H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

329 

 

FƏSİL 11

 

 

TƏCÜRBİ  VERİLƏNLƏRİN  EMALI. İNTERPOLYASİYA

 

 

      

11.1. İlkin anlayışlar

 

   

      Bu fəsildə matlabın aşağıdakı bölmələrindən istifadə olunmuşdur. 



 

Statistics Toolbox (əlavə 3); 



 

Sustem  İdentification Toolbox . 

İntepolyasiya  verilmiş  (məlum)  y=f(x)  funksiyasını  y=φ(x)  funksiyası  ilə 

təqdim  olunması  (sadə  dildə  desək  -əvəz  olnması)  deməkdir.İlkin  f(x) 

funksiyası  analitik  (riyazi  ifadə  şəklində)  və  ya  cədvəl  və  digər  şəkildə  verilə 

bilər. 

İnterpolyasiya riyazi modelləşdirmənin əsasını təşkil edir.Analitik şəkildə 

alınmış φ(x) funksiyası obyektin və ya hadisənin riyazi modelidir. 

İnterpolyasiyanın əsas növləri aşağidakılardır: 

1. Düyün nöqtələrində dəqiq olan.

 

2. Düyün nöqtələrində dəqiq olmayan (yəni təqribi olan).

 

Axırıncı üsul aproksimasiya (yaxınlaşma) da adlanır. 

Şəkil 11.1, a və b-də dəqiq və dəqiq olmayan interpolyasiya göstərilmişdir. 

 

 

 

                                     a)                                            b) 

Şəkil 11.1

 

 

     Şəkildə,  dairəciklər  °  -  koordinatları      (x

i

,  f(x

i

))  məlum  olan    düyün 

nöqtələridir. 

      Birinci  növ  interpolyasiya  üsuluna  Laqranjın  məşhur  interpolyasiya 

polinomunu göstərmək olar.Dəqiq üsul aşağıdakı hallarda tətbiq olunur: 



 

f(x) funksiyası analitik məlum, lakin  istifadə üçün mürəkkəb olduqda; 



 

 cədvəl qiymətləri cox dəqiq və stabil olduqda və eyni zamanda 

verilənlərin sayı az olduqda. 

Təqribi interpolyasiya adətən approksimasiya (yaxınlaşma) adlanır. Bu üsul 

f(x) funksiyasını xarakterizə edən təcrübi verilənlərin sayı çox  böyük olduqda 

 

330 

 

və onlar təsadüfi mahiyyət daşıdıqda tətbiq olunur. Təbii ki, yüzlərlə küylənmiş 

düyün  nöqtələrindən  (korrelyasiya  sahəsi)  keçən  φ(x)  fuksiyasının  qurulması 

ağlasığmaz məsələdir. 

İstənilən növ interpolyasiyanın kompyüter texnologiyası aşağıdakı əsas üç 

etapdan ibarətdir: 



 

Interpolyasiyaedici φ(x) funksiyasının tipinin seçilməsi; 



 

Seçilmiş funksiyanın parametrlərinin (əmsallarının) təyini; 



 

Alınmış modelin adekvatlığının (dəqiqliyinin )yoxlanılması. 

Xətanı aşağidakı ifadələrin köməyi ili qiymətləndirmək olar: 

;

1

)]

(

)

(

[(

1

2











N

x

x

y

N

i

i

i





   

%.

100

)

(

1

2









N

i

i

x

y





                        (11.1) 





orta kvadratik meyiletmə; δ- nisbi xəta;N-təcrübi verilənlərin həcmi 

(sayı). 

Bu fəsildə yalnız birölçülü interpolyasiya məsələsinə baxılır. Lakin Matlab 

çoxölçülü interpolyasiya məsələlərini də həll etməyə imkan verir. 

 

      

11.2. Düyün nöqtələrində dəqiq olan interpolyasiya

 

 

     

11.2.1.Nöqtəvi interpolyasiya

 

          

 

 

Bu  halda  interpolyasiya  məsələsi  təcrübə  nəticəsində  əldə  oluna 

bilməyən  (yəni  cədvəldə  olmayan)  nöqtələrdə  y  funksiyasının  qiymətinin 

hesablanmasından ibarıtdir.   

