H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

195 

 

FƏSIL 8 

 

 

XƏTTİ  VƏ QEYRİ

-

XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMİNİN

 

HƏLLİ 

 

_________________________________________________

  

 

      

8.1. Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli 

  

  

MatLAB  мцщитиндя  хятти  тянликляр  системинин  щяллинин  ашаьыдакы 

цсулларына бахаг:  



 

детерминантларын щесабланмасы цсулу (Крамер гайдасы); 



 

матрис цсулу; 



 

)

solve(

 функсийасынын кюмяйи иля. 

 

        8.1.1.  Xятти тянликляр системинин dетерминант (Kramer) 

                 цсулу ilə щялли  

 

 

Fərz  edək  ки, 

D

 



  тянликляр  системинин  ямсаллар  матрисинин  баш 

детерминанты, 

k

d  



  баш  детерминантда  k -ъы  мяъщулун  нюмрясиня  уйьун 

сцтундакы  ямсалларын  сярбяст  щядляр  сцтуну  иля  явяз  олунмасындан  алынан 

детерминантдыр. Онда 

k

x  мяъщулу 

D

d

x

k

k



 ифадяси иля щесабланыр. 

Хятти  тянликляр  системинин  детерминантларын  щесабланмасы  цсулу  щялл 

едилмясиня мисал эюстяряк. 

Мисал  8.1.  Тутаг  ки,  ашаьыдакы  хятти  тянликляр  системини  щялл  етмяк 

лазымдыр: 

 





























3

x

x

5

x

7

18

x

2

x

x

1

x

3

x

x

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

 

Детерминантларын  щесабланмасы  цсулу  иля  хятти  тянликляр  системини  щялли 

ашаьыдакы шякилдядир: 

 



D

1

5

7

2

1

1

3

1

2





,  



1

d

1

5

3

2

1

18

3

1

1





,                                       



2

d

 

196 

 

1

3

7

2

18

1

3

1

2



, 



3

d

3

5

7

18

1

1

1

1

2



. 

D

d

x

1

1



,  

D

d

x

2

2



,  

D

d

x

3

3



. 

Инди детерминатлары матрис шяклиндя эюстяряк: 

D = [2,  1,  -3;  1,  -1,  2;  7,  5,  1] 

dx1 = [1,  1,  -3; 18,  -1,  2;  3,  5,  1] 

dx2 = [2,  1,  -3; 1,  18,  2;  7,  3,  1] 

dx3 = [2,  1,  1; 1,  -1,  18;  7,  5,  3]

 

Мяъщулларын щесабланмасы програмы белядир: 

>> D = [2, 1, -3; 1, -1, 2; 7, 5, 1] 

D = 

     2     1    -3 

     1    -1     2 

     7     5     1 

>> dx1 = [1, 1, -3; 18, -1, 2; 3, 5, 1] 

dx1 = 

     1     1    -3 

    18    -1     2 

     3     5     1 

>> dx2 = [2, 1, -3; 1, 18, 2; 7, 3, 1] 

dx2 = 

     2     1    -3 

     1    18     2 

     7     3     1 

>> dx3 = [2, 1, 1; 1, -1, 18; 7, 5, 3] 

dx3 = 

     2     1     1 

     1    -1    18 

     7     5     3 

>> x1=det(dx1)/det(D); 

>> x2=det(dx2)/det(D); 

>> x3=det(dx3)/det(D); 

>> X = [x1, x2, x3] 

 

197 

 

X =  6.7111    7.3778    1.1333 

     

       8.1.2. Xятти тянликляр системинин tərs mатрис  

                цсулу иля щялли 

 

     Xətti tənliklər sisteminin matris formada yazılışı: 

Ax=b. 

  

Burada 

A

 



  тянликляр  системинин  ямсаллар  матриси,  b



  сярбяст  щядляр 

вектору, x



 мяъщуллар векторудур. 

Tənliyin hər tərəfini soldan A

-1

 tərs matrisinə vursaq alarıq: 

A

-1

Ax=A

-1

b. 

 A

-1

A=İ vahid matris olduğundan   həll x=A

-1

b. 

Bu həlli Matlabda  ашаьыдакы ифадяlərdən  бири иля tapmaq olar: 

x=A

-1

*b, 

x=A\b, 

x=inv(A)*b. 

