Гязянфяр рцстямов автоматик

ε

u

x,

f

x

x

x

    

 

(9.89) 

Фярз  едяк  ки,  S   функсийасынын 

x

  вя  t   аргументляриня  нязярян 

хцсуси тюрямяляри мювъуддур. Буну нязяря алсаг, (9.89) дцстуру 

иля  ифадя  олунмуш  скалйар  S   функсийасынын 

)

t

),

t

(

(x

  нюгтясиндя 

артым алмыш гиймяти: 

,

)

t

(

t

t

)

t

,

(

S

t

)

t

,

(

f

)

t

,

(

S

)

t

,

(

S

]

t

),

t

(

[

S

2

i

n

1

i

i

1

1

 

       

          

          

          





























ε

x

u

x,

x

x

x

x

  

(9.90) 

вя йа вектор формасында 

.

)

t

(

t

t

)

t

,

(

S

t

)

t

,

(

S

)

t

,

(

S

]

t

),

t

(

[

S

2

т

1

1

 

       

          

          





































ε

x

u

x,

f

x

x

x

 

(9.91) 

Бурада  

 

т

n

2

1

S

,

,

S

,

S

)

t

,

(

S

grad

)

t

,

(

S

































x

x

x



x

x

x

. 

482 

 

)

t

(

2



ε

 

кичиклик 

дяряъяси 

t



-дян 

бюйцк 

олан 

кямиййятдир. 

Ифадя  (9.90)  вя  (9.91)  алынмасыны  дяриндян  баша  дцшмяк  цчцн 

чохдяйишянли функсийанын сырайа айырылмасы вя скалйар функсийадан 

вектор  аргументиня  эюря  диференсиаллама  гайдаларыны  билмяк  ла-

зымдыр. 

Ифадя (9.91)-и (9.86)-да йериня йазаг: 

           

. 

 

 

 

          





























































)

t

(

t

t

S

t

)

t

,

(

S

)

t

,

(

S

dt

)

t

,

(

G

min

)

t

,

(

S

2

т

t

t

t

t

U

1

1

ε

u

x,

f

x

x

u

x,

x

u

  

(9.92)  

Саь  тяряфдяки  S   функсийасы  (9.84)  ифадясиня  ясасян  критеринин 

]

T

,

t

[

  интервалында  u -йа  нязярян  оптималлашдырылмасы  нятиъясиндя 

тапылдыьындан  даща  u -дан  вя  бу  сябябдян 

t

t

S







  ифадяси  дя 

u -дан  асылы  дейил.  Бу  сябябдян  эюстярилян  ифадяляри  мин  ишаряси 

хариъиня чыхармаг мцмкцндцр. 

Дейилянляри нязяря алыб щяр тяряфи 

t



-йя бюлсяк аларыг: 

      

























































t

)

t

(

)

t

,

(

S

dt

)

t

,

(

G

t

1

min

t

S

2

т

t

t

t

t

U

1

1

ε

u

x,

f

x

u

x,

u

.  (9.93) 

Ифадя (9.93)-дя 

t



-ни сыфыра йахынлашдырараг щяддя кечяк. 

Орта гиймят щаггында теоремя ясасян  

 

)

t

,

(

G

dt

)

t

,

(

G

t

1

lim

t

t

t

0

t

u

x,

u

x,















 

вя 

0

t

)

t

(

lim

2

0

t











ε

  олдуьундан,  нящайят  Беллманын  функсионал 

тянлийини фасилясиз системляр цчцн ашаьыдакы шякилдя алмыш оларыг: 

483 

 

  













































)

t

,

(

)

t

,

(

S

)

t

,

(

G

min

t

)

t

,

(

S

т

U

u

x,

f

x

x

u

x,

x

u

.   (9.94) 

Эюрцндцйц кими, Беллман тянлийи 

S

-я нязярян Щамилтон-Йакоби 

типли бир тяртибли хцсуси тюрямяли диференсиал тянликдир. Сярщяд шярти 

0

)

t

,

(

S

т

т



x

. 

