Гязянфяр рцстямов автоматик

2. Ардыъыллашма функсийасынын гурулма гайдасы. Яввялдя гейд 

олундуьу  кими  адыъыллашма  функсийасыны  аналитик  шякилдя  алмаг 

цчцн системин диференсиал тянлийинин щялли мялум олмалыдыр. Ялбят-

тя бу щялл мювъуд олмаса беля, тянлийи ядяди цсулларын кюмяйи иля 

компцтердя щялл  едиб  ардыъыллашма функсийасынын нюгтялярини гур-

маьын мцмкцнлцйц истисна едилмир. 

Цмуми  щалда  ардыъыллашма  функсийасыны  гурмаг,  щятта  АБ  хятти 

дцз хятт олдугда беля, мцяййян чятинликлярля ялагядардыр.   

1. Кясилмяз  (фасилясиз)  системляр.  Яввялъя  кясилмяз  гейри-

хяттилийя  малик  олан  системляря  бахаг.  Беля  системляр  бцтцн  фаза 

мцстявисиндя ейни тянликля йазылыр. Бу щалда дяйишмя хятти олма-

дыьындан АБ кими 

1

2

x

x





 хяттини эютцрмяк олар. Таразлыг нюгтя-

ляринин сайы ващиддян чох олдуьундан ардыъыл олараг бцтцн нюгтя-

ляри йохламаг лазымдыр. Яэяр фярз олунан щядд дюврцнцн симмет-

рийасы  щаггында  мялумат  йохдурса,  онда  щядд  дюврц  ашкар  олу-

нандан сонра 



 буъаг ямсалынын яввял гябул олунмуш гиймятини 

дяйишмякля  Ламерей  диаграмында  тярпянмяз  нюгтянин  йерини 

дяйишмясиня ясасян онун максимал гиймятини тяйин етмяк олар. 

Бахылан  щалда 





/

20

10

x

x

  вя 





/

21

11

x

x

  явязлямясини  едиб 

(6.49)-да йериня йазсаг, аларыг: 

79 

 

 

. 

, 

)

,

,

/

(

)

,

,

/

(

/

20

20

2

21

20

20

1

21

11





















x

x

x

x

x

x

x

 

(6.53) 

Бу щалда (6.50)-йя уйьун эялян параметрик тянлик: 

 

. 

0

, 

0

 

/



























21

20

20

2

2

21

20

20

1

1

)

,

,

/

(

ψ

)

,

,

/

(

ψ

x

x

x

x

x

x

 

(6.54) 

Яввялдя  дейилдийи  кими, 



  параметрини  щяр  щансы  бир  тянликдян 

тапыб  диэяриндя  йериня  йазмаг  мцмкцн  оларса, 

)

(

N

20

21

x

x



 

нюгтяви чевирмя функсийасынын ашкар шяклини тапмаг олар. Лакин 



 

параметрини  аналитик  шякилдя  тяйин  етмяк  надир  щалларда  мцмкцн 

олур.  Бу  щалда 



  параметриня  мцхтялиф  гиймятляр веряряк  гейри-

хятти системини компцтердя щялл едиб  

20

x  вя 

21

x  тапдыгдан сонра 

(6.51)-я  ясасян  Н  ардыъыллашма  функсийасынын  графикини  гурмаг 

олар. Яэяр бу функсийаны гурмаг щяр щансы бир сябябдян чятинлик 

тюрядярся, онда билаваситя  параметрик шякилдя олан 

)

(

1

20







x

 вя 

)

(

2

21







x

  фунсийаларыны  гуруб  кясишмя  нюгтясинин  мювъудлуьу-

ну йохламаг олар. 

2.  Парчада-хятти  системляр.  Инди  парчада  (щисся-щисся)-хятти  типли 

реле  тянзимлямя  системляриндя  ардыъыллашма  функсийасы  Н-нин 

гурулмасы мясялясиня бахаг. Бу щалда реленин статик характеристи-

касындан  асылы  олараг  фаза  мцстявиси  бир  нечя  областа  бюлцнцр. 

