H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

Laqranjın interpolyasiya polinomunu daha kompakt şəkildə aşağıdakı kimi 

yazmaq olar: 

.

)

(

1

1

1

,...,

2

,

1























n

k

k

j

n

j

j

k

j

k

n

x

x

x

x

y

x

L

 

Konkret olaraq: 

 

)

1

.

11

(

.

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

...

...

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

)

(

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

1

3

1

2

1

1

2

1

1

a

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

L

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n





























































 

 

Misal. Fərz edək ki, iki düyün nüqtəsi vertmişdid: (0;1), (2;5). Bu halda 

n=1. (11.1a) ifadəsinə əsasən 

.

1

2

)

0

2

(

)

2

)(

0

(

5

)

2

0

(

)

0

(

1

)

(

1























x

x

x

x

x

L

 

Alınmış düz xətt hər iki düyün nöqtəsindən dəqiq keçir. 

Misal.Funksiya

  

y = x

3

.Cədvəl şəklində: 

 

 i     0  1   2 

x

i      

1  2   3 

   y

i      

1   8  27. 

 

      

İkinci tərtib interpolyasiya  polinomu quraq L

2

(x): 

 

 L

0

(x) =(x − x

1

)(x − x

2

)/(x

0 

− x

1

)(x

0 

− x

2

)=1/2(x

2 

− 5x + 6); 

L

1

(x) =(x − x

0

)(x − x

2

)/(x

1 

− x

0

)(x

1 

− x

2

) = −(x

2 

− 4x + 3); 

  L

2

(x) =(x − x

0

)(x − x

1

)/ (x

2 

− x

0

)(x

2 

− x

1

)=1/2(x

2 

− 3x + 2); 

      Onda  

         L

2

(x) = 1*1/2(x

2

 

− 5x + 6) – 8*(x

2

− 4x + 3) + 27*1/2(x

2

 

− 3x + 2) = 6x

2

 

– 

 -11x + 6

. 

 

337 

 

     L

2   - 

nin qiymətlərini  bir-neçə nəzarət nöqtəsində yoxlayaq: 

 

   x      1.9         2.3         2.8

 

  L

2

(x)   6.76     12.44     22.24 

       x

3

      

6.859   12.167   21.952 

 

Məticə o qədər də qənaətbaxış deyil. İlkin verilənlərə (0;0) nöqtəsini əlavə 

edib üçüncü tərtib L

3

 polinomunu qursaq dəqiq nılicə ala bilərik: 

 

   L

0

(x) = −1/6(x−1)(x−2)(x−3); L

1

(x) = 1/2x(x − 2)(x − 3); 

L

2

(x) = −1/2x(x − 1)(x − 3); L

3

(x) = 1/6x(x − 1)(x − 2): 

         L

3

(x) = 1/2x(x − 2)(x − 3) − 4x(x − 1)(x − 3) +9/2x(x − 1)(x − 2) = x

3

. 

 

Göründüyü kimi, L

3

=x

3

 ilkin funksiyaya bərabər alınır. 

Şəkil  11.2a-da  Laqranj  çoxhədlisinin  Matlabda  hesablama  proqramı  və 

nəticə  göstərilmişdir.  Proqram  hesablama  baxımından  daha  sadə  olan  şəkildə 

yazilmış aşağıdakı ifadə üçün tərtib edilmişdir: 

 

.

)

(

1

1

1

,...,

2

,

1























n

k

k

j

n

j

j

k

j

k

n

x

x

x

x

y

x

L

 

Əvvəlcə                              

.

)

(

1

,...,

2

,

1













k

j

n

j

j

k

k

k

x

x

y

z

 

hesablanır. Sonra coxhədli 

)

(

)

(

)

(

x

s

x

w

x

L

n



 şəklində yazılır.Burada 

 

.

)

(

),

(

)

(

1

1

1

1





















n

k

k

k

n

k

k

x

x

z

x

s

x

x

x

w

 

 

338 

 

 

 

 

Şəkil 11.2a  

 

Başqa misala baxaq. Bu halda düyün nöqtələri təcrübi verilənlərdən 

 

339 

 

ibarətdir. Matlab proqramının əvvəli aşağıda göstərilmişdir. 

 

 

          ...................... 

 

Şəkil 11.2b

 

 

Qeyd edək ki, Laqranj polinomundan ilkin (11.1a) şəklində deyil, standart 

 

n

n

n

a

x

a

x

a

x

L













...

)

(

2

1

1

0

  formada  istifadə  olunması  daha  əlverişlidir. 

