Hech bo'lmaganda bitta hodisaning ro'y berish ehtimolligi reja

1-misol. Qutida n ta bir xil detal bo’lib, shulardan m tasi standart. Tavakkaliga olingan k ta detal orasida kamida bitta standart detal bo’lish ehtimolligini toping.

Yechilishi. “Olingan detallarning ichida kamida bittasi standart” va “olingan detallarning ichida bitta ham standart detal yo’q” hodisalari qarama-qarshi hodisalardir. Birinchi hodisani A orqali, ikkinchisini esa orqali belgilaymiz.

U holda: P(A)=1-P( ).

P(A) ni topamiz. n ta detaldan k ta detal olish usullarining jami soni ga teng. Nostandart detallar soni n-m ga teng; shu detallardan k ta nostandart detalni ta usul bilan olish mumkin. Shuning uchun olingan k ta detal ichida bitta ham standart detal yo’qligining ehtimolligi

ga teng.

Izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng:

.

2-misol. Qutida 40 ta bir xil shar bor, ulardan 20 tasi ko’k, 15 tasi qora va 5 tasi oq. Tavakkaliga olingan sharning rangli bo’lish ehtimolligi topilsin.

Yechilishi. Rangli shar chiqishi deganda yo ko’k shar, yoki qora shar chiqishi tushiniladi. Olingan sharning ko’k shar chiqishi hodisasini A, qora shar chiqishi hodisasini B deymiz. U holda ehtimollikning klassik ta’rifiga ko’ra

bo’ladi. A va B hodislar birgalikda emas. A+B olingan sharning rangli chiqishidan iborat hodisa.

Shuning uchun 80.1-teoremaga ko’ra

Bu misolni boshqacharoq yechish ham mumkin. Olingan sharni oq shar chiqishi hodisasini C desak C hodisa va A+B hodisalar qarama-qarshi hodisalar bo’ladi. Shuning uchun yuqorida keltirilgan natijaga ko’ra

bundan kelib chiqadi.

A₁, A₂,…, A_n hodisalar juft-jufti bilan birgtalikda bo’lmagan hodisalar bo’lganda

P(A₁+ A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)
tenglik o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin.
Xususan, A₁, A₂,…, A_n hodisalar hodisalarning to’liq guruhini tashkil etsa (A₁+ A₂+…+A_n=U), u holda

P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1
bo’ladi.