Гязянфяр рцстямов автоматик

Вязиййятин  дискретляшдирилмяси.  Сонунъу  мярщялянин  оптимал 

башланьыъ 

1

N



x

  вязиййяти  мялум  олмадыьындан  обйектин  яввялки 

щялляр  (идаряляр)  нятиъясиндя  эяля  биляъяйи  бцтцн 

1

N



x

 

вязиййятлярини  йохламаг  лазымдыр.  Бу  мягсядля  обйектин 

1

N

t



 

анында  дцшя  биляъяйи  мялум 

т

1

N

F

1

N

1

]

,

[





x

x

  интервалыны  (

1

F



)  щис-

сяйя  бюлцр: 

т

1

N

F

1

N

2

1

N

1

1

N

}

,

,

,

{











x

x

x



x

.  Бцтцн 

k

t ,

N

,

,

1

,

0

k





 

нюгтяляриня уйьун эялян вязиййятин  дяйишмя интервалларынын ейни 

олдуьуну фярз едиб онлары да ейни гайда иля дискретляшдиририк. Прин-

сипъя  дяйишмя  интерваллары  вя  бюлэцлярин  сайы  мцхтялиф  дя  ола 

биляр.  

k

t  

 заман 

анларында 

дискретляшдирилмиш 

k

x

 

векторларындан  ашаьыдакы 

)

1

N

(

F





-юлчцлц  дискретляшдирилмиш 

вязиййят матрисини гурмаг олар: 

      

































N

F

N

2

N

1

1

F

1

2

1

1

0

F

0

2

0

1

N

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  

  

  

  















 x

x

x

x

. 

Бу матрисин сцтун елементляри 

)

,

t

( x  мцстявисиндя гурулмуш торун 

k

t   анларында  дцйцн  нюгтяляриня  уйьун  эялир.  Яэяр  обйектин  сол 

0

x   вя  саь 

т

x   вязиййятляри  сярбяст  олмазса,  йяни  бяркидилярся 

онда биринъи вя сонунъу сцтунлар  ейни  елементдян ибарят  олаъаг-

дыр.  

Идарянин  щесабланмасы.  Щяр  мярщялядя  идаря  тясиринин  дискрет 

k

u  гиймятляри ашаьыдакы ганунауйьунлуьа табедир. Тор мцнтязям 

олдуьундан системи щяр бир  m  мярщялясиндя 

k

t , 

1

N

,

,

1

,

0

k







 

анына  уйьун  эялян 

k

i

x

,

F

,

,

2

,

1

i





  нюгтяляриндян 

1

k

t



  анына 

469 

 

уйьун  эялян  бцтцн 

1

k

j



x

,

F

,

,

2

,

1

i





  нюгтяляриня  кечирян  сабит 

идаря тясири 

k

ij

u  (9.74) ифадясиндян тяйин олунур. Эюрцндцйц кими, 

идаря тясири цч индекс иля тяйин олунур. 



k

бу идарянин 

1

k

m





-ъи 

мярщяляйя аид олдуьуну,  j

,

i   ися  онун  системи 

k

i

x   вязиййятиндян 

1

k

j



x

 вязиййятиня эятирдийини эюстярир. 

Гейд  едяк  ки,  идаряни  верилмиш  интервалда  габагъадан  дискрет-

ляшдириб  вязиййят  нюгтялярини  (9.74)  ифадяси  ясасында  тяйин  едил-

мясиня ясасланан алгоритмляр дя мювъуддур. 

Яэяр  щяр  щансы  бир  кечид  вахты  (9.74)  ифадяси  васитяси  иля  щесаб-

ланмыш  идарянин  гиймяти  бурахыла  билян  щядди  ашарса  бу  кечид 

физики олараг мцмкцнсцз сайылыр вя идарянин бу гиймяти нязярдян 

атылыр. Цмумиййятля, динамик програмлашдырманын дискрет вариан-

тында  мящдудиййятляр  асанлыгла  нязяря  алыныр.  Садяъя  олараг  ще-

саблама  вахты  бу  мящдудиййяти  юдямяйян  дяйишянляр  нязярдян 

атылыр. 

Цчмярщяляли просес цчцн, йяни 

3

N



 вя 

2

F



  щалында вя гейд 

олунмуш сол вязиййятя уйьун эялян кечидлярин схеми шякил 9.13-

дя эюстярилмишдир. 