Lakin bu halda a

i

 əmsalları məlum olmalədır.  

 

 

11.3. Ən kiçik kbadratlar üsulu. Approksimasiyaedici                

funksiyanın tapılması 

 

 

Верилянлярин  емалынын  ян  эениш  йайылмыш  мясяляси  експериментлярин 

нятиъяляринин 

)

x

(



  функсийасы  иля  analitik  тясвир  едилмясидир,  yəni  riyazi 

modelin  qurulmasıdır.  Mясяля 

x

  вя  y   векторлары  иля  верилмиш  експериментал 

верилянлярdən istifadə edərək  ян кичик квадратlar üsulu ilə strukturu verilmiş 

φ(a,x)  (апроксимасийа  функсийасынын)  a  параметрлярини  тяйин  етмякдян 

ибарятдыр.  Ümumi  halda   

T

a

a

a

,...)

,

(

2

1



bektordur.Alınmış  ifadə  reqressiya 

tənliyi adlanır. 

Əн  кичик  квадратlar  üsulundan  istifadə  etmək  üçün  müəyyən  ehtimal-

statistik əlamətlər (şərtlər) ödənilməlidir. Bunlardan əsasları: 



 

x

1

, x

2

,.... girişləri  arasında əlaqə (korrelyasiya əlaqəsi) olmamalıdır; 



 

girişlər x çıxışa y nisbətən dıqiq ölçülməlidir; 

L(x) 

x 

 

340 

 



 

çıxıçin  təsadüfi  hissəsi    xətti  (cəm  şəklində)  olmalı  və  normal 

paylanma qanununa tabe olmalıdır və s. 

   Ən  кичик  квадратlar  üsulu  optimallaşdırma  məsələsi  olub  aşağıdakı 

kriteriyaya malikdir: 

.

min

)]

,...,

,

(

[

)

(

1

2

2

2

1

1

a

N

i

i

i

N

i

i

x

a

a

y

a

Q





















 

Burada y

i

, x

i

 – təcrübi nöqtələrin məlum qiymətləridir. 

     Axtarılan  a

1

,  a

2

,...  parametrləri  otimallığın  zəruri  şərti  əsasında  alınmış 

aşağıdakı xətti cəbri tənliklər sisteminin həllindən tapılır: 

,...

0

,

0

2

1













a

Q

a

Q

                                     (11.2) 

Ян  садя  регрессийа  нювц 



  хятти  регрессийадыр.  Хятти  регрессийада 

)

x

(



 

апроксимасийа функсийасы  

1

0

)

(

a

x

a

x







шяклиндя ахтарылыр.  

Bu halda (11.2) sistemi: 

.

,

2

1

4

0

3

1

1

2

0

1

B

a

A

a

A

B

a

A

a

A









                                            (11.3) 

 

Burada 

                 

.

,

,

;

,

,

2

4

3

1

2

2

1























i

i

i

i

i

i

y

B

N

A

x

A

x

y

B

x

A

x

A

                       (11.4) 

(11.3) sistemini matris formada yazaq: 

.

B

Aa



 

.

)

,

(

,

,

1

0

2

1

4

3

2

1

T

a

a

a

B

B

B

A

A

A

A

A































 

Həll 

.

1

1

0

B

A

a

a

















                                             (11.5) 

Мисал  11.3.  Тутаг  ки, 

)

x

(

f

y



  функсийасынын  гиймятляри  ашаьыдакы 

ъядвял шяклиндя верилмишдир. 

   

x

 

0 

1 

2 

3 

y  

3.5  2.2  0.1  -2.3 

Aпроксимасийа функсийасы  xətti 

1

0

)

(

a

x

a

x







 шяклиндя ахтарaq.  

Bu halda (11.4)-ə əsasən  A

1

=14, A

2

=6, A

3

=6, A

4

=4.B

1

=-4.5, B

2

=3.5. 

(11.5)-ə əsasən həll 

 

341 

 

.

5

.

3

95

.

1

5

.

3

5

.

4

4

6

6

14

1

1

0























































a

a

 

Beləliklə a

0

=-1.95, a

1

=3.8. 

Şəkil  11.3-də  alınmış 

)

x

(



=-1.95x+3.8  funksiyasının  qrafiki  və  təcrübi 

nöqtələr (düuün nöqtələri) göstərilmiçdir. 

 

 

 

Şəkil 11.3

 

 

Korrelyasiya  əmsalı.  Xətti  aproksimasıyanın  “gücünü”  xarakterizə  edən 

göstərici xətti korrelyasiya əmsalıdır: 

.

