H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

Lyapunov tənliyinin Matlabda həlli

bet	22/50
Sana	18.08.2017
Hajmi	6.8 Mb.
	#13745

1 ... 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 50

Lyapunov tənliyinin Matlabda həlli.

Matris cəbri tənlikləri həll etmək

üçün Matlabda xüsusi funksiyalar mövcuddur.

Q = lyap(A,P) funksiyası

Q + QA + P = 0.

şəklində olan Lyapunov tənliyini həll etməyə imkan verir. Burada A, P eyni

ölçülü verilmiş kvadratik matrislərdir. Əgər P simmetrik matris şəklində

verilərsə, məsələn, P = I vahid matris şəklində, onda axtarılan Q matrisi də

simmetrik matris şəklində alınacaqdır. P-nin vahid matris şəklində verilməsi

sistemin dayanıqlığına və ya dayanıqsızlığına xələl gətirmir.

Misal

8.9. Aşağıdakı tənlik ilə verilmiş obyektin dayanıqlığını lyap(A,P)

funksiyasının köməyi ilə yoxlayaq.

1

1































- qəbul edək.

Aşağıda müvafiq Matlab proqramı və həll (Q matrisi) göstərilmişdir.

206

Həll















4463

0537

1025

simmetrik matris şəklində alınmışdır. Bu

matrisin məxsusi ədədləri λ=eig(Q) funksiyasının köməyi ilə təyin

olunmuşdur. λ

= 0.0943 > 0, λ

= 0,4545 > 0 olduğundan Q müsbət müəyyən

matrisdir və deməli müvafiq sistem dayanıqlıdır. Qeyd edək ki, Q matrisinin

məxsusi ədədlərini yoxlamamaq da olardı. Cünki P=I olduğundan həll

mövcuddursa, o hökmən simmetrik şəklində alınacaqdır. Yuxarıda deyildiyi

kimi belə matris müsbət müəyyən matrisdir!

Sistem dayanıqlıq sərhəddində və ya dayanıqsız olarsa, məsələn

;











































A

qiymətlərində, Lyapunov tənliyinin həlli mövcud deyil. Belə hallarda

proqramm həllin olmaması haqqında “??? solution does not exist or not

unique” məlumatını verir. Bu nəticə baxılan obyektin dayanıqsız (və ya

dayanıqlıq sərhəddində) olmasını göstərir.

8.4.4. Pikkati tənliyi

İdarəetmə sistemlərində optimal xətti-kvadratik məsələnin qoyuluşu:

min

)

(

)

(











x

u

T

T

dt

Ru

u

Qx

x

J

)

(

x

x

Bu

Ax

dt

dx







Vəziyyətə görə əks əlaqəli optimal idarə qanunu aşağıdakı şəkildə alınır:

Kx

u





Burada ğücləndirmə əmsalı

1

P

B

R

K

T





P matrisi cəbri matris Rikkati tənliyinin həllindən tapılır:











Q

P

B

PBR

P

A

PA

T

T

Burada A, B,Q, R məlum, P isə axtarılan matrisdirş.

Matlabda cəbri Rikkati tənliyini həll etmık üçqn

)

(

]

[

R

Q

B

A

care

K

L

P



funksiyasından istifadə olunur.Burada L qapalı

sistemin xarakteristik D=A-BK matrisinin məxsusi ədədləridid: L=eig(D).

Dayanıqlı sistem üçün Re(L)<0.

Misal 8.10.

207

=-3.44, L

=-1.57 olduğundan qapalı sistin dayanıqlıq şərti ödənilir.

Çalışmalar

- 8.1

Верилмиш тапшырыг вариантларына уйьун олараг хятти (ъядвял 8.1) вя гейри-

хятти тянликляр системини (ъядвял 8.2) MatLAB вя мцщитиндя йухарыда

эюстярилян бцтцн цсцлларла щялл етмяли. Тапылмыш щяллярин доьрулуьуну

йохламалы.