Сохобластлы щалда щяр бир област йчцн юзцнцн 



,

N

,

N

2

1

 ардыъыллаш-

ма  функсийаларыны  гуруб  кясишмя  нюгтялярини  тапмаг  лазымдыр.  

Идаря тясири 

const

u



 вя йа хятти ганун цзря дяйишдийиндян систем 

щяр бир областда хятти диференсиал тянликля йазылыр. 

Садялик цчцн фярз едяк ки, фаза мцстявиси тянликляри мцхтялиф олан 

ики 

I

вя

II

  областларына  бюлцнмцшдцр.  Реленин  статик  характе-

ристикасы  вя  дяйишмя  хятти 

0

1

2









сx

x

  верилмишдир.  Мцла-

щизяляри шякил 6.60-да эюстярилмиш фаза портретиня ясасян апараг. 

1. Системин 

I

вя

II

  областларына  уйьун  эялян  диференсиал  тянликля-

ринин аналитик щялли тапылыр:  

80 

 

 

;

  

   

, 

)

t

,

,

(

)

t

(

)

t

,

,

(

)

t

(

20

10

1

2

1

2

20

10

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x









 

(6.55) 

 

.

  

   

, 

)

t

,

,

(

)

t

(

)

t

,

,

(

)

t

(

21

11

1

2

1

2

21

11

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x









 

(6.56) 

Тянликлярин  нювбяляшмяси 

0





  дяйишмя  хяттинин  цзяриндя  баш 

верир. Контактсыз АБ хятти кими дяйишмя 

0





 хятти гябул олунур. 

      

 

 

Шякил 6.60 

 

2. Фярз  олунур  ки, 

I

  областында  систем0  нюгтясиндян 

1



  вахта  1 

нюгтясиня,   

II

  областында  ися  1-дян  2  нюгтясиня 

2



  вахта  кечир. 

Ардыъыллашма  функсийасынын  (6.54)  шяклиндя  верилмиш  параметрик 

тянлийини  щяр  ики  област  цчцн    уйьун 

1



  вя 

2



  параметрляриня 

нязярян йазмаг лазымдыр: 

 

;

  

0

, 

0

 

/





















21

1

20

20

1

2

1

2

21

1

20

20

1

1

1

1

)

,

,

с

/

(

ψ

с

)

,

,

с

/

(

ψ

x

x

x

x

x

x

 

(6.57) 

 

.

  

0

, 

0

 

/





















22

2

21

21

2

2

2

2

22

2

21

21

2

1

2

1

)

,

,

с

/

(

ψ

с

)

,

,

с

/

(

ψ

x

x

x

x

x

x

 

(6.58) 

Бу щалда (6.57) вя (6.58) тянликляр системи координатлара нязярян 

хятти олдуьундан параметрик тянликлярин аналитик ифадялярини алмаг 

мцмкцндцр:  

81 

 

 

;

  

    

, 

)

(

)

(

1

1

2

21

1

1

1

20













x

x

 

(6.59) 

 

 

    

, 

)

(

)

(

2

2

2

22

2

2

1

21













x

x

. 

(6.60) 

Тянликлярин  алынмасы  гайдасы  белядир.  Системин  диференсиал  тянлийи 

хятти  олдуьундан  щялл  башланьыъ  шяртляря  нязярян  хятти  олур.  Бу 

щалда  (6.57)  тянлийи 

20

x   вя 

21

x   координатларына  нязярян    хятти 

олдуьундан ону ашаьыдакы шякилдя тясвир етмяк олар:  

 

. 

, 

)

(

c

)

(

a

)

(

a

)

(

c

)

(

a

)

(

a

1

2

21

1

22

20

1

21

1

1

21

1

12

20

1

11





















x

x

x

x

 

(6.60) 

const

i

1

1









  олдуьундан  бу  хятти  тянликляр  системини,  мясялян, 

Крамер  (детерминантлар)  цсулу  иля  щялл  едиб   

1

1



  вя 

1

2



  функ-

сийаларынын аналитик ифадясини тапмаг мцмкцндцр. 

2

1



 вя 

2

2



 функ-

сийалары да аналожи гайдада тапылыр. 