1

1









xy

r

 Bərabərlik 

1





xy

r

halına 

funksional  aslılıq  uyğun  gəlir.Bu  halda  bütün  təcrübi  düyün  nöqtələri 

1

0

)

(

a

x

a

x







 düz xəttinin üzərində yerləşir. 

Xətti  korrelyasiya  əmsalı  yalnız  təcrübi  x

i

  və  y

i

  qiymətləri  əsasında 

hesablanır: 

.

)

1

(

)

(

)

(

1

y

x

N

i

i

i

xy

N

y

y

x

x

r



















                             (11.5a) 

Burada təcürbi verilənlərin orta qiyməti və orta kvadratik meyiletmələr: 

.

1

,

1









i

i

y

N

y

x

N

x

 

.

)

(

1

1

,

)

(

1

1

2

2





















y

y

N

x

x

N

i

y

i

x

 

Xətti funksional asılılıq üçün 

.

)

(

1

0

a

x

a

y

x

i

i

i









Bu ifadəni (11.5a)-da 

yerinə yazsaq a

0

-ın işarəsindən asılı olaraq alarıq 

1





xy

r

.

 

Полиномиал  approksimasiya.  Полиномиал  регрессийа  о  щалда  истифадя 

олунур ки, ъядвял шяклиндя верилмиш y

i

 вя x

i

-ляр арасында полиномиал (n-дяряъяли 

 

342 

 

чохщядли) асылылыьын олмасы эюзлянилир. 

 Məqsəd 

 

n

n

n

a

x

a

x

a

x











...

)

(

1

1

0



 

polinomunun   

n

a

a

a

,...,

,

1

0

 

əmsallarının    (11.2)  tənliklər  sisteminin 

həlli əsasında tapmaqdır. 

 

MatLAB  мцщитиндя  ən  kiçik  kvadratlar  üsulu  ilə  полиномial  апрокси-

масийа    polyfit()  функсийасынын  кюмяйи  иля  щяйата  кечирилир.  Бу  функсийа 

 

polyfit(x,y,n) шяклиндядир. 

Bурада: 



 

x

 



 интерполйасийа дцйцнляри вектору; 



 

y

 



 интерполйасийа дцйцнляриндя функсийанын гиймятляри вектору; 



 

n 



 полиномун дяряъясидир. 

 polyfit()  функсийасынын  реализасийасынын  нятиъяси  полиномун  (n+1) 

юлчцлц ямсаллар векторудур. Беля ки, бу векторун 1-ъи елементи полиномун 



  a

0

 

ямсалынын,  2-ъи  елементи 



    a

1

  ямсалынын  вя  нящайят,  ахырынъы,  йяни  (n+1)-ъи  

елементи 



  a

m

 ямсалынын гиймятини верир.  

Гейд едяк ки, y=f(x) функсийасы аналитик шякилдя дя вериля биляр. 

polyfit() функсийасынын кюмяйи иля интерполйасийайа мисал эюстяряк. 

Мисал 11.4. Təcrübənin nəticəsi ашаьыдакы ъядвялdə  верилмишдир. 

 

x

 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100  110  120 

y  

6.36  6.85  7.34  7.84  8.08  8.32  8.57  8.70  8.82  8.94 

Qanunauygunlugu 

2

1

2

0

)

(

a

x

a

x

a

x









 

квадрат 

чохщядлиси 

иля 

апроксимасыйа етмяк тяляб олунур.

 

 

Интерполйасийа проседуру ашаьыдакы шякилдядир: 

>> x=[30 40 50 60 70 80 90 100 110 120]; 

>> y=[6.36 6.85 7.34 7.84 8.08 8.32 8.57 8.70 8.82 

8.94] ; 

>> p=polyfit(x,y,2) 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы шякилдя аларыг: 

p = 

   -0.0003    0.0719    4.4747 

Tapılmış функсийа  

 

.

4747

.

4

0719

.

0

0003

.

0

)

(

2









x

x

x



                  

Nəticəni  təcrübi  y

i

  qiymətləri  ilə  мцгайися  етмяк  цчцн 

)

x

(



 

функсийасыныn qiymətlərini x

i

 qiymətlərində hesablayaq. 

 

343 

 

MatLABda  аргументин  верилмиш  гиймятляриндя  funksiyanın  uyğun 

qiymətlərini  hesablamaq    цчцн  polyval()  функсийасы  мювъуддур.  Бу 

функсийа