Беллманын  функсионал  тянлийи  (9.94)  сон 

т

т

)

t

(

x

x



  вязиййяти 

верилдикдя  (тярпянмяз  олдугда),  сон 

т

t   заманы  ися  сярбяст 

олдуьу щалда да юз гцввясини сахлайыр. 

Яэяр  оптимал  идаряетмя  мясяляси  Майер  вя  йа  Болс  мясяляси 

шяклиндя верилярся, йяни критерийя 

]

t

),

t

(

[

N

J

т

т

т

x



 топлананы дахил 

оларса, Беллманын функсионал тянлийи ашаьыдакы шякилдя йазылыр: 

 

 

0

t

S

min

t

,

u

U





















u

 . 

 

Сярщяд шярти:  

 

 

]

t

),

t

(

[

N

]

t

),

t

(

[

S

т

т

т

т

x

x



 . 

(9.95) 

Беллманын  тянлийи 

S

  функсийасынын 

t

  вя 

x

  вязиййят  дяйишяниня 

нязярян  хцсуси  тюрямяляринин  мювъуд  олмасы  фярзиййяси  иля 

мящдудлашыр. Бу фярзиййянин юдянилмямяси щалларына тез-тез раст 

эялинир.  Мясялян,  о  хятти  системлярдя  дяйишмя  хяттинин  нюгтяляри 

цчцн  юдянилмир.  Бу  нюгтялярдя  идаря  тясири  сычрайыша  мяруз  гал-

дыьындан 

)

t

(

x

 трайекторийасы 



сыныр



, йяни щамар функсийа олмур. 

Беллманын  тянлийи  ясасында  ону  ядяди  йсулларын  кюмяйи  иля 

компцтердя щялл едяряк оптимал програм идаряси 

)

t

(

k

u

 ардыъыллы-

ьыны  алмаг  мцмкцндцр.  Якс  ялагяли 

)

(x

u

  идаря  ганунуну  тап-

дыгда (9.94) тянлийинин  аналитик щяллинин  мювъуд олмасы  ваъибдир. 

Лакин  бу  диференсиал  тянлийинин  саь  тяряфиндя  мин  операторунун 

олмасы  максимум  принсипиня  нисбятян  аналитик  щяллин  тапылмасыны 

чятинляшдирир.  Цмумиййятля,  динамик  програмлашдырма  цсулунун 

чатышмайан  ъящяти  илкин  оптимал  идаряетмя  мясялясинин  щяллинин 

(ядяди  вя йа аналитик) чятин олан хцсуси тюрямяли  гейри-хятти  тян-

484 

 

лийин щяллиня эятирилмясидир. 

Тянзимлямя мясяляляринин яксяриййятиндя обйектин иш режими ишчи 

нюгтянин кифайят гядяр кичик ятрафында баш вердийиндян 

)

(x

u

 идаря 

тясириня  мящдудиййят  гойулмур.  Бу  щалда  Беллманын  функсионал 

(9.94)  тянлийинин  саь  тяряфиндяки  мин  ямялиййатыны  оптималлыьын 

зярури шярти иля явяз етмяк олар: 

            

0

)

t

,

(

S

)

t

,

(

G

u

т

j





































u

x,

f

x

u

x,

, 

m

,

,

2

,

1

j





.   (9.96) 

Бу тянликдян тапылмыш 

j

u  идаряляри  

                  

)

t

,

(

S

)

t

,

(

G

t

S

т

u

x,

f

x

u

x,



























  

(9.97) 

тянлийиндя йериня йазылараг Беллманын функсионал тянлийи формалаш-

дырылыр.  