3. 

i

1

1







, 

i

2

2







, 



,

1

,

0

i



 гиймятляри вериб уйьун олараг (6.59) 

вя  (6.60)  ифадяляриня  ясасян 

}

,

{

}

,

{

1

i

,

2

i

2

i

21

i

20





x

x

x

x

  вя 

}

,

{

i

22

i

21

x

x

 

щесабланыр.  Ламерей  диаграмыны  абсисиндя 



,  ординатында  ися  x  

гейд олунмуш ики вариантда гурмаг олар:  

а) 

}

,

{

i

1

i

20



x

, 

}

,

{

i

1

i

21



x

, 

}

,

{

i

2

i

21



x

  вя 

}

,

{

i

2

i

22



x

  нюгтялярини  гейд 

етмякля  дюрд  яйри  гурулур  (параметрик  формада).  Бу  цсулун 

мащиййяти 

1

1



,

2

2



; 

1

2



  вя 

2

1



  функсийаларынын  ортаг  кясишмя 

нюгтяляринин тяйин олунмасындадыр. Бу графоаналитик ямялиййат 

 

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1





















  

, 

 . 

(6.61) 

тянликляр  системинин  щяллиня  еквивалентдир.  (6.61)  тянлийи  гейри-

хятти , адятян трансендент, функсийалардан ибарят олдуьундан, ону 

ядяди цсулларын кюмяйи иля щялл едиб 

*

1

1







 вя 

*

2

2







 тяйин етмяк 

олар.  Сонра  бу  гиймятляри  (6.59)  (вя  йа  (6.60)-да)  йериня  йазыб 

*

20

x   вя  дяйишмя  хяттинин  тянлийиндян 

с

/

*

20

*

10

x

x



 щядд дюврцнцн 

)

t

(

1

x

 вя 

)

t

(

2

x

 дяйишянляриня нязярян амплитудуну тапмаг олар. 

82 

 

б) 

}

,

{

i

21

i

20

x

x

 вя 

}

,

{

i

22

i

21

x

x

нюгтяляриня ясасян билаваситя 

1

N  вя 

2

N  

нюгтяви чевирмя функсийаларыны гуруб кясишмя нюгтясинин мювъуд 

олуб-олмамасыны  тядгиг  етмяк  олар  (бах,  шякил 6.57,б).  Щядд 

дюврцнцн  координат  башланьыъына  нязярян  симметрик  олмасы 

щаггында мялумат оларса, тякъя бир 

1

N  функсийасыны гурмагла ки-

файятлянмяк олар. Шякил 6.60-дан эюрцндцйц кими, 0 вя 1 нюгтя-

ляринин  ординатлары  якс  ишаряли  олдуьундан  (6.57)  тянликляриндя 

симметрийайа  ясасян 

21

21

x

x





  эютцрмяк  лазымдыр.  Бу  щалда 

гурулан 

1

N   функсийасы  иля бисектрисанын  ортаг кясишмя  нюгтясинин 

мювъуд олуб-олмамасы йохланылыр. 

Бахылан  цсул  ики  тяртибли  парчада-хятти  системляря,  щятта  фаза 

мцстявиси  икидян  чох  областлара  бюлцндцкдя  беля  тятбиг  олуна 

биляр. 

Мисал 6.7. Яталятли-интеграллайыъы  манганын  тянлийи  иля  йазылан 

обйектин икимювгели  реле гануну иля  идаря олундуьу  заман щядд 

дюврцнцн,  йяни  авторягслярин  мейдана  чыхыб-чыхмамасыны  тядгиг 

едяк.  

Обйектин чыхышы нязярян тянлийи: 

 

u

y

a

y











.  

(6.62)       

Ютцрмя функсийасы: 

 

)

a

s

(

s

1

w





 . 

Фаза вя йа вязиййятляр мцстявисиндя уйьун тянлик: 

 

. 

, 

u

a

2

2

2

1









x

x

x

x





 

(6.63) 

Идаря сигналынын ишаряси 

0

c

1

2









x

x

 дяйишмя хяттинин цзяриндя 

(практики олараг тясвиредиъи нюгтя бу хятти ашдыгдан сонра) дяйишир: 

 





















. 

яэяр  

     

, 

, 

яэяр  

     

, 

0

1

0

1

u

  

(6.64) 

83 

 

Буъаг ямсалы 

0

const

c





. 

