I-bap. Dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler. Klassifikatsiyası hám kanonikalıq túrleri

Tiykarǵı túsinikler hám belgilewler

Dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler – ǵárezsiz ózgeriwshi argumentleriniń sanı ekige teń yamasa onnan artıq bolǵan

túrindegi differentsiallıq teńlemeler, bul jerde

Dara tuwındılı differentsiallıq teńlemelerdiń tártibi – teńlemedegi izleniwshi funktsiyadan alınǵan tuwındılardıń eń joqarǵı tártibi.
Sızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler – belgisiz funktsiyaǵa hám onıń dara tuwındılarına qarata sızıqlı bolǵan dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler.
Kvazisızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler – belgisiz
funktsiyadan alınǵan eń joqarǵı tártipli tuwındıǵa qarata sızıqlı bolǵan
dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler.
Ekinshi tártipli eki ǵárezsiz ózgeriwshili sızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńlemelerdiń tipleri – ulıwma kórinisi


túrine iye bolǵan teńlemeler, eger bolsa, bul teńleme giperbolalıq tipke; eger bolsa, bul teńleme parabolalıq tipke; eger bolsa, bul teńleme elliptikalıq tipke jatadı.
Matematikalıq fizika teńlemeleri – dara tuwındılı differentsiallıq teńlemelerdiń bir bólegi bolıp, onıń ulıwma kórinisi

túrine iy boladı, bul jerde ler argumentlerdiń berilgen funktsiyaları. Bunday teńlemelerdiń sheshimleriniń qásiyetleri xarakteristikalıq teńlemeniń korenleriniń belgisi menen tıǵız baylanıslı. Eger hámme korenleriniń belgisi birdey bolsa, onda teńleme elliptikalıq tiptegi teńleme dep ataladı, eger bir koreniniń belgisi qalǵan korenleriniń belgisine qarama-qarsi bolsa, onda teńleme giperbolalıq tiptegi teńleme dep ataladı, eger bir koreni nolge teń bolıp, qalǵan korenleriniń belgisi birdey bolsa, onda teńleme parabolalıq tiptegi teńleme dep ataladı.
Bizge málim bir erikli ózgeriwshige ǵárezli bolǵan belgisiz funktsiyaǵa hámde onıń tuwındılarına baylanıslı differentsiallıq teńlemeler ápiwayı differentsiallıq teńlemeler dep ataladı.İlim hám texnikanıń kópshilik máseleleri, ulıwma tábiyatta bolatuǵın barlıq qubılıslar kóp ǵárezsiz ózgeriwshili belgisiz funktsiyaǵa hám onıń dara tuwındılarına baylanıslı differntsiallıq teńlemeni, yaǵnıy dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeni sheshiwge alıp kelinedi.
Dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeniń ulıwma kórinisi
tómendegishe boladı:
, (1)
bul jerde barlıq argumentlerdiń úzliksiz funktsiyası, belgisiz funktsiya bolıp, erikli ózgeriwshiler,
Teńlemede qatnasatuǵın dara tuwındınıń eń úlken tártibine usı teńlemeniń tártibi dep ataladı.
Bul bapta fizikanıń eń áhmiyetli máselelerinen kelip shıǵatuǵın hám matematikalıq fizikanıń tiykarǵı teńlemeleri dep atalatuǵın ekinshi tártipli dara tuwındılı sızıqlı differentsiallıq teńlemelerdi úyrenemiz. Eger teńleme belgisiz funktsiyaǵa hám onıń dara tuwındılarına qarata sızıqlı bolsa, onda bunday teńlemeler sızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler dep ataladı. Mısalı


teńlemesi belgisiz funktsiyaǵa qarata ekinshi tártipli sızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńleme bolıp tabıladı. Egerde bolsa, onda teńleme sızıqlı birtekli dep, al keri jaǵdayda sızıqlı birtekli emes dep ataladı.
Eger teńleme, belgisiz funktsiyadan alınǵan eń joqarǵı tártipli tuwındıǵa qarata sızıqlı bolsa, onda bunday teńlemeler kvazisızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler dep ataladı. Mısalı


teńlemesi ekinshi tártipli eki ǵárezsiz ózgeriwshili kvazisızıqlı dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeniń ulıwma kórinisi bolıp tabıladı.
Dara tuwındılı (1) differentsiallıq teńlemeniń sheshimi dep sonıńday, funktsiyaǵa aytamız, bul funktsiyanıń ózin hám onıń barlıq dara tuwındıların teńlemedegi orınlarına qoyǵanda bul teńleme birdeylikke aylansa.
Biz joqarıda aytıp ótkendey tábiyatta júz beretuǵın qubılıslar dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeni úyreniwge alıp kelinedi.
1). Hár túrli tolqın taralıwları hám terbelis penen baylanıslı bolǵan qubılıslardı úyreniwde tómendegi

tolqın teńlemesine iye bolamız, bul jerde

Laplas operatorı, qaralıp atırǵan ortalıqtaǵı tolqınnıń taralıw tezligi.
2) Birtekli izotrop denede (oblastta) jıllılıqtıń taralıw nızamı hám diffuziya qubılısları

túrindegi jıllılıq ótkizgishlik teńlemesi menen anıqlanadı.
3). Eger deneniń ishinde jıllılıq deregi bolmasa yamasa joqarıdaǵı qubılıslar waqıtqa baylanıslı bolmasa, onda Laplas teńlemesi payda boladı.
Joqarıdaǵı teńlemeler matematikalıq fizikanıń tiykarǵı teńlemeleri dep ataladı hám olardıń hár qaysısı sheksiz kóp sandaǵı dara sheshimlerge iye boladı. Bazı-bir anıq fizikalıq máseleni sheshiw waqtında usı sheshimlerdiń ishinen usı máseleniń fizikalıq mazmunınan kelip shıǵıp, qoyılǵan qosımsha shártlerdi qanaatlandıratuǵın sheshimdi tabıw talap etiledi. Bul qosımsha shártler shegaralıq yamasa baslanǵısh shártler dep ataladı.
Hár qanday teńleme ushın qoyılǵan másele tómendegi úsh shártti qanaatlandırıwı kerek:
1) sheshim bar bolıwı kerek;
2) sheshim birden-bir bolıwı kerek;
3) sheshimniń ornıqlı bolıwı kerek, yaǵnıy máselede berilgenlerdiń kishkene ózgeriwi sheshimniń hám kishkene ózgeriwin támiyinlew kerek. Mine usı úsh shártti qanaatlandıratuǵın máselege korrekt qoyılǵan másele dep ataladı.