H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

   43.5000   54.5000   51.5000 

Мисал 9.10. Тутаг ки, интегралалты функсийа  

 

1

x

ln

xe

)

x

(

y

x







  

шяклиндядир.  0,1  аддымы  иля 



8

1

dx

)

x

(

y

  мцяййян  интегралыны  щесабламаг 

лазымдыр.  

Щялли: 

>> format bank 

>> x=1: 0.1: 8; 

>> y=x.*exp(x)+log(x)+1; 

>> inteqral=trapz (x,y) 

>> inteqral 

 

inteqral = 

 

      20905.69 

 

 

        9.2.2. Симпсон цсулу 

 

MatLAB  мцщитиндя  Симпсон  цсулу  ашаьыдакы  бир  нечя  функсийаларла 

реаллашдырылмышдыр: 

)

b

,

a

,

'

fun

('

quad

 

)

tol

,

b

,

a

,

'

fun

('

quad

 

)

trace

,

tol

,

b

,

a

,

'

fun

('

quad

 

Бу функсийаларда ашаьыдакы ишаряляр гябул едилмишдир: 



 

'

fun

'



 тяк дырнаглар арасында йазылмыш интегралалты функсийа; 



 

b

,

a

 



 интеграллама сярщядляри; 



 

tol

 



 истифадячи  тяряфиндян  верилян  нисби  хята,  сусмайа  эюря 

3

e

.

1

tol





; 

 

224 

 



 

trace

 



 сыфырдан  фяргли  ядяддир,  бу  ядяд  верилдикдя  систем  щесаблама 

просесинин эедишатыны эюстярир. 

Садаланан функсийалара бахаг вя мисаллар эюстяряк. 

)

b

,

a

,

'

fun

('

quad

 функсийасы 

3

10



-дян бюйцк олмайан дягигликля 



b

а

dx

)

x

(

f

 

мцяййян интегралыны щесаблайыр. 

Интегралалты 

)

x

(

f

  функсийасы  MatLAB  системиндя  функсийаларын  йазылышы 

гайдаларыны эюзлямякля аналитик шякилдя тясвир олунур. 

Мисал 9.11. Тутаг ки, интегралалты функсийа  

 

5

x

sin

x

e

)

x

(

f

2

x









  

шяклиндядир. 



5

1

dx

)

x

(

f

 интегралыны щесабламаг лазымдыр. 

Щялли: 

>> y='exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5'; 

>> inteqral=quad (y,1,5) 

 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы алырыг: 

 

inteqral = 

 

  167.5415 

 

Функсийа бир сятирдя дя тясвир едиля биляр:  

 

>> inteqral=quad('exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5',1,5) 

 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ейни ъавабы аларыг. 

 

)

tol

,

b

,

a

,

'

fun

('

quad

 функсийасында 

tol

 параметри  арзу олунан  хятадыр вя 

n

e

1



 шяклиндя тясвир олунур. Сусмайа  эюря 

3

e

.

1

tol





. 

Мисал 9.12. Тутаг ки, интегралалты функсийа  

 

5

x

sin

x

e

)

x

(

f

2

x









   

шяклиндядир. 



5

1

dx

)

x

(

f

 интегралыны 

7

10



-дян йцксяк олмайан дягигликля щесаб-

ламаг лазымдыр. 

Щялли: 

>> quad('exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5',1,5,1e-7)

 

 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы алырыг: 

 

ans = 

 

  167.5415 

 

225 

 

)

trace

,

tol

,

b

,

a

,

'

fun

('

quad

  функсийасындан  истифадя  етмякля  щесаблама 

просесинин эедишатыны эюрмяк олар.  

Мисал 9.13. Тутаг ки, интегралалты функсийа  

 

5

x

sin

x

e

)

x

(

f

2

x









   

шяклиндядир. 