Яэяр  обйектин  (9.82)  тянлийинин  саь  тяряфиндя  вя  интегралалты 

G

 

функсийасында 

t

 ашкар шякилдя иштирак етмирся вя ейни заманда  

т

t  

тянзимлямя  вахты  верилмяйибся,  йяни  сярбястдирся,  онда 

0

t

S







. 

Бу щалда тянлийин щялли ящямиййятли дяряъядя садяляшир.  

Идаря  тясириня  мящдудиййят  гойулмадыгда  вя  зиййятя  нязярян 

)

(x

u

 якс ялагяли идарянин алынмасы алгоритми ашаьыда верилмишдир: 

1) яввялъя,  (9.96)  тянликляр  системиндян  оптимал  идаря 

S

-ин 

функсийасы шяклиндя тапылыр: 

)

S

(

u

u



; 

2) тапылмыш идаряни (9.97) тянлийиндя йериня йазыб ону щялл едяряк 

S   Беллман  функсийасы  вязиййят  дяйишяниндян  асылы  олараг  тапылыр: 

)

(

S

S

x



; 

3) сонра  бу  функсийаны  идарянин  артыг  тапылмыш  ифадясиндя  йериня 

йазыб  вязиййятя  нязярян 

)

(x

u

  якс  ялагяли  оптимал  идаря  гануну 

тапылыр. 

 

9.4.3. Хятти обйектя вя квадратик критерийя малик                 

олан тянзимлямя системляриндя оптимал                         идаря 

485 

 

ганунун синтези 

 

Яввялдя гейд олундуьу кими, динамик програмлашдырма цсулунун 

цстцн ъящятляриндян бири якс ялагяли оптимал идаря ганунун тапыла 

билмясидир.  Бурада  бахылан  мясяля  хятти-квадратик  мясяля  олуб 

Беллманын  функсионал  тянлийинин  аналитик  щяллини  алмаьа  имкан 

верир. 

Обйектин вязиййят координатларында йазылмыш тянлийи  

 

u

x

x

B

A

)

t

(







. 

(9.98) 

Башлаьыъ  вязиййят 

0

0

)

t

(

x

x



  верилиб,  сон 

)

t

(

т

x

  вязиййяти  ися 

сярбястдир. 

Еля якс ялагяли 

)

(x

u

 идаря гануну тапмаг тяляб олунур ки, 

 

dt

)

R

Q

(

2

1

)

t

(

N

)

t

(

2

1

J

т

t

t

т

т

т

т

т

0

u

u

x

x

x

x









  

(9.99) 

кейфиййят  критериси  минимал  гиймят  алсын.  u -йа  мящдудиййят 

гойулмайыб. Бурада симметрик 

Q

,

N

 вя 

R

 матрисляри уйьун ола-

раг  мцсбят-йарыммцяййян  вя  мцсбят-мцяййян  симметрик  мат-

рислярдир. Бу щалда истянилян 

0



x

 вя 

0



u

 гиймятляри цчцн 

 

0

)

t

(

N

)

t

(

т

т

т



x

x

, 

0

Q

т



x

x

, 

0

R

т



u

u

 

шяртляри юдянилир. 

Бахылан  мясялядя  идаря  тясириня  мящдудиййят  гойулмадыьындан 

Беллманын функсионал тянлийи (9.96) ифадяси иля тяйин олунур: 

 

)

B

A

(

S

)

R

Q

(

2

1

t

S

т

т

т

u

x

x

u

u

x

x































 

(9.100) 

Бахылан Болс мясяляси цчцн сярщяд шярти (9.95)-я уйьун олараг: 

 

)

t

(

N

)

t

(

2

1

]

t

),

t

(

[

S

т

т

т

т

т

x

x

x



.  

(9.101) 

Идаря  тясириня  мящдудиййят  гойулмадыьындан  минималлашдырма 

просеси (9.96)-йа ясасян оптималлыьын зярури шярти иля тяйин олунур: 

486 

 

 

   

0

)

B

A

(

S

G

т











































u

x

x

u

u

 

(9.102) 

Бурада 

G



 интегралалты ифадядир. 