Мцхтялиф  физики  щадисялярин,  техноложи  просеслярин  анализи  апарыларкян 

təcürbələrin  нятиъяляри  y=f(x) адятян ъядвял шяклиндя эюстярилир: 

 

 

1

x  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

        Bu асылылыгда верилмиш дцйун нюгтяляринин сайы мящдуддур. 

Хятти  интерполйасийада  гоншу  дцйцн  нюгтяляри  дцз  хятт  парчалары  иля 

бирляшдирилирляр,  bizə  lazım  olan    нюгтяляр  ися  бу  дцз  хятлярин  тянлийиня  эюря 

мцяййян едилərək onların üzərində yerləşir (şəkil 12.2). 

x

2

x

3

x



1

n

x



n

x

y

1

y

2

y

3

y



1

n

y



n

y

 

331 

 

 

Şəkil 11.2

 

 

Şəkildə  °-  təcrübə  nəticəsində    alınmış  düyün  nöqtələri;   -tələb  olunan 

interpolyasiya nöqtələri.  

MatLAB  мцщитиндя  хятти  интерполйасийа  interp1()  функсийасынын 

кюмяйи иля щяйата кечирилир. Бу функсийанын истифадя олунма формаларындан бири 

 

interp1(x,y,x

i

)  

шяклиндядир, бурада: 



 

x

 



 интерполйасийа дцйцнляри вектору; 



 

y

 



 интерполйасийа дцйцнляриндя функсийанын гиймятляри вектору; 



 

x

i

 



  истифадячи  тяряфиндян  верилмиш  lazımı  аргументлярин  гиймятляри 

векторудур. 

Мясялянин  interp1()  функсийасынын  кюмяйи  иля  мясялянин  щялл 

едилмясиня мисаллар эюстяряк. 

 Мисал  11.1.  Тутаг  ки, 

)

x

(

f

y



  функсийасынын  гиймятляри  ашаьыдакы 

ъядвял шяклиндя верилмишдир. 

   

x

 

2.5  3.7  8.4  11.7  20 

27 

38 

y  

1.4  2.7  5.6 

7.5 

9.1  13.2  15.3 

 

Аргументин 



х

3, 6, 10, 25, 30  гиймятляриндя  функсийанын  гиймятляринин 

щесабланмасы тяляб олунур. 

Интерполйасийа проседуру ашаьыдакы шякилдядир: 

 

>> x=[2.5 3.7 8.4 11.7 20 27 38]; 

>> y=[1.4 2.7 5.6 7.5 9.1 13.2 15.3]; 

>> xi=[3 6 10 25 30]; 

>> yi=interp1(x,y,xi)  





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы шякилдя аларыг: 

 

yi = 

    1.9417   4.1191    6.5212   12.0286   13.7727 

Бу ону эюстярир ки,  

 

332 

 

 

9415

.

1

)

3

(

y



,  

 

1191

.

4

)

6

(

y



,  

 

5212

.

6

)

10

(

y



,  

 

12.0286

)

25

(

y



,  

 

13.7727

)

30

(

y



.  

Мисал 11.2. Тутаг ки, 

2

x

sin

e

)

x

1

(

y

x











 функсийасы верилмишдир. 

i

x

i



(

4

,

,

1

,

0

i





) дцйцн нюгтяляриндя бу функсийанын гиймятляринин щесабланмасы, 

хятти  интерполйасийадан  истифадя  етмякля  аргументин  0,5;  1,5;  2,5;  3,5 

гиймятляриндя  функсийанын  гиймятляринин щесабланмасы вя алынмыш нятиъялярин 

функсийанын аналитик гиймятляри иля мцгайися едилмяси тяляб олунур.  

Мясялинин щялли проседуруну ашаьыдакы кими 



L_Int



 адлы м-файл шяклиндя 

формалашдыраг: 

x=0:4; 

y=(1+x).*exp(-x)+sin(pi*x/2); 

xi=0.5:3.5; 

yi=interp1(x,y,xi); 

yx=(1+xi).*exp(-xi)+sin(pi*xi/2); 

z=[xi; yi; yx] 



L_Int



 м-файлына мцраъият едяк: 

>> L_Int  

 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы алырыг: 

z = 

    0.5000    1.5000    2.5000    3.5000 

    1.3679    1.0709   -0.1974   -0.3546 

    1.6169    1.2649   -0.4198   -0.5712 

Демяли, мясялинин щяллини ашаьыдакы ъядвял шяклиндя эюстяря билярик. 