5

1

dx

)

x

(

f

 интегралыны 

4

10



-дян йцксяк олмайан дягигликля щесаб-

ламаг вя щесаблама просесинин эедишатына бахмаг лазымдыр. 

Щялли: 

>> y='exp(x)+x.^2+2*sin(x)-5'; 

>> quad(y,1,5,1e-4,1) 





Enter

 клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакылары алырыг: 

     9     1.0000000000    1.08632000e+000     4.6656537473 

    11     1.0000000000    5.43160000e-001     1.1622085119 

    13     1.5431600000    5.43160000e-001     3.5034427411 

    15     2.0863200000    1.82736000e+000    50.2932898724 

    17     2.0863200000    9.13680000e-001    14.4288633682 

    19     2.0863200000    4.56840000e-001     5.5025466418 

    21     2.5431600000    4.56840000e-001     8.9263135654 

    23     3.0000000000    9.13680000e-001    35.8637210072 

    25     3.0000000000    4.56840000e-001    14.0377607484 

    27     3.4568400000    4.56840000e-001    21.8259514564 

    29     3.9136800000    1.08632000e+000   112.5833495495 

    31     3.9136800000    5.43160000e-001    42.0161253700 

    33     4.4568400000    5.43160000e-001    70.5671433686 

    35     4.4568400000    2.71580000e-001    30.7364454709 

    37     4.7284200000    2.71580000e-001    39.8306970791 

 

ans = 

 

  

167.5415 

 

9.3. M-

fayıldan istifadə etməklə ikiqat

 

       

inleqralların hesablanması

 

 

Hesablamaları  ədədi  qsullarla  yerinə  yetirdikdə    adətən  rekurent 

ifadələrdən  istifadə  olunur.  Hesablama  prosesində  hər  iterasiyada  bu  ifadəyə  

yüz  dəfələrlə  müraciət  olunur.  Bu  səbəbdən,  hesablamaları  sürətləndirmək 

məqsədi  ilə  əsas  ifadəni  (məsələn,  inteqralaltı  ifadə)  M-fayla  ,  əməliyyat 

funksiyasını isə Matlabın əmirlər pəncərəsinə  yazırlar. 

M-faylın  redaktor  pəncərəsini    çağırmaq  üçün  aşağıdakı  əməliyyatları 

yerinə yetirmək lazımdır: 



 

Matlabı çağırmaq. 

 

226 

 



 

File/New/M-File  “düyməsinə”  klik etmək. 

Aşağıda göstərilən pəncərə aşılacaqdır. 

Lazımi  əmirləri  daxil  etdikdən  sonra  Save  düyməsinə  klik  etmək.  Başqa 

pəncərə açılır.Burada Coxранить (Save) düyməsinə klik etməli. 

Aşağıdakı müəyyən inteqralı hesablayaq. 









1

1

.

)

sin(

dx

x

e

I

x

 

 

 

 

 

 

Aşağıda ikiqat inteqralın hesablanma texnologiyası göstərilmişdir: 

.

))

cos(

)

sin(

(

1

0

dxdy

y

e

y

e

I

x

x

 













 

 

 

227 

 

 

 

 

9.3.1. Parametrdən asılı olan inteqralların hesablanması

 

 

Bu tip inteqral aşağıdakı kimi verilir: 





b

a

dx

p

x

f

p

I

.

)

,

(

)

(

 

Burada p hər hansı bir fiziki məna kəsb edən parametrdir. Məsələn, zaman 

t. Parametrin hər bir qiymətində inteqral yenidən hesablanır. Əgər p bir qiymət 

deyil, verilmiş intervalda qiymətlər alarsa, onda uyğun qrafik: 

 

 

Şəkil 9.4 

quad  və  quad8  funksiyaları  parametrdən  asılı  olan  inteqralları 

 

228 

 

hesablamağa imkan verir. 

Misal  9.14.  İki  paramtrdən  asılı  olan  inteqralı  p

1

=22.5,  p

2

=-5.9  

qiymətlərində hesablayaq: 

.