Скалйар  вя  вектор  функсийаларындан  вектора  эюря  тюрямя  алмаг 

гайдаларындан  истифадя  етсяк  (9.102)  ифадясини  ашаьыдакы  шякилдя 

аларыг: 

 

0

S

B

R

т





















x

u

. 

Щяр тяряфи солдан 

1

R



 матрисиня вуруб, 

I

R

R

1





 ващид матриси  u  

векторунун  гаршысында  нязярдян  атсаг,    оптимал  идаря  ганунуну 

аларыг: 

 























x

u

S

B

R

т

1

. 

(9.103) 

Бу ифадяни Беллманын тянлийи (9.100)-дя йериня йазсаг аларыг: 

x

x

x

x

x

x

A

S

S

B

BR

S

2

1

Q

2

1

t

S

т

т

1

т

т































































. 

(9.104) 

Якс ялагяли идаря гануну алмаг цчцн бу тянлийин щяллини квадратик 

формада ахтарырлар: 

 

x

x

x

)

t

(

P

2

1

)

(

S

т



 . 

(9.105) 

Бурада 

)

t

(

P

  тапылмасы  тяляб  олунан 

n

n



-юлчцлц  гейри-стасионар 

симметрик матрисдир. 

Ифадя  (9.105)-дян 

x

-я  нязяря  тюрямя  алаг. 

)

t

(

P

  симметрик 

матрис олдуьу цчцн йазмаг олар: 

 

      

x

x

P

S







.  

(9.106) 

Диэяр тяряфдян 

 

x

x

x

x

x

x

)

PA

P

A

(

2

1

A

)

P

(

A

S

т

т

т

т























, 

(9.107) 

487 

 

 

x

x P

2

1

t

S

т









.  

(9.108) 

Ифадяляр  (9.106)-(9.108)  тянлик  (9.104)-дя  нязяря  алыб  ейни 

дяряъяли  x -лярын  ямсалларыны  бярабярляшдирсяк,  Риккатинин  матрис 

тянлийи  ады  иля  мялум  олан  гейри-хятти  гейри-стасионар  диференсиал 

тянлик алырыг: 

  

  

PA

P

A

P

B

PBR

Q

dt

dP

т

т

1













.  

(9.109) 

Сярщяд шярти: 

 

      

N

)

t

(

P

т



  

(9.110) 

Бу  тянлийи,  якс  заманда  (9.110)  саь  сярщяд  шяртини  нязяря 

алмагла щялл едиб 

)

t

(

P

 матрисини тапмаг олар. 

)

t

(

P

 матрисини тап-

дыгдан сонра ону (9.106) ифадясиндя нязяря алыб (9.103)-дя йериня 

йазсаг оптимал якс ялагяли идаря ганунуну тапырыг: 

 

)

t

(

)

t

(

P

)

t

(

B

)

t

(

R

т

1

x

u





. 

(9.111) 

Яэяр обйект A,B вя критери Q, R замандан асылы дейился вя 





t

оларса 

0

t

S







  олур.  Бу  щалда,  гярарлашмыш  режимдя 

0

)

t

(

P





  вя 

(9.109) Риккати тянлийи ъябри тянликляр системиня чеврилир: 

 

0

PA

P

A

P

B

PBR

Q

т

т

1











. 

(9.112) 

Сярщяд шярти:  

 

0

)

(

P





. 

Бу щалда (9.112) тянлийинин щяллиндян алынмыш 

P

 матриси стасионар 

(йяни замандан асылы олмайан) шякилдя алыныр. 

Матрис эцъляндирмя ямсалыны 

 

)

t

(

P

)

t

(

B

)

t

(

R

)

t

(

K

т

1





  

(9.113) 

шяклиндя ишаря етсяк, йазмаг олар: 

 

)

t

(

)

t

(

K