Мисал 8.2. Яввялки мисалдакы   

 





























3

x

x

5

x

7

18

x

2

x

x

1

x

3

x

x

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

 

хятти тянликляр системини щялл еdək. Bu halda 



A

























1

5

7

2

1

1

3

1

2

,  b=[1 18 3], x=[x

1

 x

2

 x

3

]. 

Matlabda hялл:  

>> A = [2, 1, -3; 1, -1, 2; 7, 5, 1]; 

>> B = [1; 18; 3]; 

>> X = inv(A)*B 

 

X = 

 

    6.7111 

   -9.0222 

    1.1333

 

       8.1.3. 

)

solve(  функсийасынын кюмяйи иля хятти 

 

                  тянликляр системинин щялли  

 

Хятти  тянликляр  системинин  щялли  щалында 

)

solve(

  функсийасы  ашаьыдакы 

 

198 

 

шякилдядир: 

)

solve(

'

f

'

,

,

'

f

'

,

'

f

'

n

2

1



 

)

solve(

n

2

1

n

2

1

x

,

,

x

,

x

,

'

f

'

,

,

'

f

'

,

'

f

'





 

бурада: 



 

'

f

'

i

 



 системин и-ъи тянлийи, 

n

,

,

2

,

1

i





; 



 

i

x  



 и-ъи мяъщулдур, 

n

,

,

2

,

1

i





. 

Системин щяр бир тянлийи тяк дырнаглар арасында йазылыр вя яввялки тянликдян 

верэцлля айрылыр. 

)

solve(

  функсийасындан  габаг 

syms

  функсийасынын  кюмяйи  иля  символ 

дяйишянлярини тяйин етмяк лазымдыр. 

Тянликляр системинин щялли технолоэийасына мисал цзяриндя бахаг. 

Мисал 8.3. Тутаг ки, ашаьыдакы тянликляр системини щялл етмяк лазымдыр: 

 































5

.

0

z

y

x

1

z

4

y

3

x

5

3

z

y

x

3

 

Тянликляр системинин щялли програмы ашаьыдакы шякилдядир: 

>> syms x y z; 

>> Y=solve('3*x+y-z=3','-5*x+3*y+4*z=1','x+y+z=0.5')

 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы шякилдя алырыг: 

 

Y =  

 

    x: [1x1 sym] 

    y: [1x1 sym] 

    z: [1x1 sym] 

Програм  мясяляни  щялл  етмишдир.  x, y, z  мяъщулларынын  гиймятини  алмаг 

цчцн 

k

.

Y

  ямриндян  истифадя  етмяк  лазымдыр,  бурада  k  



 мяъщулун  адыдыр. 

Бизим щалда щялл ашаьыдакы шякилдя олаъаг: 

>> Y.x 

  

ans = 

  

-.10714  

 

>> Y.y 

  

ans = 

  

1.96428   

 

 

199 

 

>> Y.z 

  

ans = 

  

-1.35714 

 

n)

vpa(Y.k,

 функсийасындан да истифадя етмяк олар.  

Бурада:   



 

k  



 ахтарылан мяъщул; 



 

n

 



 ъавабын ишаряляринин сайыдыр. 

Ишарялярин сайы 

6

n



 олан щялляри алаг. 

>> vpa(Y.x, 6) 

ans = 

 -.107143 

 >> vpa(Y.y, 6) 

  

ans = 

  

1.96429 

>> vpa(Y.z, 6) 

  

ans = 

  

-1.35714 

 

        8.2. Matlab мцщитиндя гейри-хятти тянликляр  

                системинин щяллi  

 

MatLAB  мцщитиндя  гейри-хятти  тянликляр  системинин  щялли 

)

fsolve(

 

функсийасынын  кюмяйи  иля  щяйата  кечирилир. 

)

fsolve(

  функсийасы  ашаьыдакы 

шякилдядир: 

)

fsolve(

0

x

,

'

file

'

 

бурада: 



 

file

 



 m-faylda сахланылмыш тянликляр системи; 



 

0

x

 



 башланьыъ йахынлашмалар векторудур. 

Мисал  8.4.  Тутаг  ки,  ашаьыдакы  гейри-хятти  тянликляр  системини  щялл  етмяк 

лазымдыр: 























1470

x

x

x

167

x

x

x

5

.