))

sin(

(

2

2

1

1

1

dx

x

p

x

p

I









 

Həll: 

 

 

 

 

 

Misal  9.15.  Avtomatik  tənzimləmədə  keçid  h(t)  xarakteristikasını  həqiqi 

tezlik 

)

ω

(

))

ω

(

Re(

R

j

W



funksiyası  əsasında  qurmaq  üçün  aşağıdakı 

parametrik inteqraldan istifadə olunur: 

.

ω

ω

)

ω

sin(

)

ω

(

2

)

(

0

d

t

R

t

h









 

Burada  t  parametr,  ω    [0,  ∞  )  intervalından  qiymətlər  alan    inteqrallama 

dəyişənidir.  Keçid  xarakteristikasını  qurmaq  üçün  t  –yə  [0,    t

T

  ]  intervalında 

qiymətlər vermək lazımdır. t

T

- keçid xarakteristikasının qərarlaşma vaxtıdır. 

Fərz edək,ki qapalı tənzimləmə sisteminin həqiqi tezlik xarakteristikası: 

.

)

(

)

2

5

.

0

(

)

2

5

.

0

(

5

.

0

)

(

2

3

2

2

2





















R

 

 

229 

 

 

Aşağıda  müvafiq  Matlab  proqramı  göstərilmişdir.trapz  əmrindən  istifadə 

olunmuşdur. 

 

 

          

 

 

 

Şəkil 9.5

 

9.3.2. Yuxarı həddi dəyişən olan inteqrallar

 

 

Bu tip inteqrallar aşağıdakı şəkildə verilir: 

 

230 

 





y

dx

x

f

y

I

0

.

)

(

)

(

 

İnteqralın  qiyməti  yuxarı  sərhəd  qiymətindən  asılı  oiduğundan  onu  y-in 

hər-bir  qiyməti  üçün  hesablayıb  cıdvəlləşdirmək  və  ya  İ(y)  qrafikini  qurmaq 

olar. 

Məsələn, 







y

x

dx

x

x

e

y

I

0

.

)

cos(

)

(sin(

)

(

 

Belə inteqralı hesablamaq üşün iki M-fayl-funksiya yazmaq lazımdır: 

- inteqralaltı f(x) funksiyası üçün; 

- y-in hır-bir qiymətində inteqralın qiymətini tapan İy.  

Aşağıda fayl-funksiyaların listinqləri ğöstərilmişdir. 

 

 

 

 

Inteqralin  yuxarı  sırhədd  qiymətindən  asılılıq  qrafikini  qurmaq  üçün 

fplot(’Iy’,[0,pi])

funksiyasından  istifadə  olunur.  Aşağıda  bu 

funksiyanın Matlabın əmirlər pəncərəsində realizasiyası ğöstərilmişdir. 

 

 

 

Şəkil 9.6-da 

]

,

0

[





y

 intervalıda müvafiq qrafik göstərilmişdir. 

 

231 

 

 

Şəkil 9.6

 

 

       9.4. MatLAB mühütində мцяййян интегралларын 

          аналитик (simvollu) щесабланмасы  

 

  

MatLAB  мцщитиндя  мцяййян  интегралларын  аналитик  цсулла  щялли   

)

(

int

 

функсийалары иля щяйата кечирилир. Бу функсийалар ашаьыдакы шякилдядир: 

))

x

(

y

(

int

 

)

b

,

a

),

x

(

y

(

int

 

бурада: 



 

)

x

(

y

 



 интегралалты функсийа; 



 

b

,

a

 



 интеграллама сярщядляридир. 

Бу функсийалар ашаьыдакылары щесаблайыр: 



 

гейри-мцяййян интегралы; 



 

символ дяйишянляри олан гейри-мцяййян интегралы; 



 

сярщядляри символ дяйишянляри олан мцяййян интегралы; 



 

ъябри функсийалардан мцяййян интегралы; 



 

чохгат интеграллары; 



 

гейри-мяхсуси интеграллары. 