 

Аргументин 

гиймятляри 

Интерполйасийа 

гиймятляри 

Функсийанын  

аналитик 

гиймятляри 

0.5000

 

1.3679

 

1.6169    

 

1.5000    

  1.0709     1.2649    

2.5000     

-0.1974   

  -0.4198    

3.5000 

-0.3546

 

-0.5712

 

 

interp1()

 функсийасы 

)

x

(



 интерполйасийа функсийасыны дцстур шяклиндя 

алмаьа имкан вермир. Бу онун нюгсан ъящятидир. 

 

333 

 

     

11.2.2. Çoxhədlilərin vasitəsi ilə interpolyasiya

 

 

      Bu  üsul  da  dəqiq  interpolyasiya  üsullarına  aid  oluib  bütün  düyün  (y

i

,  x

i

) 

nöqtələrindən  keçən  çoxhədlini  almağa  imkan  verir.  Çoxhədlinin  forması 

verilir  əmsalları  isə  düyün  nöqtölərində    y

i

  ordinatlarin  φ(x

i

)=y

i

  bərabərliyi 

şərtindən  alınan cəbri tənliklər sisteminin hıllindən tapılır.Xətti interpolyasiya 

məsələlərində  çoxhədlinin  sadə  növü  olan  polinomdan  istifadə  olunur.  Bu 

halda interpolyasiya məsələsi polinomial interpolyasiya adlanır. 

     İnterpolyasiya  məsələsinin  qoyuluşu.  Fərz  edək  ki,  [a,b]  intervalında 

y=f(x)  funksiyası  verilmişdir.  Iterployasiya  məsələsi  elə  φ(x)  funksiyasının 

tapılmasından  ibarətdir  ki,  bu  funksiya  [a,  b]  intervalında  yerləşən  

interpolyasiynan {x

1

, x

2

,..., x

n+1} 

düyün nöqtələrində məlum f(x) funksiyası ilə 

üst-üstə düşsün, yəni aşağidakı bərabərlik şərtləri ödənilsin: 

1

,...,

2

,

1

,

)

(









n

k

y

x

k

k

 

     Burada y

k

-f(x) funksiyasının x

k

 nöqtəsindəki məlum qiymətidir. 

     Şəkil 11.2a-da dörd düyün nöqtəli interployasiyaya aid misal göstərilmişdir. 

 

 

 

Şəkil 11.2a

 

 

     Şəkildən göründüyü kimi, düyün nöqtələri [a, b] intervalında bərabər 

paylanmaya da bilər. Bundan başqa y=f(x) asılılığı  analitik, məsələn, y=sin(x) 

şəklində və ya cədvəl şəklində verilə bilər. 

     Sadə olduğu üçun burada xətti interpolyasiya məsələsinə baxaq. Bu halda  

  

)

(

)

(

1

1

x

p

a

x

k

n

k

k











 

şəklində qəbul olunur. 

     Burada p

k

(x)-verimiş məlun funksiya, a

k

- axtarılan nəməlum əmsallardır. 

Nəməlum a

k

 əmsalları düyün nöqtələrində ilkin y

k

 və interployasiyaedici 

 

334 

 

funksiyaların bərabərliyi şərtindən tapıla bilər: 

.

1

,...,

2

,

1

,

)

(

1

1













n

j

y

x

p

a

j

j

k

n

k

k

 

     Bu cəbri tənliklər sistemini açıq şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar: 

 

.

)

(

...

)

(

)

(

.....

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

,

)

(

...

)

(

)

(

,

)

(

...

)

(

)

(

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1













































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

x

p

a

x

p

a

x

p

a

y

x

p

a

x

p

a

x

p

a

y

x

p

a

x

p

a

x

p

a

 

 

     a

k

 əmsallarının sayının düyün nöqtələrinin sayına bərabər olması sistemin 

matrisinin kvadratik matris ((n+1)×(n+1) ölçülü)  olmasını təmin 

edir.Birqiymətli həllin mövcud olması üçün bu matriin determinantı sıfırdan 

fərqli olmalıdır (yəni cırlaşmayam olmalıdır): 

.