6

x

x

x

3

6

2

1

3

2

2

1

3

2

1

 

 

200 

 

Верилмиш  тянликляр  системини  myfun адлы  истифадячи  функсийасы  шяклиндя 

тясвир едяк вя ону 

myfun.m

 файлында сахлайаг. 

Тутаг ки, файлын тяркиби ашаьыдакы шякилдядир: 

function

 F=myfun (x) 

F=[x(1)*x(2)+x(3)-6.5; x(1)*x(2)^4+x(3)-167; 

  x(1)*x(2)^6+x(3)-1470];  

Тянликляр системинин щялли програмы вя нятиъяляр ашаьыдакы шякилдядир: 

  

>> x0 = [1; 1; 1]; 

>> X = fsolve('myfun', x0) 

X = 

 

    2.1512 

    2.9678 

    0.1157 

 

 

8.3. Xətti tənliklər sisteminin Simulinkdə həlli

 

 

Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılışı: 



Ax

b.                                                 (8.1) 

Burada  A=(a

ij

)  , 

n

,

1

j

,

i



  –  əmsallarından  təşkil  olunmuş  ədədi  matris; 

b=(b

1

, b

2

,...,b

n

)

T

 – sağ tərəf, x=( x

1

, x

2

,..., x

n

)

T

 – axtarılan (naməlum) həlldir. 

Simulink  paketində  realizasiya  etmək  üçün  (8.1)  tənliyini  belə  yazmaq 

lazımdır: 

.

b

Ax

dt

/

dx





                                             (8.2) 

 

Xətti  (8.1)  tənliklər  sisteminin  həlli  (8.2) xətti  diferensial  tənliyin  həllinə 

gətirilir.  Bu  tənliyin  qərarlaşmış  qiyməti  (8.1)  tənliyinin  həllidir.  Keçid 

proseslərinin qərarlaşması  üçün  A matrisi  müsbət  müəyyən matris olmalıdır. 

Yəni,  Silvester  şərtinə  görə  bu  matrisin  diaqonal  minorları  sıfırdan  böyük 

olmalıdır.  Scope  cihazının  ekranında  və  ya  displeydə  qərarlaşmanı  görmək 

üçün simulyasiya vaxtı kifayət qədər böyük götürülməlidir. 

Misal 8.5.

 Fərz edək ki,  

.

5

14

b

,

5

2

2

4

A































 

Şəkil 8.1-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin nətijələri (b) göstərilmişdir. 

Şəkil  8.1  b-dən  göründüyü  kimi,  qərarlaşmış  qiymətlər  x

1

=5  və  x

2

=-3  (8.1) 

tənliyinin həllidir. Qərarlaşmış qiymətləri displeydə də görmək mümkündür. 

 

201 

 

  

a) 

     

 

 

                                                             b) 

Şəkil 8.1.

 

Xətti tənliklər sisteminin həll sxemi

 

 

 

8.4. Ma

tris tənliklərin həlli

 

 

Matris tənləklərində axtarılan həll matris şəklində olur. 

 

8.4.1. Cəbri matris tənliyi 

 

 

Bu tənlik: 

.

B

AX



 

A,B-məlum matrislər, X=[x

ij

]  -axtarılan nəməlum matris. A matrisinin 

sütunlarının sayı B matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olmalıdır. 

 

202 

 

Bu tənliyi hər tərəfini soldan A

-1

 tərs matrisinə bursaq A

-1

A=İ vahid matris 

olduğundan  həll X=A

-1

B. 

Misal 8.6. 

 

Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsində və praktikasında matris eksponensası, 

Lyapunov və Rikkati matris tənliklərindən geniş istifadə olunur. 

 

8.4.2. Matris eksponensası ,e

At

 

(keçid matrisi)

 

 

 

Əvvəldə deyd edildiyi kimi bu matris xətti diferensial tənliklər sisteminin  

həllinə daxildir: 









t

t

A

At

d

Bu

e

x

e

t

x

0

)

(

0

.

)

(

)

(







 

e

At

-matris funksiyası aşağıdakı matris diferensial tənliyin həllidir: 

 

.

)

0

(

,

/

0

I

x

x

Ax

dt

dx







 

Burada  x=x

ij

(t),  i,j=1,2,...,n-həllər  matrisi,  A-n×n  ölçülü  kvadratik 

matrisdir. Başlanğıc şərt  vahid matris İ şəklində götürülür. 