Интегралларын  щесабланмасы  технолоэийасы  кифайят  гядяр  садядир  вя 

ашаьыдакылардан ибарятдир: 

1.  syms функсийасынын кюмяйи иля символ дяйишянляринин тяйин едилмяси. 

2. Ад мянимсятмякля интегралалты ифадянин дахил едилмяси; 

)

x

(

f

y



. 

3. Яэяр  гейри-мцяййян  интеграл  щесабланырса, 

)

y

(

int

  функсийасынын,  яэяр 

 

232 

 

интеграллама  сярщядляри 

b

,

a

  олан  мцяййян  интеграл  щесабланырса, 

)

b

,

a

,

y

(

int

 

функсийасынын дахил едилмяси. 

4. 





Enter

 клавишини басмаг йолу иля щяллин алынмасы. 

Мисал 9.16. Тутаг ки,  

 

 





dx

x

1

x

2

 

интегралыны щесабламаг лазымдыр.  

Щялли: 

>> syms x; 

>> y=x/(1+x^2); 

>> int(y) 

  

ans = 

  

1/2*log(1+x^2) 

 

Мисал 9.17. Тутаг ки, 

 

 





dx

bx

a

x

2

  

интегралыны щесабламаг лазымдыр. 

Бу о щалдыр ки, интегралалты функсийа символ дяйишянляри иля аналитик шякилдя 

верилмишдир. 

Щялл ашаьыдакы шякилдядир: 

>> syms x a b; 

>> y=x/(a+b*x^2); 

>> int(y) 

  

ans = 

  

1/2/b*log(a+b*x^2) 

 

Мисал 9.18. Тутаг ки, 

 

 





b

a

2

dx

x

1

x

  

интегралынын гиймятини щесабламаг лазымдыр. 

Бурада интеграллама сярщядляри символ дяйишянляри иля верилмишдир. 

Щялли: 

>> syms x a b; 

>> y=x/(1+x^2); 

>> int(y, a, b) 

  

ans = 

  

 

233 

 

1/2*log(1+b^2)-1/2*log(1+a^2

) 

 

Мисал 9.20. Тутаг ки, 

 

 





b

a

2

dx

dx

с

x

  

интегралыны щесабламаг лазымдыр. 

Бу  о  щалда  интегралалты  ифадя  аналитик  шякилдя  верилмишдир,    интеграллама 

сярщядляри 

ися 

символ 

дяйишянляри 

шяклиндядир. 

Бу 

интегралларын 

щесабланмасынын даща цмуми щалыдыр. 

Щялл ашаьыдакы шякилдядир: 

>> syms x a b c d; 

>> y=x/(c+d*x^2); 

>> int(y, a, b) 

  

ans = 

  

1/2*(log(c+d*b^2)-log(c+d*a^2))/d 

 

Мисал 9.21.    





5

1

2

dx

x

1

x

   интегралы щесабламалы. 

Щялли: 

>> syms x; 

>> y=x/(1+x^2); 

>> int(y, 1, 7) 

  

ans = 

  

log(5) 

 

Щялли ади формада алмаг цчцн ъаваб сятрини активляшдирмяк вя 





Enter

 

клавишини басмаг кифайятдир. Ашаьыдакы ъаваб алынаъаг: 

 

ans = 

 

    1.6094 

 

Çoxdəfəli  inteqrallama.  Bu  halda  ən  sadə  üsul  əvvəlki  cavabı  yenidən 

inteqrallamaqdır. 

Misal 9.22. Aşağıdakı inteqralı hesablayaq: 

.

1

2

dx

x

x

I







 

 

int(.) əmrini n dəfə təkrar etsək sadə proqram qurmaq olar. 

 

234 

 

Həll: 

 

 

Növbəti misal 3-qat inteqralın hesablanmasına aiddir: 

.

