Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega. Biz quyida shunday xossalardan ba’zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz. Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi.

1. 
   xossa. Agar
   

a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x) va holda
b₀ ,b₁,b₂ ,...,b_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi


a₀  b₀ , a₁  b₁, a₂  b₂ ,..., a_n  b_n ,...
f_b (x)
bo‘lsa, u

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)  f_a (x)  f_b (x)
bo‘ladi.

2. 
   xossa. Agar
   

a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x) va
b₀ ,b₁,b₂ ,...,b_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
n
f_b (x)
bo‘lsa, u

holda elementlari
^dn ^ ^ai^bn i
i 0
( n  0,1,2,... ) sonlardan iborat bo‘lgan

d₀ , d₁, d₂ ,...,d_n ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)  f_a (x) f_b (x)
bo‘ladi.

Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini avvaldan ma’lum bo‘lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin.

3-m i s o l . Ushbu
0,1,2,3,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f (x) 
x
(1 x)²
bo‘ladi.


Haqiqatdan ham, qaralayotgan ketma-ketlikka _kx^k
k 0
ko‘rinishdagi darajali


qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab differensiallash amalini _ x^k
k 0
qatorga

qo‘llab va
x  1
bo‘lgan hol uchun o‘rinli



k 0
_{xk } 1
1  x
tenglikni hisobga olib,


quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:




_kx^k  x_kx^k1  x_
^d x^k 

k 0 k 0
 x ^{d } x^k  x ^{d }


k 0 ^dx

¹  _ ^x _.

dx ^
  ₂

k 0
dx _1  x _ (1  x)

Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi.

3. 
   xossa. Agar
   

a₀ , a₁, a₂ ,..., a_n ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f_a (x)
bo‘lsa, u holda elementlari
b_n  (n 1)a_n1
( n  0,1,2,... ) sonlardan iborat

b ,b ,b ,...,b ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
_{f (x) } df_a (x)
bo‘ladi.

0 1 2 n
^b dx

4. 
   misol. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
   


Hosil qiluvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra izlanayotgan funksiya _(1  k)x^k
k 0
darajali qatorning yig‘indisidan iboratdir. 1-xossaga ko‘ra qaralayotgan ketma-

ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
1,1,...,1,... va
0,1,2,3,...
ketma-ketliklarning hosil


qiluvchi funksiyalari yig‘indisidan iboratdir. 1- va 3-misollar natijalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:




_(1 k)x^k  _
x^k  _{
kxk  } 1 _x _ 1 x  x _1 _.

k 0
k 0
k 0
1 x
(1 x)²
(1 x)²
(1 x)²

Demak, bo‘ladi.
1,2,3,4,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyalasi
f (x) 
1


(1  x)²

3. 
   Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish o‘yg‘otishini ta’kidlaymiz. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz.
   

5. 
   misol. Berilgan chekli, butun va manfiymas s son uchun hadlari
   

^Cⁿ, 0  n  s,

a  _ ^s

formula asosida aniqlangan
a , a , a ,..., a ,...
sonlar ketma-

_0,
s  n,
0 1 2 n

ketligi berilgan bo‘lsin, bu yerda
Cⁿ 
s! n!(s  n)!
– binomial koeffitsientlar. Bu

s
sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
Nyuton binomi formulasiga ko‘ra
 s
_a xⁿ  _Cⁿxⁿ  (1 x)^s

n
n0
s
n0

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan butun
s  0
son uchun

C⁰, C¹, C²,..., C^s,0,0,...,0,...
ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi

s s s s

funksiyasi
f (x)  (1 x)^s
ko‘rinishga egadir.

Yuqorida, aniqrog‘i, ushbu bobning 3- paragrafida binomial koeffitsientlarning xossalari ko‘rilgan edi. Quyidagi teorema ularning xossalaridan yana birini ifodalaydi.

1-teorema. Ixtiyoriy natural m , n va tenglik o‘rinlidir:
k  m  n
sonlar uchun quyidagi


min(k ,n)
_Ci _Ck i _{ C}k _.

n m i max(0,k m)
n  m

Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin
u₀  0
sonni qo‘yib,

u₀  0, u₁ 1, u_n  u_n2  u_n1, n  2 ,

ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) qiluvchi funksiyani topamiz.
u(x)
hosil

Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:
  

u(x)  _u x^k  x  _u x^k  x  _(u _

• 
  u _ )x^k 
  

k
k 0

k
k 2

k 2 k 1
k 2
 

 x  _u _ x^k  _u _ x^k  x  x²_u x^s  x_u
x^p 

k 2
k 2
k 1
k 2
s
s 0
p
p 0

 x  x²u(x)  xu(x) .

Endi hosil bo‘lgan tenglama deb qarab,
u(x)  x  x²u(x)  xu(x)
tenglikni
u(x)
funksiyaga nisbatan

u₀  0, u₁ 1, u_n  u_n2  u_n1, n  2 ,

ketma-ketlikning u(x) 
x
1 x  x²
hosil qiluvchi funksiyaga ega bo‘lamiz.

2. 
   teorema. Fibonachchi soni u_n ( n  0,1,2,... ) uchun
   

^1
_{5 }n
^1
_{5 }n _

u_n 
^
_
 _ 
²  
^ 
² _ _
tenglik o‘rinlidir.

Endi qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural n sonning natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan
R(0), R(1), R(2), R(3),..., R(n),...



ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan
r(x)  _ R(n)xⁿ  1 x  2x²  3x³  5x⁴  7x⁵ 12x⁶  ...
n0
darajali qatorni qaraymiz.

L. Eyler uchun tekshirib,
(1 x)(1 x²)(1 x³)...(1 xⁿ )
ko‘rinishdagi ko‘paytmalarni natural n

  _
3m² m

3m² m _




(x)  _(1 xⁿ )  1 _(1)^m x ²
 x ^{2 }

n1
m1 _{ }

formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb ataladi.

2. 
   teorema. (x)r(x)  1.