 

 

Шякил 9.13 

 

Щяр  бир 

k

i

x ,

F

,

,

2

,

1

i





,

1

N

,

,

1

,

0

k







  нюгтясиня  тясир  эюстярян 

идаря  чохлуьуну 

}

u

,

,

u

,

,

u

,

u

{

k

iF

k

ij

k

2

i

k

1

i

k

i







u

,

F

,

,

2

,

1

j





    ишаря 

470 

 

едяк. Щяр бир нюгтя цчцн  F  сайда идаря т ясири тапыласы олдуьундан 

щяр 

1

k

m





 мярщялясиндя 

F

F



 сайда идаря тясири алыныр ки,  бу 

гиймятляри ашаьыдакы матрис шяклиндя эюстярмяк олар:  

  

)

u

(

u

u

u

u

u

u

u

u

u

U

k

ij

k

FF

k

F

2

k

F

1

k

2

F

k

21

k

12

k

1

F

k

21

k

11

k

F

k

2

k

1

k































































  

  

  

  

 

















u

u

u

,  

1

N

,

,

1

,

0

k







 

Гейд  едяк  ки,  стасионар  просес  цчцн 

1

N

1

0

U

U

U











.  Бу 

щалда заман аныны характеризя едян  k  индексини нязярдян атмаг 

олар. 

Дискрет просесляр цчцн Беллманын функсионал тянлийинин чыхарылышыны 

алмаг  цчцн  рийази  индуксийа  цсулундан  истифадя  едяк.  Оптимал 

стратеэийанын  сонунъу  стадийадан  башлайараг  ахтарылмасы 

вариантына  бахаг.  Сонунъу 

N

m



  мярщялясиндя  щяр  бир 

1

N

i



x

 

нюгтяси  цчцн 

1

N

i



u

  идаря  тясиринин  йаратдыьы  бцтцн  кечидляр  цзря  

)

u

,

(

1

N

ij

1

N

i





x

 ъцтцнц 

N

-ъи мярщялядя ялдя едилян  

 

t

)

u

,

G(

G

1

N

1

N

N









x

 



удушун



  ифадясиндя  йериня  йазыб  онун  бцтцн 

)

j

,

i

(

,

F

,

1

j

,

i



 

кечидляри  цзря  гиймятляри  щесабланыр.  Бу  гайда  иля  щесабланмыш 

критеринин 

гиймятлярини 

F

F



 

юлчцлц 

матрис 

шяклиндя 

формалашдырмаг олар: 

 

)

G

(

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

)

(

G

N

ij

N

FF

N

iF

N

F

2

N

F

1

N

2

F

N

2

i

N

21

N

12

N

1

F

N

1

i

N

21

N

11

N

F

N

i

N

2

N

1

1

N

N





















































































































  

  

  

  

 

x

 

471 

 

Щяр  бир 

1

N

i



x

  нюгтясиня  уйьун  олан 

N

i

G

  сятриндя  йазылмыш  гий-

мятляр ичярисиндя максимал (минимал) гиймят сечилир: 

 





N

iF

N

2

i

N

1

i

u

1

N

i

1

G

,

,

G

,

G

max

)

(

f

1

N

i











u

x

 ,    

F

,

1

i



 

(9.75) 

Ясас нятиъяляр ъядвял 9.1 шяклиндя формалашдырылыр. 

Беляликля,  щяр  бир 

1

N

i



x

  нюгтясиндян  башлайан  F   сайда  кечид-

лярдян  (трайекторийалардан) 



удушун



  максимал 

)

(

f

1

N

i

1



x

  гиймя-

тиня  уйьун  эялян  йалныз  бир  кечид  галыр.  Бу  оптимал  кечидин 

башланьыъ 

1

N

i



x

 вя сон 

N

j

x  вязиййятляри вя уйьун 

1

N

ij

u



 идаря тясири 

йадда  сахланылыр.  Шякил  9.13-дя  беля  локал  кечидляр  галын  хятля 

эюстярилмишдир. Ъядвял 9.1 ися бу щалда ъядвял 9.2 шяклиндя гуру-

лаъагдыр. 

 

      

 

                    Ъядвял 9.1 

                         Ъядвял 9.2 

        

1

n



             

           

1

n



 

i  

1

N



x

 

1

N



u

 

)

(

1

N

1



x

f

 

N

x  

i  

2

x  

2

u  

)

(

2

1

x

f

 

3

x  

1 

1

N

1



x

 

1

N

1

u





 

)

(

f

1

N

1

1



x

 

N



x  

1 

2

1

x

 

2

11

u

 

)

(

f

2

1

1

x

 

3

1

x

 

2 

1

N

2



x

 

1

N

2

u





 

)

(

f

1

N

2

1



x

 

N



x

    2 

2

2

x

 

2

21

u

 

)

(

f

2

2

1

x

 

3

1

x

 

  

  

  

  

  

i  

1

N

i



x

 

1

N

ij

u



 

)

(

f

1

N

i

1



x

 

N

j

x

   

 

  

  

  

  

    

 

 

 

F  

1

N

F



x

 

1

N

F

u





 

)

(

f

1

N

F

1



x

 

N



x  

 

472 

 

F   юлчцлц 

)

(

f

1

N

i

1



x

  максимум  гиймятляр  чохлуьуну 

)

(

1

N

1



x

f

 

вектору иля ишаря едяк: 





т

)

(

f

,

),

(

f

),

(

f

)

(

1

N

F

1

1

N

2

1

1

N

1

1

1

N

1











x

x

x



x

f

. 