3

1

)

(

6

0 0 0

2

2

a

dxdydz

z

y

x

a a a







 

 

 

   

9.5.Inteqral çevirmələr 

 

 

      İnteqral  çevirmələr  diferensial  tənliklərin  həllində,  funksiyanın  hədd 

qiymətinin  tapılmasında,  idarəetmə  sistemlərinin  dinamikasının  və 

dayaməqləğının  tədqiqində,  siqnalların  spektral  analizində  (Furye  çevirməsi), 

kütləvi  xidmət  nəzərəyyəsində  və    müxtəlif  mühəndis  məsələlərində  istifadə 

olunur. 

 

9.5.1. Laplas çevirməsi

 

 

      Avtomatik  tənzimləmə  sistemlərinin  tədqiqini  və  layihələndirilməsini 

asanlaşdırmaq  məqsədi  ilə  element  və  qurğuların  dinamika  tənliklərini  giriş, 

vəziyyət  və  çıxış  dəyişənlərinin  orginalları  (zaman  funksiyaları)  vasitəsi  ilə 

deyil, onların təsvirlərinin köməyi ilə ifadə edirlər. Belə yazılış xətti sistemlərin 

diferensial tənlikləri vasitəsilə yazılışını cəbri tənliklər ilə əvəz etməyə imkan 

verir.  Təsvirlərin  təyin  olunmasının  riyazi  əsası  kimi  Laplas  çevirməsindən 

istifadə olunur. 

Əgər original 

)

t

(

x

 zamanın t<0 halında x(t)=0 şərtini ödəyən funksiyadırsa, 

onda bu  funksiyanın  Laplas təsviri  X(s)  aşağıdakı inteqral ilə təyin olunur:  

     

 

235 

 

 











0

st

dt

e

)

t

(

x

)

s

(

X

)

t

(

x

L

 ,                                       (9.1)  

burada  s=c+j



  -  kompleks  dəyişən  kəmiyyət;  c,



  =const;  L  –  düz  Laplas 

çevirməsinin simvoludur. 

c=Re  s  kəmiyyəti  elə  seçilməlidir  ki,  (əgər  bu  mümkündürsə)  inteqralın 

yığılması təmin olunsun. 

     Funksiyanın  originalını  onun  təsviri  əsasında  tapmaq  üçün  isə  tərs  Laplas 

çevirməsindən istifadə edilir: 























j

c

j

c

st

1

ds

e

)

s

(

X

j

2

1

)

t

(

x

)

s

(

X

L

 ,                         (9.2)         

burada L

-1

 – tərs Laplas çevirməsinin simvoludur. 

     Avtomatik tənzimləmədə sistemləri tezlik oblastında yazmaq üçün s=j



  və 



  =



  qəbul  edirlər.  Burada 



    -  tezlikdir.  Belə  əvəzləmənin  mümkünlüyü  və 

konstruktivliyi  avtomatik  tənzimləmə  nəzəriyyəsində  tezlik  üsüllarının 

meydana  çıxmasına  səbəb  oldu  və  tənzimləmə  sistemlərinin  (obyektlərinin) 

tezlik xarakteristikalarını,  dayanıqlığını,  keyfiyyətini  və  s.  çox  asanlıqla təyin 

etməyə imkan verdi.  

      Yığılma oblastı c=0 nöqtəsini əhatə edirsə, qeyri-periodik funksiyalar üçün 

Laplas  və  Furye  çevirmələri  eynidir.  Furye  çevirməsini  almaq  üçün  Laplas 

çevirməsində s=j



 əvəzləməsi etmək lazımdır.  

Sonrakı  yazılışlarda  təsvirləri  uyğun  originalların  böyük  hərfləri  ilə  işarə 

edəcəyik. Məsələn, g(t), u(t), f(t), y(t) – originallar, G(s), U(s), F(s), Y(s)  isə 

uyğun təsvirlərdir.