Йухарыда  шярщ  олунмуш  ардыъыллыьа  ясасян  яввялъя  системин  фаза 

мцстявисинин 

0





  вя 

0





  шяртлярини  юдяйян 

I

  вя 

II

  об-

ластларында тянлийинин 

1



 вя 

2



 щяллярини тапмаг лазымдыр. Систе-

мин  фаза  портрети 

1

а



  гиймятиндя  шякил  6.61-дя  эюстярилмишдир. 

Обйектин 

1

u





 гиймятляриня уйьун эялян фаза трайекторийасы ися 

мцвафиг олараг яввялдя шякил 6.35, б вя в-дя эюстярилмишдир.  

 

 

 

Шякил 6.61 

 

Системин 

1

а



 гиймятиня уйьун щялляри ашаьыда верилмишдир. 

I

 областда (

1

u





): 

 

)

e

1

)(

1

(

t

)

t

(

)

t

(

t

20

10

1

1

1

1

















x

x

x

, 

(6.65) 

 

t

20

1

2

1

2

e

)

1

(

1

)

t

(

)

t

(















x

x

 ; 

(6.66) 

II

 областда (

1

u





): 

 

)

e

1

)(

1

(

t

)

t

(

)

t

(

t

21

11

2

1

2

1

















x

x

x

, 

(6.67) 

 

t

21

2

2

2

2

e

)

1

(

1

)

t

(

)

t

(













x

x

 . 

(6.68) 

Бурада 

)

,

(

20

10

x

x

вя 

)

,

(

21

11

x

x

 0 вя 1 нюгтяляринин башланьыъ шяртляри 

ролунда  чыхыш  едян  координатлардыр.  Фярз  едяк  ки,  фаза 

84 

 

трайекторийасы дяйишмя 

0





 хяттинин цзяриндя йерляшян АБ кон-

тактсыз  хятти  0  нюгтясиндян  башлайыр. 

0

t



  анында  дцз  хяттин 

тянлийиня  ясасян  бу  нюгтянин  абсиси 

с

/

20

10

x

x



  юдяйир.  Тясвир-

едиъи нюгтя 

1

t





 заманындан сонра йенидян АБ хятти йзяриндя 1 

нюгтясиня дцшяъякдир. Бу нюгтянин абсиси 

с

/

21

11

x

x



.  

Заманын 

1

t





 гиймятиндя 

11

1

1

1

)

(

x

x





 вя 

21

1

1

2

)

(

x

x





 олдуьуну 

нязяря  алыб,  абсислярин  йухарыда  явяз  олунмуш  ифадялярини  (6.65) 

вя  (6.66)  тянликляриндя  йериня  йазыб  (6.60)  системини  тяртиб  етсяк 

аларыг: 

 

1

e

1

c

1

a

11











,    

c

1

a

12





 ; 

  

1

e

a

21







,              

1

a

22





 ; 

 

1

e

1

с

1

1















,  

1

e

1

с

2









. 

Системи  Крамер  (детерминант)  цсулу  иля  щялл  едяк.  Баш  детер-

минант: 

 

)

1

e

)(

c

1

1

(

1













. 

Дяйишянляря уйьун детерминантлар: 

 

1

1

)

e

1

)(

c

1

1

(

1

















, 

 

1

1

e

)

e

1

)(

c

1

1

(

1

2





















. 

Беляликля, 

1

N  ардыъыллашма функсийасынын параметрик тянлийи:  

 

)

e

1

)(

c

/

1

1

(

1

)

(

1

1

1

1

1

1

20





























x

, 

(6.68) 

 

)

1

e

)(

c

/

1

1

(

1

)

(

1

1

2

1

1

2

21



























x

 . 

(6.69) 

Мисал  цчцн, 

2

с



,

s

2

1





  вя 

s

10

1





  гиймятиндя 

542

.

0

20



x

, 

791

.

0

21





x

; 

667

.

5

20



x

, 

999

.