0

)

(

)...

(

)

(

.....

..........

..........

..........

..........

)

(

)...

(

)

(

)

(

)...

(

)

(

1

1

1

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1















n

n

n

n

n

n

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

x

p

 

 

     Əksər hallarda p

k

(x) funksiyalar sistemi kimi polinomlardan istifadə edirlər. 

Məsələn,  

.

)

(

,...,

)

(

,

)

(

,

1

)

(

1

2

3

2

1

n

n

x

x

p

x

x

p

x

x

p

x

p











 

     Bu  halda  interpolyasiya  polinomial  interpolyasiya  adlanır  və  sistemin 

matrisi       

).

(

...

..........

..........

..........

...

...

1

1

1

1

1

0

1

2

1

2

0

2

1

1

1

0

1

j

n

j

i

j

i

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















 

 

     Bu Vandermond determinantıdır və onun sıfra bərabər olmaması üçün x

i

≠x

j

 

çərti ödənilməlidir.Başqa sözlə, düyün nöqtələrinin absisləri müxtəlif olmalıdır. 

Bu zaman həllin mövcudluğu və yeganəliyi təmin olunur. 

     Polinomun  tərtibi  düyün  nöqtələrin  sayından  bir  vahid  kiçikdir.  Burada 

düyün nöqtələrinin sayı  n+1 olduğundan polinomun tərtibi n-dir. Belə ki,  iki 

nöqtədən 

düz 

xətt 

1

2

)

(

a

x

a

x







, 

üç 

nöqtədən 

isə 

yeganə 

 

335 

 

1

2

2

3

)

(

a

x

a

x

a

x









 parabolası keçir. 

     İlk baxışdan belə qənaətə gəlmək olar ki,  





















































.

...

....

..........

..........

..........

..........

...

...

1

1

1

1

1

2

0

1

1

2

2

1

1

2

2

0

2

1

1

1

1

1

1

2

0

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

x

a

x

a

x

a

y

x

a

x

a

x

a

y

x

a

x

a

x

a

 

 

cəbri  tənliklər  sistemini  həll  edib  a

k

  əmsallarını  dəqiq  tapmaq  olar.  Lakin 

təcrübi  düyün  nöqtələrinin  sayı  artdıqca  sistemin  matrisinin  şərtləşmə  ədədi 

(bax, §6.7.8) artır ki, bu da böyük xətaya gətirə bilər. Bu xüsusiyyət aşağıdakı 

qrafikdən aydın görünür. 

 

 

     Klassik  ədəbiyyatda  əsasən  Laqranj  və  Nyutonun  interpolyasiya  

polinomlarına  geniş yer verilir.   

      Laqranjin  interpolyasiya  polinomu 

(fransız  riyaziyatçısı  və 

mexaniki, 1793). Laqranjın   təklif etdiyi   interpolyasiya   polinomu  n  tərtibli 

   

çoxhədlidən ibarətdir: 

                          

1

,...,

1

,

0

),

(

)

(

)

(

1

1



















n

k

x

p

y

x

L

x

k

n

k

k

n

 

     Əgər p

k

 funkiyaları 













j

k

j

k

x

p

j

k

,

0

,

,

1

)

(

                                  (11.1

*

) 

şərtini ödəyərsə  bizə lazım olan interpolyasiya polinomunu almış olarıq. Çünki 

bu  polinomun  tərtibi  n-dən  böyük  olmayıb  düyün  nöqtələrində 

1

,...,

2

,

1

,

)

(







n

k

y

x

L

k

k

n

bərabərlik şərtini ödəyir. 

     (11.1

*

) şərtini ödəyən  p

k

(x)  fuksiyasını qupmaq cətin deyil: 

 

336 

 

 

.

)

)(

)...(

)(

)...(

)(

(

)

)(

)...(

)(

)...(

)(

(

)

(

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1







































n

k

n

k

k

k

k

k

k

k

n

n

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

k

p

     Və ya   

.

)

(

1

1

,...,

2

,

1

















n

k

j

n

j

j

k

j

k

x

x

x

x

x

p