Сонунъу  ики  мярщялядян,  йяни 

2

n



  щалында  щяр  бир 

2

N

i



x

 

нюгтясиня  уйьун 



удушун



  максимал  гиймяти  (9.75)-я  уйьун 

олараг:  

 

.

F

,

,

2

,

1

i

,

)}

(

f

G

,

),

(

f

G

),

(

f

G

{

max

)

(

f

1

N

F

1

1

N

iF

1

N

2

1

1

N

2

i

1

N

1

1

1

N

1

i

u

1

N

i

2

2

N

i



































x

x

x

x

u

  

 

Вя йа вектор шянлиндя: 

 

)}

(

)

(

G

{

max

)

(

1

N

т

1

2

N

1

N

i

U

u

2

N

i

2

2

N

















x

f

x

x

f

. 

(9.76) 

Алынмыш  ясас  нятиъяляр  ъядвял  9.1-я  аналожи  олараг  ъядвялляш-

дирилир. 

N

  мярщялядян,  йяни 

N

n



  щалында  алынмыш  йекун 



удушун



  максимал гиймяти аналожи олараг: 

 

.

F

,

,

2

,

1

i

,

)}

(

f

G

,

),

(

f

G

),

(

f

G

{

max

)

(

f

1

F

1

N

1

N

iF

1

2

1

N

1

2

i

1

1

1

N

1

1

i

u

0

i

N

0

i



























x

x

x

x

u

    

Вя йа вектор шяклиндя: 

 

  

)}

(

)

(

G

{

max

)

(

1

т

1

N

0

1

i

U

u

0

N

0

x

f

x

x

f









. 

(9.77) 

N

n



 цчцн дя нятиъяляр ъядвял 9.1-я уйьун йадда сахланылыр. 

Беляликля, 

0

x чохлуьуна  дахил  олана  гядяр  сыныг  хятлярдян  ибарят 

олан F сайда локал оптимал трайекторийалар мювъуд олур. Кечидин 

физики  мцмкцн  олмамасы  нятиъясиндя  бязи  трайекторийаларын 



йолда



 гырылмасы уъбатындан локал трайекторийаларын сайы дян кичик 

дя ола биляр (бах, шякил 9.13). Йекунда, бу трайекторийалара уйьун 

эялян 

)

(

0

N

x

f

  оптимал  векторунун  елементляринин  гиймяти 

473 

 

мцгайися  олунараг  йалныз  бир  трайекторийа  сахланылыр.  Ъядвялдян 

ъядвяля  яксиня  кечяряк  оптимал  вязиййят 

k

x , 

N

,

,

1

,

0

k





  вя 

уйьун идаря тясирляри 

k

u ,

1

N

,

,

1

,

0

k







 тапылыр. 

Беляликля,  (9.75),  (9.76),  (9.77)  ифадяляри  Беллманын  функсионал 

тянлийини ашаьыдакы рекурент вектор ифадя шяклиндя йазмаьа имкан 

верир:  

 

.

F

,

1

i

,

N

,

2

n

,

)}

(

)

(

G

{

max

)

(

1

n

N

т

1

n

n

N

1

n

N

i

U

u

n

N

i

n

n

N



























x

f

x

x

f

  (9.78) 

Щесабламалара  башлайа  билмяк  цчцн 

1

n



  гиймятиндя  башланьыъ 

шярт мялум олмалыдыр:  

 

)}

(

G

{

max

)

(

1

N

N

U

u

1

N

1

1

N











x

x

f

 . 

 

Бу ифадядя максимал гиймятляри сечмя ямялиййаты 

N

G  матрисинин 

N

i

G   сятирляри  цзря  апарылыр.  (9.78)-дя  бюйцк  мютяризя  щяр 

i

x  

дцйцн  нюгтясиндян  чыхан 

ij

G

  сятир  гиймятляринин  цзяриня  сабит 

т

1

n



f

  сятрини  ялавя  етмякля  формалашдырылыр  вя 

F

F



-юлчцлц  ядяди  

матрисдян  ибарят  олур.  Максимал  гиймятляри  сечмя  ямялиййаты 

сятирляр цзря апарылдыгдан сонра щяр сятирдя бир елемент галдыьын-

дан Ф-юлчцлц 

n