0

21





x

. Гейд едяк ки,  I  областда 

85 

 

бцтцн трайекторийалар 

a

/

u

2



x

 хяттиня, бурада 

1

u





, 

1

a



 олду-

ьундан 

1

2





x

  хяттиня  асимптотик  йахынлашыб  ону  аша  билмяди-

йиндян 

1



параметринин истянилян гиймятиндя 1 нюгтясинин ординаты 

0

1

-

21





x

 интервалында йерляшир. 

0





 щалында  

 

      





21

20

x

x







1

c

1

3333

.

0



. 

Щятта бахылан садя мисалда беля, 

1



параметрини  (6.68)  вя  йа  (6.69) 

тянлийиндян  тапмаг  мцмкцн  олмадыьындан  ардыъыллашма 

функсийасынын (6.51) ашкар шяклини алмаг мцмкцн дейил. Цмумий-

йятля  десяк,  щеч  буна  ещтийаъ  да  йохдур.  Беля  ки,  щесабламалар 

компцтердя  апарылдыьындан 

1



параметриня  мцхтялиф  мцсбят  гий-

мятляр  веряряк  уйьун 

)

(

1

20



x

; 

)

(

1

21



x

  гиймятлярини  щесаблайыб 

график гурмаг олар. 

Парчада-хятти  типли  гейри-хятти  системлярдя  щядд  дюврц  координат 

башлагьыъына нязярян симметрик олдуьундан фаза мцстявисинин 

II

 

щиссясиндя  тядгигатлары  давам  етдирмяйя  ещтийаъ  йохдур.  Бу 

щалда щядд дюврцнцн мейдана чыхма яламяти 

 

   

z

20



x

, 

21

x

z





 

(6.70) 

шярти иля, йяни ординатларын 

0





 хятти цзяриндя 1 вя 3-ъц рцблярдя 

ейни олмасы шярти иля явяз олунур. 3-ъц рцбдя 

0

21



x

 олдуьундан 

21

x

z





  эютцрцлмяси  ординатларын  щям  гиймят,  щям  дя  ишаряъя 

ейни олмасыны тямин едир. 

Щядд  дюврцнцн  тядгиги  билаваситя   

)

(

1

20



x

  вя 

)

(

z

1



  графиклярини 

гуруб  кясишмя  нюгтяляринин  мювъуд  олуб-олмамасына  эятирилир. 

Бу щалда 

2



 параметриндян истифадя олунмадыьындан садялик цчцн 

сонракы йазылышларда 







1

 гябул едяъяйик. 

Ъядвял  6.1-дя  (6.68)  вя  (6.69)  ифадяляри  ясасында 

2

с



  гий-

мятиндя щесабламаларын нятиъяси эюстярилмишдир. 

 

 

Ъядвял 6.1 

Ардыъыллашма функсийасыны гурмаг цчцн                            

щесабламаларын нятиъяляри 

86 

 

 



 

0 

0.1 

1.0 

2.0 

3.0 

4.0 

8.0 

20

x  

-0.333  -0.299  0.0546   0.542   1.104   1.716   4.335 

21

x  

-0.333  -0.333  -0.612  -

0.791 

-

0.895 

-

0.950 

-

0.998 

 

Шякил  6.62-дя  уйьун   

)

(

1

1

20







x

  вя 

)

(

z

1

2

21











x

  графикляри 

эюстярилмишдир. Эюрцндцйц кими, бу яйриляр йеэаня 

s

6

.

2

*





 нюг-

тясиндя кясишдийиндян системдя йалныз бир щядд дюврц мювъуддур. 

Авторягслярин 

)

t

(

2

x

  дяйишяни  цзря  амплитуду 

86

.

0

*

20





x

, 

)

t

(

1

x

 

цзря ися 

43

.

0

c

/

*

20

*

10







x

x

. Рягслярин дюврц 

s

2

.

5

2

T

*

 







, тез-

лийи 

s

21

.

1

T

/

2

0

h

 









. 

 

 

Шякил 6.62 

 

Авторягслярин  параметрляри  c   буъаг  ямсалынын  гиймятиндян 

асылыдыр. 





c

йахынлашдыгда авторягслярин амплитуду сыфыра йахын-

лашыр. 





c

  щядд  гиймятиндя  идарянин  ишаряси 

0

1







x

  ординат 

охунун цзяриндя  дяйишдийиндян  яввялдя  эюстярилдийи кими систем 

координат  башланьыъына  рягси  режимдя  йахынлашыр.  Бу  заман  щядд 

дюврц мейдана чыхмыр (бах, § 6.7). 