Гейд: Гейри-хятти тянликляр системинин щяллиндя башланьыъ йахынлашмалары

ъядвялдян эютурмяли.

208

Ъядвял 8.1

№1

№2







































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№3

№4

































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№5

№6





































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

х

x

x

x



































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№7

№8































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№9

№10









































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x































1

x

x

x

x

x

x

x

,

x

x

x

x

x

x

209

Ъядвял 8.2-нин davamı

№11

№12





























1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







































x

x

x

x

x

x

x

x

,

x

x

x

x

x

x

№13

№14





































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№15

№16



































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№17

№18

































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№19

№20

































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

210

Ъядвял 8.1-ин davamı

№21

№22



































x

x

x

x

x

x

x

x

,

x

x

x

x

x

x

x









































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№23

№24

































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№25

№26

































1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№27

№28





































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

№29

№30































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

211

Ъядвял 8.2

№

Тянликляр системи

Башланьыъ

йахынлашмалар

Ъаваб

















x

x

.

x

.

)

x

x

sin(

1

.



.

x



7159

.

x



6982

.

x



















x

x

.

x

)

.

x

x

(

tg

1

.



.

x



8765

.

x



5192

.

x

















.

x

sin

x

sin

x

sin

x

sin

1

.



.

x



4108

.

x





7750

2

.

















1

x

x

x

)

x

x

(

tg







x

5275

1

.





6007

2

.























1

x

x

x

x



x

0

2



x

4215

1

.



0408

.

x



















1

.

x

x

cos

.

x

x

sin

1

.



1

x

7693



2

x

3196



















x

cos

x

.

x

)

x

sin(



x

1

2



x

2018

1

.





5102















2

x

cos

x

.

x

)

x

cos(



x

2

2



x



1

x

2451



2

x

9701

















1

)

x

ln(

x

x

x



1

x



2

x



1

x

1.2400



0.8065



















1

x

x

x

lg

)

x

lg(



1

x



2.7549



x



2

0.5698

212

Ъядвял 8.2-нин davamı

№

Тянликляр системи

Башланьыъ

йахынлашмалар

Ъаваб















x

)

x

(

x

x

x



1

x





2

x

2.7549



x



2

0.5698















)

.

x

sin(

x

.

)

x

x

cos(



1

x



2

x

5157

1

.



2

x

0.5315















x

x

x

x

ln



1

x



2

x

1.3775



x



2

0.3203

















1

.

)

cos(

sin(

x

x

x

)

x



1

x



2

x



1

x

1.364



2

x

1.297



















1

x

x

sin

x

x



1

x



2

x



1

x

0.6367



0.4054

















x

)

x

)(

x

(

x

e

x



1

x



2

x



1

x

0.7861





2

x

5444























x

x

x

x

x

x

lg

x



1

x



2

x



1

x

3.7568



2.7798















1

x

x

x

)

x

(



1

x



2

x



1

2.2523



1.5970















1

.

x

sin

x

sin

x

sin

x

sin

1

.



.

x



1.0140



0.0504



x





















1

x

x

x

x

x

x



1

x



2

x



1

x

0.5185



2

x

3054



213

Ъядвял 8.2-нин davamı

№

Тянликляр системи

Башланьыъ

йахынлашмалар

Ъаваб



















1

x

)

x

)(

x

(

)

x

ln(

x



1

x



2

x



1

0.8031





2

x

0.5520

















2

x

x

e

x

x



1

x



2

x

1.3775



x



2

0.3203















1

x

x

x

)

x

(



1

x



2

x



1

2.7137



1.7505















x

x

x

x

ln



1

x



2

x

1.6604



x

4929

2

.





















1

x

)

x

)(

x

(

x

e

x



1

x



2

x



1

x

1.9528



2

3.0242















)

x

sin(

x

.

)

x

x

cos(



1

x



2

x

9083

.

x



2

x

1.9555

Download 6.8 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 ... 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 50