр.  Риккати  тянликляриня 

дахил  олан  параметрляр  системин  иши  вахты  дяйишмядийиндян 

)

t

(

K

 

вя 

)

t

(

K

x

  эцъляндирмя  матрислярини  реал  мигйасда  щесабламаьа 

ещтийаъ йохдур. Бунлары бир дяфя щесаблайыб компцтерин йаддашына 

йазмаг кифайятдир. 

Шякил  8.38-дя  вязиййят  щаггында  там  мялумат  олмадыгда 

идаряетмя системинин функсионал  структуру эюстярилмишдир. Системи 

таразлыг  вязиййятиндян  чыхаран  ясас  щяйяъанландырыъы  тясир  ващид 

импулс тясириня еквивалент олан обйектин 

0

x   башланьыъ  вязиййяти-

дир. 

 

 

Шякил 8.38 

 

Ващид  тякан  шяклиндя  олан  тапшырыг 

)

t

(

g

  вя  кянар  щяйяъан-

369 

 

ландырыъы тясир 

)

t

(

f

-йя гаршы астатиклийи тямин етмяк цчцн интеграл 

вязиййяти 

1

n

t

0

x

dt

z











  дахил  едиб  илкин