Авторягслярин  дайаныглы  олуб-олмамасыны  (6.52)  Кенигс  теоре-

миня  ясасян  тяйин  едяк.

 

Параметрик  шякилдя  верилмиш 

)

(

1

1

20







x

,  

87 

 

)

(

z

1

2









 функсийасынын тюрямяси: 

 

*

1

1

1

2

20

*

d

z

d























x

 

(6.71) 

Бурада 











d

d

1

2

1

2

, 











d

d

1

1

1

1

. 









0

  интервалында 

0

)

(

2







  олдуьундан  (6.52)-дя  модул 

оператору (



) ишаряси иля явяз олунмушдур. 

Ифадя  (6.71)-ин  графики  цсул  иля  кясишмя  нюгтясиндя 

)

(

20



x

  вя 

)

(

z



  яйриляриня  тохунан  чякиб  буъаг  ямсалларыны  щесабламаг  вя 

йа  (6.71)  ифадясиня  ясасян  аналитик  йолла  щесабламаг  олар.  Икинъи 

цсулдан истифадя едяк. 

                

125

.

0

64

.

2

)

e

1

(

)

2

1

e

(

e

*

2

0

*



































. 

Ифадя (6.52)-йя ясасян 0.125<1 олдуьундан щядд дюврц дайаныг-

лыдыр.  

Инди фярз едяк ки, 

0

3

с







. Бу щалда (6.68), (6.69) ифадяляриня 

ясасян  апарылмыш  щесабламаларын  нятиъяляри  ъядвял  6.2-дя  эюс-

тярилмишдир. 

                                                               

      Ъядвял 6.2 

Ардыъыллашма функсийасыны гурмаг цчцн                            

щесабламаларын нятиъяляри 

 



 

0 

0.1 

1.0 

2.0 

3.0 

4.0 

8.0 

20

x  

0.5 

0.576   1.373   2.469   3.736   5.112   11.00 

21

x  

0.5 

0.426 

-

0.127 

-

0.530 

-

0.764 

-

0.888 

-

0.996 

 

Шякил 6.63, а-да 

)

(

1

20







x

  вя 

)

(

z

2

21











x

  графикляри  эюстярил-

мишдир. Эюрцндцйц кими, бу яйриляр кясишмядийиндян 

3

с





 гий-

мятиндя  системдя  щядд  дюврц  мейдана  чыхмыр.  Цмумиййятля, 

88 

 

0

c



 щалы цчцн щядд дюврц мювъуд дейил.  

Ъядвялдя  кечид  вахты 



-нын  кичик  гиймятляриндя  ишарялярин  ейни 

олмасы  трайекторийанын 

0





  дяйишмя  хятти  цзяриндя  олан 

башланьыъ  вя  сон  нюгтясинин  ейни  рцбдя  (бу  щалда  II  рцбдя) 

олмасыны  эюстярир.  Парчада-хятти  тмпли  кясилян  гейри-хятти 

системлярдя  щядд  дюврц  координат  башланьыъына  нязярян 

симметрик  олдуьундан  щядд  дюврцнцн  мейдана  чыхмасынын  ясас 

яламятляриндян бири бу гиймятлярин мцхтялиф ишаряли олмасыдыр.      

Шякил 6.63, б-дя уйьун фаза портрети эюстярилмишдир.    

 

 

Шякил 6.63 

 

Дальалы  хятля  АБ  хяттинин  сцрцшян  режимя  уйьун  эялян  ЪД    парчасы 

эюстярилмишдир.  Истянилян  нюгтядян  графики  йолла  гурулмуш  Ламерей 

пиллякяни  ян  чоху  ики  пилляйя  малик  олур.  Бу  да  тясвиредиъи  нюгтянин 

истянилян башланьыъ вязиййятдян сцрцшян режимя дцшяня гядяр АБ хяттини 

ики дяфядян чох кясмядийини эюстярир.