Həlli Simulink paketində alaq.  

Şəkil 8.2 a)-da həllin Simulink sxemi və həllər çoxluğu b) göstərilmişgir. 

 

203 

 

Misal 8.7.

 Fərz edək ki,  



































1

0

0

1

)

0

(

,

9

.

0

4

.

0

1

0

A

. 

Şəkil 2.78-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin F

ij

(t) nətijələri (b) qrafik 

şəklində göstərilmişdir.  

 

    

 

 

                               a)                                                           b) 

        

Şəkil 8.2.

 

Keçid matrisinin təyin olunması

 

 

8.4.3. Lyapunov tənliyi

 

 

 Bu matris tənlik xətti (bəzi hallarda qeyri-xətti)  obyektlərin dayanıqlı 

olub- olmamasını təyin etmək üçün istifadə olunur.      Obyektin sərbəst 

hərəkəti aşağıdakı xətti differensial tənliklə yazılır: 

dx/dt = Ax,             x(0) = x

0                                                    

(8.3)

             

 

Lyapunov funksiyası adlanan kvadratik  forma daxil edilir: 











n

1

i

n

1

j

ij

ij

T

x

q

Qx

x

V

.                                        (8.4)              

Burada Q = (q

ij

) - simmetrik matrisadır, q

ij

 = q

ji

 və ya matris formada  Q

T

 

= Q. 

Dayanıq şərti (indikatoru) dV/dt<0 münasibətidir. 

Lyapunov funksiyasının zamana görə törəməsi: 

                                        





.

x

QA

Q

A

x

QAx

x

Qx

A

x

QAx

x

Qx

)

Ax

(

Ax

x

Qx

x

dt

Qx

dx

dt

dV

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T



































                (8.5)         

 

204 

 

Mötərizənin  daxilindəki  ifadə  mənfi  müəyyən  matris  olarsa  dV/dt<0 

dayanıqlıq  şərti  ödənilir.  Bu  səbəbdən    elə    Q  matrisi  mövcud  olmalıdır  ki,    

A

T

  Q+QA

<0  şəti  ödənilsin.  Əgər  belə  matris  mövcud  olarsa  (8.3)  sistemi 

dayanıqlıdır. 

İfadə (8.5)-da mötərizənin daxlindəki ifadəni –P ilə işarə edək: 

A

T

Q + QA = -P.                                           (8.6)          

Bu tənlik  Lyapunovun cəbri matrisi tənliyi adlanır. 

     P müsbət müəyyən matrisolarsa

 (8.5)-ya əsasən 

                                                   dV/dt = - x

T

Px < 0   

törəməsi mənfi işarənin hesabına mənfi müəyyən funksiya olacaqdır. 

     P  matrisi  müsbət  müəyyən  ,  məsələn  vahid  matris,  şəklində  verilərsə  Q 

matrisi də müsbət müəyyən matris olacaqdır (əgər həll mövcuddursa). 

Misal  8.8.

  Şəkil  8.3-də  göstərilmiş  xətti  ATS-in  dayanıqlığını  tədqiq 

edək.  

 

       

 

 

           

Şəkil 8.3.

 ATS-in struktur sxemi 

 

Uyğun tənlik: 

.

x

x

dt

/

dx

,

x

x

dt

/

dx

2

1

2

2

1

1













 

Burada  





















1

1

1

1

A

. 

P  =  I  = 













1

0

0

1

  vahid  matris  qəbul  edib  (8.6)  Lyapunov  tənliyini  tərtib 

edək: 















































































1

0

0

1

1

1

1

1

q

q

q

q

q

q

q

q

1

1

1

1

22

21

12

11

22

21

12

11

.             (8.7)         

 

205 

 

q

12

  =  q

21

  olduğundan  üç  q

11

,  q

12

,  q

22

  dəyişəni  tapmaq  kifayətdir.  Matris 

(8.7) tənliyini açaq. Onda 

2q

11

 + 2q

12           

=1, 

q

11

 -  2q

12

 – q

22 

=0, 

- q

12

 + 2q

22

 =      1. 

Alınmış xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli: q

11

 = 0.5, q

12

 = 0,        q

22

 = 

0.5  Beləliklə axtarılan matris    















5

.

0

0

0

5

.

0

Q

 

müsbət müəyyən matris olduğundan baxılan ATS asimptotik dayanıqlıdır.